Derivasjon rekker og funksjonsdrøfting S2 V12

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f(x) = x^3 + 2x + 3

g(x) = 2x^2 \cdot e^{2x}

h(x) = 3x \cdot \ln(2x)

Vi har gitt rekkene

$2 + 4 + 6 + 8 + 10 + \cdots$ — Bruk formelen for $S_n$ til å bestemme $S_{10}$

$2 + 5 + 8 + \cdots + 89$ — Bruk formler og bestem summen til rekken.

$1 + 2 + 4 + 8 + \cdots$ — Bruk formelen for $S_n$ til å bestemme $S_8$

$1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \cdots$ — Bestem summen til den uendelige rekken.

Gitt funksjonen

f(x) = 4x^3 - 6x^2, \quad x \in \langle -1,\ 2 \rangle

Løs likningen $f(x) = 0$

Bestem $f'(x)$ , og tegn fortegnslinjen til den deriverte.

Bruk fortegnslinjen i 2) til å finne eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$ .

Tegn en skisse av grafen til $f$ .

Overflaten til et tetraeder består av fire likesidede trekanter. De ulike sidene er markert med henholdsvis 1, 2, 3 og 4 øyne.

To tetraeder-terninger

Vi kaster to slike «terninger».

La $X$ være summen av antall øyne på de to sidene som vender ned.

Skriv av og fyll ut tabellen:

$x$	2	3	4	5	6	7	8
$P(X=x)$					$\dfrac{3}{16}$

Bestem forventningsverdien $\text{E}(X)$ .

En buss stoppet tre steder på en rute. På første holdeplass kom det på ti barn, fire voksne og tre pensjonister. Til sammen betalte disse 225 kroner. På neste stoppested kom det på åtte barn, tre voksne og to pensjonister. Disse betalte til sammen 170 kroner. På siste holdeplass kom det på ni barn, fire voksne og tre pensjonister. Disse betalte til sammen 215 kroner.

Sett opp og løs et likningssystem, og bestem billettprisen for barn, voksne og pensjonister.

Fasit

1) $f'(x) = 3x^2+2$ 2) $g'(x) = 4xe^{2x}(1+x)$ 3) $h'(x) = 3(\ln(2x)+1)$

1) $S_{10} = 110$ 2) $S = 1365$ 3) $S_8 = 255$ 4) $S = 2$

1) $x=0$ eller $x=\dfrac{3}{2}$ 2) $f'(x)=12x(x-1)$ 3) Toppunkt $(0,\,0)$ , bunnpunkt $(1,\,-2)$

Se tabell. $\text{E}(X) = 5$

Barn: $\underline{\underline{10 \, \mathrm{kr}}}$ , voksen: $\underline{\underline{20 \, \mathrm{kr}}}$ , pensjonist: $\underline{\underline{15 \, \mathrm{kr}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi deriverer funksjonene enkeltvis.

1) $f(x) = x^3 + 2x + 3$

f'(x) = \textcolor{seagreen}{3x^2 + 2}

2) $g(x) = 2x^2 \cdot e^{2x}$ — produktregel med $u = 2x^2$ og $v = e^{2x}$ :

g'(x) = 4x \cdot e^{2x} + 2x^2 \cdot 2e^{2x} = 4xe^{2x} + 4x^2 e^{2x} = \textcolor{seagreen}{4xe^{2x}(1+x)}

3) $h(x) = 3x \cdot \ln(2x)$ — produktregel med $u = 3x$ og $v = \ln(2x)$ :

h'(x) = 3 \cdot \ln(2x) + 3x \cdot \frac{1}{x} = 3\ln(2x) + 3 = \textcolor{seagreen}{3(\ln(2x)+1)}

(Her brukte vi kjerneregel for $\ln(2x)$ : den deriverte er $\dfrac{1}{2x} \cdot 2 = \dfrac{1}{x}$ .)

1) $2 + 4 + 6 + 8 + 10 + \cdots$ er en aritmetisk rekke med $a_1 = 2$ og $d = 2$ .

S_{10} = \frac{10}{2}(a_1 + a_{10}) = 5(2 + 20) = \textcolor{seagreen}{110}

2) $2 + 5 + 8 + \cdots + 89$ er en aritmetisk rekke med $a_1 = 2$ , $d = 3$ og siste ledd $a_n = 89$ .

Vi finner $n$ : $a_n = 2 + (n-1) \cdot 3 = 89 \Rightarrow 3(n-1) = 87 \Rightarrow n = 30$

S_{30} = \frac{30}{2}(2 + 89) = 15 \cdot 91 = \textcolor{seagreen}{1365}

3) $1 + 2 + 4 + 8 + \cdots$ er en geometrisk rekke med $a_1 = 1$ og $k = 2$ .

S_8 = \frac{a_1(k^8 - 1)}{k - 1} = \frac{1 \cdot (256 - 1)}{1} = \textcolor{seagreen}{255}

4) $1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \cdots$ er en uendelig geometrisk rekke med $a_1 = 1$ og $k = \dfrac{1}{2}$ .

S = \frac{a_1}{1-k} = \frac{1}{1-\tfrac{1}{2}} = \textcolor{seagreen}{2}

Gitt $f(x) = 4x^3 - 6x^2$ på $x \in \langle -1,\, 2 \rangle$ .

1) Vi løser $f(x) = 0$ :

4x^3 - 6x^2 = 2x^2(2x - 3) = 0

x = 0 \qquad \text{eller} \qquad x = \frac{3}{2}

Begge er i definisjonsmengden.

2) Vi deriverer:

f'(x) = 12x^2 - 12x = 12x(x-1)

Nullpunkter: $x = 0$ og $x = 1$ .

Fortegnslinje for $f'(x)$ :

\begin{array}{c|ccccc} x & & 0 & & 1 & \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \end{array}

(For $x \in \langle -1,\, 0 \rangle$ : $12x < 0$ og $(x-1) < 0$ , så $f'(x) > 0$ . For $x \in (0,\,1)$ : $12x > 0$ og $(x-1) < 0$ , så $f'(x) < 0$ . For $x \in (1,\,2)$ : begge faktorer positive, $f'(x) > 0$ .)

3) Fra fortegnslinjen:

$x = 0$ : $f'$ skifter fra $+$ til $-$ → toppunkt: $f(0) = 0$ , koordinater $(0,\, 0)$
$x = 1$ : $f'$ skifter fra $-$ til $+$ → bunnpunkt: $f(1) = 4 - 6 = -2$ , koordinater $(1,\, -2)$

4) Skisse av grafen: Funksjonen starter i $f(-1) = -4-6 = -10$ , stiger til toppunktet $(0,\, 0)$ , faller til bunnpunktet $(1,\, -2)$ , og stiger deretter. Den krysser $x$ -aksen ved $x=0$ og $x = \dfrac{3}{2}$ , og ender i $f(2) = 32 - 24 = 8$ .

Et tetraeder har sidene merket 1, 2, 3 og 4. Vi kaster to slike terninger. $X$ = sum av øyne.

Totalantall utfall: $4 \times 4 = 16$ .

$x$	2	3	4	5	6	7	8
Gunstige utfall	$(1,1)$	$(1,2),(2,1)$	$(1,3),(2,2),(3,1)$	$(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)$	$(2,4),(3,3),(4,2)$	$(3,4),(4,3)$	$(4,4)$
$P(X=x)$	$\dfrac{1}{16}$	$\dfrac{2}{16}$	$\dfrac{3}{16}$	$\dfrac{4}{16}$	$\dfrac{3}{16}$	$\dfrac{2}{16}$	$\dfrac{1}{16}$

Forventningsverdi:

\text{E}(X) = 2 \cdot \frac{1}{16} + 3 \cdot \frac{2}{16} + 4 \cdot \frac{3}{16} + 5 \cdot \frac{4}{16} + 6 \cdot \frac{3}{16} + 7 \cdot \frac{2}{16} + 8 \cdot \frac{1}{16}

= \frac{2 + 6 + 12 + 20 + 18 + 14 + 8}{16} = \frac{80}{16} = \textcolor{seagreen}{5}

La $b$ = pris barn, $v$ = pris voksen, $p$ = pris pensjonist (i kroner).

Fra de tre holdeplassene setter vi opp:

\begin{cases} 10b + 4v + 3p = 225 & \text{(I)} \\ 8b + 3v + 2p = 170 & \text{(II)} \\ 9b + 4v + 3p = 215 & \text{(III)} \end{cases}

Finn $b$ : Trekk (III) fra (I):

(10b - 9b) + (4v - 4v) + (3p - 3p) = 225 - 215

b = 10

Finn $v$ : Sett $b=10$ inn i (I) og (II):

\begin{cases} 4v + 3p = 125 & \text{(I')} \\ 3v + 2p = 90 & \text{(II')} \end{cases}

Multipliser (I’) med 2 og (II’) med 3:

\begin{cases} 8v + 6p = 250 \\ 9v + 6p = 270 \end{cases}

Trekk første fra andre: $v = 20$

Finn $p$ : Sett $v = 20$ inn i (I’):

4 \cdot 20 + 3p = 125 \implies 3p = 45 \implies p = 15

Svar: Billettprisen er $\underline{\underline{10 \, \mathrm{kr}}}$ for barn, $\underline{\underline{20 \, \mathrm{kr}}}$ for voksne og $\underline{\underline{15 \, \mathrm{kr}}}$ for pensjonister.

Kontroll: $10 \cdot 10 + 4 \cdot 20 + 3 \cdot 15 = 100 + 80 + 45 = 225$ ✓

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 24
Temaer: Derivasjon, Rekker, Uendelig rekke, Funksjonsdrøfting, Diskrete sannsynlighetsfordelinger, Forventningsverdi, Likningssystem

Derivasjon rekker og funksjonsdrøfting S2 V12

Sync på tvers av enheter

Derivasjon rekker og funksjonsdrøfting S2 V12

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave