Derivasjon av sammensatte funksjoner Deriver funksjonene a) f(x)=2ex+3lnxf(x) = 2e^x + 3\ln xf(x)=2ex+3lnx b) g(x)=x⋅(2x+5)4g(x) = x \cdot (2x + 5)^4g(x)=x⋅(2x+5)4 c) h(x)=x2−1e2xh(x) = \dfrac{x^2 - 1}{e^{2x}}h(x)=e2xx2−1 Fasit a) f′(x)=2ex+3xf'(x) = 2e^x + \dfrac{3}{x}f′(x)=2ex+x3 b) g′(x)=5(2x+1)(2x+5)3g'(x) = 5(2x+1)(2x+5)^3g′(x)=5(2x+1)(2x+5)3 c) h′(x)=−2x2+2x+2e2xh'(x) = \dfrac{-2x^2 + 2x + 2}{e^{2x}}h′(x)=e2x−2x2+2x+2 LøsningsforslagKI-generert a) f(x)=2ex+3lnxf(x) = 2e^x + 3\ln xf(x)=2ex+3lnx f′(x)=2ex+3x‾‾\underline{\underline{f'(x) = 2e^x + \frac{3}{x}}}f′(x)=2ex+x3 b) Vi bruker produktregelen med u=xu = xu=x og v=(2x+5)4v = (2x+5)^4v=(2x+5)4. u′=1,v′=4(2x+5)3⋅2=8(2x+5)3u' = 1, \quad v' = 4(2x+5)^3 \cdot 2 = 8(2x+5)^3u′=1,v′=4(2x+5)3⋅2=8(2x+5)3 g′(x)=1⋅(2x+5)4+x⋅8(2x+5)3g'(x) = 1 \cdot (2x+5)^4 + x \cdot 8(2x+5)^3g′(x)=1⋅(2x+5)4+x⋅8(2x+5)3 =(2x+5)3[(2x+5)+8x]= (2x+5)^3\big[(2x+5) + 8x\big]=(2x+5)3[(2x+5)+8x] =(2x+5)3(10x+5)= (2x+5)^3(10x + 5)=(2x+5)3(10x+5) g′(x)=5(2x+1)(2x+5)3‾‾\underline{\underline{g'(x) = 5(2x+1)(2x+5)^3}}g′(x)=5(2x+1)(2x+5)3 c) Vi bruker kvotientregelen med u=x2−1u = x^2 - 1u=x2−1 og v=e2xv = e^{2x}v=e2x. u′=2x,v′=2e2xu' = 2x, \quad v' = 2e^{2x}u′=2x,v′=2e2x h′(x)=2x⋅e2x−(x2−1)⋅2e2x(e2x)2h'(x) = \frac{2x \cdot e^{2x} - (x^2-1) \cdot 2e^{2x}}{(e^{2x})^2}h′(x)=(e2x)22x⋅e2x−(x2−1)⋅2e2x =2e2x[x−(x2−1)]e4x=2(−x2+x+1)e2x= \frac{2e^{2x}\big[x - (x^2-1)\big]}{e^{4x}} = \frac{2(-x^2 + x + 1)}{e^{2x}}=e4x2e2x[x−(x2−1)]=e2x2(−x2+x+1) h′(x)=−2x2+2x+2e2x‾‾\underline{\underline{h'(x) = \frac{-2x^2 + 2x + 2}{e^{2x}}}}h′(x)=e2x−2x2+2x+2 OppgavedataPoeng5Temaerderivasjon, eksponentialfunksjoner, logaritmerKompetansemålAnalysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon