Derivasjon og tolkning av stigningstall

Deriver funksjonen $f$ gitt ved

f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \sqrt{x} + 2

Funksjon $g$ gitt ved

g(x) = \frac{2x-3}{e^x}

er kontinuerlig og deriverbar for alle $x \in \mathbb{R}$ .

Bestem $g'(2)$ og $g'(3)$ .

Hva forteller svarene i oppgave b om grafen til $g$ når $x \in [2, 3]$ ?

Fasit

$f'(x) = x^2 + \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

$g'(2) = \dfrac{1}{e^2}$ , $g'(3) = -\dfrac{1}{e^3}$

Grafen til $g$ har et toppunkt i intervallet $\langle 2, 3 \rangle$

Løsningsforslag

Vi bruker potensregler og derivasjonsregler:

f(x) = \frac{1}{3}x^3 + x^{1/2} + 2

f'(x) = x^2 + \frac{1}{2}x^{-1/2} = x^2 + \frac{1}{2\sqrt{x}}

$\underline{\underline{f'(x) = x^2 + \dfrac{1}{2\sqrt{x}}}}$

Vi bruker kvotientregelen på $g(x) = \dfrac{2x-3}{e^x}$ :

g'(x) = \frac{2 \cdot e^x - (2x-3) \cdot e^x}{(e^x)^2} = \frac{e^x(2 - 2x + 3)}{e^{2x}} = \frac{5-2x}{e^x}

Dermed:

\begin{aligned} g'(2) &= \frac{5- 2\cdot 2 }{e^2} = \frac{1}{e^2} \\[6pt] g'(3) &= \frac{5- 2 \cdot 3}{e^3} = -\frac{1}{e^3} \end{aligned}

$\underline{\underline{g'(2) = \dfrac{1}{e^2}}}$ og $\underline{\underline{g'(3) = -\dfrac{1}{e^3}}}$

Siden $g'(2) = \dfrac{1}{e^2} > 0$ , er grafen til $g$ stigende i $x = 2$ .

Siden $g'(3) = -\dfrac{1}{e^3} < 0$ , er grafen til $g$ synkende i $x = 3$ .

Fordi $g'$ er kontinuerlig og skifter fortegn fra positivt til negativt i intervallet $\langle 2, 3 \rangle$ , har $g$ et toppunkt et sted i dette intervallet.

Sensorveiledning

Kandidaten må derivere to av leddene riktig for å få 1 poeng.

1 poeng for å derivere uttrykket og 1 poeng for å regne ut verdiene av de deriverte.

5 poeng

Kandidaten må kommentere fortegnet til deriverte for å få uttelling.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: derivasjon, funksjoner
Kompetansemål: Forstå begrepene gjennomsnittlig og momentan vekstfart, grenseverdi og derivasjon, og bruke disse for å løse praktiske problemer