Eksponentiell vekstmodell for verdensbefolkning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tabellen nedenfor viser folketallet i verden noen utvalgte år.

Årstall	1927	1961	1974	1987	1999	2011
Folketall (milliarder)	$2,0$	$3,0$	$4,0$	$5,0$	$6,0$	$7,0$

La $x$ være antall år etter 1900 (i 1900 er $x = 0$ , i 1901 er $x = 1$ , og så videre).

Krever PC

Bruk regresjon til å vise at funksjonen $f$ gitt ved $f (x) = 1,27 \cdot {1,016}^{x}$ kan brukes som modell for å beskrive hvordan folketallet i verden har endret seg i årene 1927–2011.

For hånd

Hvor mange prosent øker folketallet med per år ifølge modellen i a)?

Krever PC

Når var folketallet $4,6$ milliarder ifølge modellen i a)?

Krever PC

Hvor lang tid går det ifølge modellen i a) mellom hver gang folketallet fordobles? Hvordan stemmer dette med tallene i tabellen ovenfor?

FN har utarbeidet prognoser som sier at folketallet i verden skal passere 8 milliarder i 2025 og 9 milliarder i 2045.

Kalkulator

Vurder om modellen i a) passer med disse prognosene.

Fasit

Regresjonen gir $f (x) \approx 1,27 \cdot {1,016}^{x}$ — se graf.

Folketallet øker med $1,6 %$ per år.

Ifølge modellen var folketallet $4,6$ mrd rundt $1981$ .

Dobbleringstid $\approx 43,7 år$ — passer godt med tabellen (ca. 47 år fra 2 til 4 mrd).

Modellen gir $\approx 9,2$ mrd i 2025 og $\approx 12,7$ mrd i 2045 — modellen overvurderer framtidig vekst sammenlignet med FNs prognoser.

LøsningsforslagKI-generert

Vi legger inn punktene fra tabellen i GeoGebra, der $x$ er antall år etter 1900:

$x$ (år etter 1900)	$27$	$61$	$74$	$87$	$99$	$111$
Folketall (mrd)	$2,0$	$3,0$	$4,0$	$5,0$	$6,0$	$7,0$

Vi kjører eksponentiell regresjon på punktene. GeoGebra gir modellen:

f (x) \approx 1,27 \cdot {1,016}^{x}

Grafen nedenfor viser at kurven passer godt med alle datapunktene.

Graf med datapunkter og eksponentiell modell

De røde punktene er tallene fra tabellen. Den blå kurven er modellen $f (x) = 1,27 \cdot {1,016}^{x}$ . Kurven treffer punktene godt, og vi kan bekrefte at modellen er en god tilnærming til dataene.

Modellen $f (x) = 1,27 \cdot {1,016}^{x}$ passer godt til tabellverdiene.

I modellen $f (x) = 1,27 \cdot {1,016}^{x}$ er vekstfaktoren $1,016$ .

Vekstfaktor $1,016$ betyr at folketallet multipliseres med $1,016$ hvert år, altså øker med

1,016 - 1 = 0,016 = 1,6 %

Ifølge modellen øker folketallet med $1,6 %$ per år.

Vi skal finne $x$ når $f (x) = 4,6$ :

1,27 \cdot {1,016}^{x} = 4,6

{1,016}^{x} = \frac{4,6}{1,27}

x = \frac{\ln (\frac{4,6}{1,27})}{\ln (1,016)} \approx \frac{\ln (3,622)}{\ln (1,016)} \approx \frac{1,287}{0,01587} \approx 81,1

$x \approx 81$ tilsvarer årstallet $1900 + 81 = 1981$ .

Ifølge modellen var verdens befolkning $4,6$ milliarder rundt år $1981$ .

Dobbleringstid $T$ er den tiden det tar før befolkningen dobles, altså når $f (x + T) = 2 \cdot f (x)$ .

Vi setter opp:

{1,016}^{T} = 2

T = \frac{\ln 2}{\ln (1,016)} \approx \frac{0,6931}{0,01587} \approx 43,7 år

Ifølge modellen tar det ca. $43,7 år$ mellom hver dobling.

Vi kan sammenligne med tabellen. Fra 2 til 4 mrd gikk det fra 1927 til 1974, altså $74 - 27 = 47$ år. Fra 3 til 6 mrd gikk det fra 1961 til 1999, altså $99 - 61 = 38$ år. Modellens dobbleringstid på ca. 44 år stemmer rimelig godt med disse observasjonene, selv om de faktiske dobleringstidene varierer noe.

Vi regner ut $f (125)$ (år 2025) og $f (145)$ (år 2045):

f (125) = 1,27 \cdot {1,016}^{125} \approx 1,27 \cdot 7,274 \approx 9,2 m r d

f (145) = 1,27 \cdot {1,016}^{145} \approx 1,27 \cdot 10,02 \approx 12,7 m r d

FNs prognoser: ca. $8$ mrd i 2025 og $9$ mrd i 2045.

År	FN-prognose	Modellen $f (x)$
2025	$8,0$ mrd	$\approx 9,2$ mrd
2045	$9,0$ mrd	$\approx 12,7$ mrd

Modellen overvurderer framtidig vekst. Den gir et for høyt tall for 2025 ( $9,2$ mot FNs $8,0$ mrd), og spesielt for 2045 ( $12,7$ mot FNs $9,0$ mrd). Dette tyder på at veksten i verdensbefolkningen faktisk er i ferd med å avta, og at en modell med konstant prosentvis vekst ikke passer like godt for fremtiden.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 8 poeng

Ved grafisk løsning skal avlesning markeres tydelig. Dette gjelder også ved bruk av digitale verktøy.

Her må eleven gjøre beregninger ut fra tallene i oppgaveteksten og trekke en konklusjon.

Oppgavedata

Hentet fra: 2P-Y V2012, del 2, oppgave 9
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Eksponentialfunksjon, Regresjon, Modellering

Eksponentiell vekstmodell for verdensbefolkning

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Eksponentiell vekstmodell for verdensbefolkning

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Eksponentiell vekstmodell for verdensbefolkning

Eksponentiell vekstmodell for verdensbefolkning

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer