Derivasjon, uendelig rekke og polynomdivisjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene:

f (x) = x^{2} \cdot \ln x

g (x) = 3 \cdot e^{x^{2}}

Gitt den uendelige rekken

1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots

Avgjør om rekken konvergerer, og bestem eventuelt summen av rekken.

Sannsynlighetsfordelingen til en stokastisk variabel $X$ er gitt ved

$x$	$- 3$	$0$	$1$	$B$
$P (X = x)$	$0,2$	$0,1$	$A$	$0,3$

Du får opplyst at $B > 1$ .

Bestem $A$ og $P (X < 1)$ .

Bestem $B$ når du får opplyst at $E (X) = 1,0$ .

Vis at variansen er $Var (X) = 6,0$ .

Vi har gitt funksjonen $f (x) = 3 x^{3} + 6 x^{2} - 3 x - 6$

Vis at $f (x)$ er delelig med $(x + 1)$ .

Løs likningen $f (x) = 0$ .

En polynomfunksjon $f$ av andre grad er gitt ved

f (x) = a x^{2} + b x + c

Du får oppgitt at: $f (2) = - 4$ , $f^{'} (2) = 0$ og $f^{''} (2) = 8$ .

Bestem funksjonsuttrykket til $f$ .

Finn nullpunktene til $f$ og eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$ .

En stabel med aluminiumsrør ligger delvis skjult bak en murvegg.

La antall rør i rad nummer $n$ ovenfra være $a_{n}$ . Ta utgangspunkt i tegningen og forklar at $a_{n} = n + 3$ når $n \geq 1$ .

Vis at antall rør til sammen i de $n$ øverste radene er gitt ved

S_{n} = \frac{7 n + n^{2}}{2}

Hvor mange rader trengs for å få plass til $225$ rør? (Du kan få bruk for at $\sqrt{1849} = 43$ .)

Fasit

$f^{'} (x) = x (2 \ln x + 1)$ , $g^{'} (x) = 6 x e^{x^{2}}$

Konvergerer, $s = 2$

$A = 0,4$ , $P (X < 1) = 0,3$ , $B = 4$ , $Var (X) = 6,0$

$x = - 2, x = - 1, x = 1$

$f (x) = 4 x^{2} - 16 x + 12$ , nullpunkter $x = 1, x = 3$ , bunnpunkt $(2, - 4)$

$a_{n} = n + 3$ , $S_{n} = \frac{7 n + n^{2}}{2}$ , $n = 18$

LøsningsforslagKI-generert

$f (x) = x^{2} \cdot \ln x$ . Vi bruker produktregelen med $u = x^{2}$ , $u^{'} = 2 x$ , $v = \ln x$ , $v^{'} = \frac{1}{x}$ :

f^{'} (x) = 2 x \cdot \ln x + x^{2} \cdot \frac{1}{x} = 2 x \ln x + x = x (2 \ln x + 1)

$g (x) = 3 \cdot e^{x^{2}}$ . Kjerneregelen med indre funksjon $x^{2}$ (derivert $2 x$ ) gir:

g^{'} (x) = 3 \cdot e^{x^{2}} \cdot 2 x = 6 x e^{x^{2}}

Rekken $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots$ er en geometrisk rekke med $a_{1} = 1$ og kvotient $k = \frac{1}{2}$ . Siden $| k | < 1$ , konvergerer rekken.

s = \frac{a_{1}}{1 - k} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2

s = 2

Summen av alle sannsynlighetene må være $1$ :

0,2 + 0,1 + A + 0,3 = 1 \Rightarrow A = 1 - 0,6 = 0,4

P (X < 1) = P (X = - 3) + P (X = 0) = 0,2 + 0,1 = 0,3

Vi bruker at $E (X) = 1,0$ :

E (X) = - 3 \cdot 0,2 + 0 \cdot 0,1 + 1 \cdot 0,4 + B \cdot 0,3 = - 0,6 + 0,4 + 0,3 B = - 0,2 + 0,3 B

- 0,2 + 0,3 B = 1,0 \Rightarrow 0,3 B = 1,2 \Rightarrow B = 4

Siden $B = 4 > 1$ stemmer dette med opplysningen i oppgaven.

B = 4

Vi finner $E (X^{2})$ med $B = 4$ :

E (X^{2}) = {(- 3)}^{2} \cdot 0,2 + 0^{2} \cdot 0,1 + 1^{2} \cdot 0,4 + 4^{2} \cdot 0,3 = 1,8 + 0 + 0,4 + 4,8 = 7,0

Var (X) = E (X^{2}) - {(E (X))}^{2} = 7,0 - {1,0}^{2} = 6,0

Dette viser at $Var (X) = 6,0$ .

$f (x) = 3 x^{3} + 6 x^{2} - 3 x - 6$ . Vi setter inn $x = - 1$ :

f (- 1) = 3 \cdot (- 1) + 6 \cdot 1 - 3 \cdot (- 1) - 6 = - 3 + 6 + 3 - 6 = 0

Siden $f (- 1) = 0$ , er $f (x)$ delelig med $(x + 1)$ .

Polynomdivisjon gir:

(3 x^{3} + 6 x^{2} - 3 x - 6) \div (x + 1) = 3 x^{2} + 3 x - 6

Faktoriserer videre: $3 x^{2} + 3 x - 6 = 3 (x^{2} + x - 2) = 3 (x + 2) (x - 1)$ .

Dermed er $f (x) = 3 (x + 1) (x + 2) (x - 1)$ , og $f (x) = 0$ når:

x = - 2, x = - 1, x = 1

Vi har $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , med $f^{'} (x) = 2 a x + b$ og $f^{''} (x) = 2 a$ .

Fra $f^{''} (2) = 8$ : $2 a = 8 \Rightarrow a = 4$

Fra $f^{'} (2) = 0$ : $2 \cdot 4 \cdot 2 + b = 0 \Rightarrow 16 + b = 0 \Rightarrow b = - 16$

Fra $f (2) = - 4$ : $4 \cdot 2^{2} + (- 16) \cdot 2 + c = - 4 \Rightarrow 16 - 32 + c = - 4 \Rightarrow c = 12$

f (x) = 4 x^{2} - 16 x + 12

Nullpunkter: $4 x^{2} - 16 x + 12 = 0$ . Deler på $4$ : $x^{2} - 4 x + 3 = 0 \Rightarrow (x - 1) (x - 3) = 0$

x = 1 eller x = 3

Siden $a = 4 > 0$ og $f^{'} (2) = 0$ , har grafen et bunnpunkt i $x = 2$ : $f (2) = - 4$ . Det finnes ikke noe toppunkt, siden parabelen bare vender oppover.

Bunnpunkt (2, - 4), nullpunkter x = 1 og x = 3

Ifølge figuren har øverste rad $a_{1} = 4$ rør, og hver rad nedover har ett rør mer enn raden over. Dette gir en arimetisk følge med $a_{1} = 4$ og differanse $d = 1$ :

a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot d = 4 + (n - 1) = n + 3

Summen av de $n$ øverste radene er en aritmetisk rekke:

S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} (i + 3) = \frac{n (n + 1)}{2} + 3 n = \frac{n (n + 1) + 6 n}{2} = \frac{n^{2} + 7 n}{2} = \frac{7 n + n^{2}}{2}

Vi setter $S_{n} = 225$ :

\frac{n^{2} + 7 n}{2} = 225 \Rightarrow n^{2} + 7 n - 450 = 0

Bruker abc-formelen:

n = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 1800}}{2} = \frac{- 7 \pm \sqrt{1849}}{2} = \frac{- 7 \pm 43}{2}

Siden $n$ må være positiv, velger vi $n = \frac{36}{2} = 18$ .

n = 18 rader

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2010, del 1, oppgave 1
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Derivasjon, Uendelig rekke, Diskrete sannsynlighetsfordelinger, Polynomdivisjon, Aritmetisk rekke

Derivasjon, uendelig rekke og polynomdivisjon

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Derivasjon, uendelig rekke og polynomdivisjon

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Derivasjon, uendelig rekke og polynomdivisjon

Derivasjon, uendelig rekke og polynomdivisjon

Lov på eksamen

Temaer