Enhetskostnad og prisreduksjon

En bedrift produserer og selger en vare. De månedlige enhetskostnadene, $E$ , ved å produsere og selge $x$ enheter av denne varen er gitt ved

E(x) = \frac{9000}{x} + 0{,}02x + 160, \quad x \in [100, 3000]

Tegn grafen til $E$ .

Hvor mange enheter av varen må bedriften produsere og selge for at enhetskostnaden skal bli minst mulig?

Varen selges for 270 kroner per enhet.

Bestem hvilken produksjonsmengde som gir størst overskudd. Hvor stort er dette overskuddet?

Bedriften vil sette ned prisen på varen for å øke sin markedsandel. Eieren av bedriften går med på dette, men krever at overskuddet må være minst 100 000 kroner per måned.

Hvilken pris per enhet vil gjøre at det største overskuddet kan bli 100 000 kroner? Hvor mange enheter må de selge da?

Fasit

Se graf

Omtrent 671 enheter, $E \approx 186{,}83 \mathrm{~kr}$

2750 enheter, overskudd $142\,250 \mathrm{~kr}$

Pris $\approx 253{,}38 \mathrm{~kr}$ , antall $\approx 2335$ enheter

LøsningsforslagKI-generert

Vi tegner grafen til $E$ i GeoGebra.

Graf av enhetskostnaden E

Vi finner minimum av $E$ ved å derivere og sette lik null.

E'(x) = -\frac{9000}{x^2} + 0{,}02 = 0

Vi løser i CAS (se linje 2 i utklippet):

CAS-utregning for enhetskostnad

Vi får $x = 300\sqrt{5} \approx 671$ (vi ser bort fra den negative løsningen).

Se punkt A i grafen: $\underline{\underline{x \approx 671 \text{ enheter og } E \approx 186{,}83 \mathrm{~kr}}}$

Kostnadene er $K(x) = E(x) \cdot x = 9000 + 0{,}02x^2 + 160x$ .

Overskuddet er

O(x) = 270x - K(x) = 270x - 9000 - 0{,}02x^2 - 160x = -0{,}02x^2 + 110x - 9000

Vi finner maksimum: $O'(x) = -0{,}04x + 110 = 0$ , som gir $x = 2750$ (se linje 6 i CAS-utklippet).

O(2750) = -0{,}02 \cdot 2750^2 + 110 \cdot 2750 - 9000 = \underline{\underline{142\,250 \mathrm{~kr}}}

Med en ny pris $p$ per enhet blir overskuddet

O(x) = px - K(x) = (p - 160)x - 0{,}02x^2 - 9000

Maksimalt overskudd finner vi ved $O'(x) = 0$ :

p - 160 - 0{,}04x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{p - 160}{0{,}04}

Vi setter inn i $O$ :

O_{\max} = (p-160) \cdot \frac{p-160}{0{,}04} - 0{,}02 \cdot \left(\frac{p-160}{0{,}04}\right)^2 - 9000 = \frac{(p-160)^2}{0{,}08} - 9000

Vi setter $O_{\max} = 100\,000$ :

\frac{(p-160)^2}{0{,}08} = 109\,000 \quad \Rightarrow \quad (p-160)^2 = 8720

p - 160 = \sqrt{8720} \approx 93{,}38 \quad \Rightarrow \quad \underline{\underline{p \approx 253{,}38 \mathrm{~kr}}}

Antall enheter: $x = \dfrac{93{,}38}{0{,}04} \approx \underline{\underline{2335 \text{ enheter}}}$

Oppgavedata

Poeng: 8
Temaer: enhetskostnad, optimering, økonomi
Kompetansemål: Finne grensekostnader og grenseinntekter i økonomiske modeller, og gjøre rede for betydningen av disse størrelsene