Eksponentiell modell for befolkningsvekst

Tabellen nedenfor viser folketallet i en bygd, noen år i perioden 1910–1935.

År	1910	1913	1919	1921	1925	1927	1931	1935
Folketall	800	963	1253	1511	1720	1879	2387	2774

Bruk informasjonen til å lage en modell på formen

F(t) = a \cdot b^t

for antall personer $F(t)$ som bodde i bygda $t$ år etter 1910.

Vurder modellens gyldighetsområde.

Når økte befolkningen med mer enn 80 personer per år ifølge modellen?

Hvor mange år gikk det før den gjennomsnittlige befolkningsveksten fra 1910 var større enn 80 personer per år ifølge modellen?

Fasit

$F(t) \approx 820{,}6 \cdot 1{,}051^t$ , gyldighetsområde $t \in [0, 25]$

Fra og med 1924 ( $t \approx 13{,}5$ )

Etter 25 år

Løsningsforslag

Vi setter $t = 0$ i 1910 og bruker eksponentiell regresjon på datapunktene:

$t$	$0$	$3$	$9$	$11$	$15$	$17$	$21$	$25$
$F$	$800$	$963$	$1253$	$1511$	$1720$	$1879$	$2387$	$2774$

Eksponentiell regresjon (f.eks. i GeoGebra) gir:

\underline{\underline{F(t) \approx 820{,}6 \cdot 1{,}051^t}}

Grafen under viser at kurven passer godt til datapunktene ( $R^2 \approx 0{,}99$ ):

Regresjonsmodell og datapunkter for oppgave 2-1a

Gyldighetsområde: Modellen passer for dataene i perioden 1910–1935, det vil si $t \in [0, 25]$ . Utenfor dette tidsrommet kan vekstmønsteret endre seg og modellen mister gyldighet.

Vekstfarten er den deriverte av $F$ :

F'(t) = 820{,}6 \cdot 1{,}051^t \cdot \ln(1{,}051)

Vi løser $F'(t) = 80$ i GeoGebra CAS:

GeoGebra CAS løsning for oppgave 2-1b

CAS gir $t \approx 13{,}5$ , dvs. fra og med $t = 14$ (år 1924).

Befolkningen økte med mer enn 80 personer per år fra og med 1924 ifølge modellen.

Gjennomsnittlig befolkningsvekst fra 1910 til år $t$ er $\dfrac{F(t) - F(0)}{t}$ . Vi løser:

\frac{F(t) - 820{,}6}{t} = 80

i GeoGebra CAS:

GeoGebra CAS løsning for oppgave 2-1c

CAS gir $t \approx 24{,}6$ , så vi runder opp til $t = 25$ .

Det gikk $\underline{\underline{25 \text{ år}}}$ (til 1935) før den gjennomsnittlige veksten fra 1910 var større enn 80 personer per år.

Sensorveiledning

1 poeng for å finne modellen og 1 poeng for å vurdere gyldighetsområde.

3 poeng

Kandidater som svarer kun et år kan få 1 poeng.

3 poeng

Kandidater som har en god strategi, men ikke kommer fram til svaret kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: eksponentiell vekst, modellering, regresjon, derivasjon
Kompetansemål: Anvende derivasjon til å analysere og tolke egne matematiske modeller av reelle datasett
Forstå begrepene gjennomsnittlig og momentan vekstfart, grenseverdi og derivasjon, og bruke disse for å løse praktiske problemer