Etterspørsel grenseinntekt og kostnadsfunksjon S2 V13

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bedrift produserer og selger en vare. En markedsanalyse viser at etterspørselen $E$ kan skrives som

E(p) = 6000 - 4p

der $p$ er prisen i kroner per enhet.

Vis at grenseinntekten er gitt ved

I'(x) = 1500 - 0{,}5x

der $x = E(p)$ er antall solgte enheter av varen.

Bedriften regner med at kostnadene $K(x)$ kroner ved å produsere og selge $x$ enheter er gitt ved

K(x) = 0{,}02x^2 + 20x + 550\,000

Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge for at overskuddet skal bli størst mulig? Hva er prisen per enhet da?

Bedriften ønsker å øke sin markedsandel og vil derfor sette ned prisen, slik at flere kjøper produktet. Hva er den minste prisen bedriften kan sette for likevel å kunne gå i balanse?

Fasit

Se løsningsforslag.

$\underline{\underline{x \approx 2741 \mathrm{~enheter}}}$ , $\underline{\underline{p \approx 814{,}81 \, \mathrm{kr}}}$

$\underline{\underline{p_{\min} \approx 229{,}87 \, \mathrm{kr}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Fra etterspørselsfunksjonen $E(p) = 6000 - 4p$ løser vi ut prisen $p$ som funksjon av antall solgte enheter $x = E(p)$ :

x = 6000 - 4p \implies 4p = 6000 - x \implies p = \frac{6000 - x}{4}

Inntektsfunksjonen er $I(x) = p \cdot x$ , det vil si inntekten ved å selge $x$ enheter til pris $p$ :

I(x) = \frac{6000 - x}{4} \cdot x = \frac{6000x - x^2}{4} = 1500x - \frac{1}{4}x^2

Vi deriverer:

I'(x) = 1500 - \frac{1}{2}x = 1500 - 0{,}5x \qquad \square

Vi bruker GeoGebra CAS. Overskuddet er størst når grenseinntekten er lik grensekostnaden, $I'(x) = K'(x)$ .

GeoGebra CAS – grenseinntekt lik grensekostnad

Fra CAS-linje 5 ser vi at $I'(x) = K'(x)$ gir $x \approx 2741$ .

Tilhørende pris (CAS-linje 7):

p = \frac{6000 - x}{4} \approx \frac{6000 - 2741}{4} \approx 814{,}81 \, \mathrm{kr}

Bedriften bør produsere og selge $\underline{\underline{x \approx 2741 \mathrm{~enheter}}}$ til en pris på $\underline{\underline{p \approx 814{,}81 \, \mathrm{kr}}}$ per enhet for å maksimere overskuddet.

Bedriften går i balanse når inntektene er lik kostnadene, $I(x) = K(x)$ . Fra CAS-linje 8 (se skjermbilde over) finner vi to balansepunkter:

x_1 \approx 400{,}95 \quad \text{og} \quad x_2 \approx 5080{,}53

Vi finner tilhørende priser:

p_1 = \frac{6000 - 400{,}95}{4} \approx 1399{,}76 \, \mathrm{kr}

p_2 = \frac{6000 - 5080{,}53}{4} \approx 229{,}87 \, \mathrm{kr}

Grafen nedenfor viser inntektsfunksjonen $I(x)$ (blå), kostnadsfunksjonen $K(x)$ (rød) og overskuddsfunksjonen $O(x) = I(x) - K(x)$ (grønn). Bedriften går i balanse ved de to skjæringspunktene mellom $I(x)$ og $K(x)$ .

Graf – inntekt, kostnad og overskudd

Siden bedriften ønsker å senke prisen (selge flere enheter), er det $p_2 \approx 229{,}87 \, \mathrm{kr}$ som er relevant — lavest mulig pris bedriften kan sette og fortsatt gå i balanse.

Den minste prisen bedriften kan sette for å gå i balanse er $\underline{\underline{p_{\min} \approx 229{,}87 \, \mathrm{kr}}}$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Grenseinntekt og grensekostnad, Etterspørsel, Optimering, Økonomi

Etterspørsel grenseinntekt og kostnadsfunksjon S2 V13

Sync på tvers av enheter

Etterspørsel grenseinntekt og kostnadsfunksjon S2 V13

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave