Enhetskostnad og grensekostnad

Kostnaden $K$ (i kroner) for en vare er gitt ved

K(x) = x^2 + 8x + 100

Her er $x$ antall produserte enheter av varen per dag.

Bestem et uttrykk for enhetskostnaden og et uttrykk for grensekostnaden.

Bestem den minste enhetskostnaden. Hva er produksjonsmengden da?

Fasit

$E(x) = x + 8 + \dfrac{100}{x}$ , $K'(x) = 2x + 8$

Minste enhetskostnad er $28 \mathrm{~kr}$ ved $x = 10$ enheter

LøsningsforslagKI-generert

Enhetskostnaden:

E(x) = \frac{K(x)}{x} = \frac{x^2 + 8x + 100}{x} = \underline{\underline{x + 8 + \frac{100}{x}}}

Grensekostnaden:

\underline{\underline{K'(x) = 2x + 8}}

Vi deriverer enhetskostnaden og setter lik null:

E'(x) = 1 - \frac{100}{x^2}

E'(x) = 0 \implies 1 = \frac{100}{x^2} \implies x^2 = 100 \implies x = 10

(Vi velger $x = 10$ siden $x > 0$ .)

Vi sjekker at dette er et minimum: $E''(x) = \dfrac{200}{x^3} > 0$ for $x > 0$ . ✓

E(10) = 10 + 8 + \frac{100}{10} = \underline{\underline{28 \mathrm{~kr}}}

Den minste enhetskostnaden er 28 kr ved produksjon av 10 enheter per dag.

Oppgavedata

Poeng: 4
Temaer: optimering, derivasjon, økonomi
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon