Derivasjon med brøk og kjerneregel S1 V26

Deriver funksjonene $g$ og $h$ gitt ved

$g(x) = 3x^2 - 5 + \dfrac{3}{x-2}$

$h(x) = (3x+2)^3 + \ln(3x)$

Fasit

$g'(x) = 6x - \dfrac{3}{(x-2)^2}$

$h'(x) = 9(3x+2)^2 + \dfrac{1}{x}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skriver om brøken til en potens:

g(x) = 3x^2 - 5 + 3(x-2)^{-1}

Nå deriverer vi ledd for ledd. De to første leddene er enkle. For det tredje leddet bruker vi kjerneregelen med ytre funksjon $u^{-1}$ og indre funksjon $u = x - 2$ :

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[3(x-2)^{-1}\right] = 3 \cdot (-1)(x-2)^{-2} \cdot 1 = -\frac{3}{(x-2)^2}

Dermed er

\boxed{g'(x) = 6x - \frac{3}{(x-2)^2}}

$g'(x) = \underline{\underline{6x - \dfrac{3}{(x-2)^2}}}$

Vi deriverer ledd for ledd med kjerneregelen på begge ledd.

Første ledd: Ytre funksjon $u^3$ , indre funksjon $u = 3x + 2$ :

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[(3x+2)^3\right] = 3(3x+2)^2 \cdot 3 = 9(3x+2)^2

Andre ledd: Ytre funksjon $\ln(u)$ , indre funksjon $u = 3x$ :

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\ln(3x)\right] = \frac{1}{3x} \cdot 3 = \frac{1}{x}

Dermed er

$h'(x) = \underline{\underline{9(3x+2)^2 + \dfrac{1}{x}}}$

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: derivasjon, logaritmer
Kompetansemål: Forstå begrepene gjennomsnittlig og momentan vekstfart, grenseverdi og derivasjon, og bruke disse for å løse praktiske problemer