Diskret sannsynlighetsfordeling med parameter p

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Sannsynlighetsfordelingen for en stokastisk variabel $X$ er gitt ved følgende tabell:

$x$	0	1	2	3	4
$P(X=x)$	$2p$	$p$	$3p$	$0{,}3$	$p$

Forklar hvorfor $p = 0{,}1$ .

Bestem $\text{E}(X)$ og $\text{Var}(X)$ .

Fasit

$p = 0{,}1$

$\text{E}(X) = 2$ , $\text{Var}(X) = 1{,}6$

LøsningsforslagKI-generert

Alle sannsynlighetene i en sannsynlighetsfordeling må summere til 1:

P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 1

2p + p + 3p + 0{,}3 + p = 1

7p + 0{,}3 = 1

7p = 0{,}7

p = 0{,}1

$\underline{\underline{p = 0{,}1}}$ , fordi summen av alle sannsynligheter må være lik 1.

Med $p = 0{,}1$ får vi fordelingen:

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$P(X=x)$	$0{,}2$	$0{,}1$	$0{,}3$	$0{,}3$	$0{,}1$

Forventningsverdi:

\text{E}(X) = \sum x \cdot P(X=x)

= 0 \cdot 0{,}2 + 1 \cdot 0{,}1 + 2 \cdot 0{,}3 + 3 \cdot 0{,}3 + 4 \cdot 0{,}1

= 0 + 0{,}1 + 0{,}6 + 0{,}9 + 0{,}4 = 2{,}0

$\underline{\underline{\text{E}(X) = 2}}$

Varians:

Vi bruker formelen $\text{Var}(X) = \text{E}(X^2) - [\text{E}(X)]^2$ .

Først beregner vi $\text{E}(X^2)$ :

\text{E}(X^2) = \sum x^2 \cdot P(X=x)

= 0^2 \cdot 0{,}2 + 1^2 \cdot 0{,}1 + 2^2 \cdot 0{,}3 + 3^2 \cdot 0{,}3 + 4^2 \cdot 0{,}1

= 0 + 0{,}1 + 1{,}2 + 2{,}7 + 1{,}6 = 5{,}6

Deretter:

\text{Var}(X) = \text{E}(X^2) - [\text{E}(X)]^2 = 5{,}6 - 2^2 = 5{,}6 - 4 = 1{,}6

$\underline{\underline{\text{Var}(X) = 1{,}6}}$

Oppgavedata

Sync på tvers av enheter