Blomsterbed med halvsirkel

deloppgave: a poeng: 1
- deloppgave: c poeng: 1

Blomsterbed med halvsirkel

Selma og Sofie vil lage et blomsterbed med gjerde rundt. Blomsterbedet skal ha form som et rektangel med en halvsirkel i enden. Se skissen.

Formler for omkrets og areal av en sirkel:

O = 2 \cdot \pi \cdot r

A = \pi \cdot r^2

Blomsterbed skisse

Forklar at omkretsen av blomsterbedet kan skrives som

O = 2 \cdot y + x + \frac{\pi \cdot x}{2}

Jentene har kjøpt inn materialer slik at de kan lage et gjerde som er 12 meter.

Selma foreslår at $x$ skal være 1 meter.

Vis at da må $y$ være ca. $4{,}7$ meter.

Hvor stort blir arealet av blomsterbedet dersom $x = 1$ og $y = 4{,}7$ ?

Sofie vil lage en systematisk oversikt som viser arealet av ulike blomsterbed de kan lage når gjerdet skal være 12 meter.

Lag en slik oversikt for Sofie.

Selma lurer på om de kan tegne en graf som de kan bruke for å finne den verdien av $x$ som vil gi størst mulig areal når gjerdet skal være 12 meter. Hun prøver å sette opp et funksjonsuttrykk hun kan bruke.

Sett opp et funksjonsuttrykk for Selma. Tegn grafen og bestem det størst mulige arealet.

Fasit

Vis

$y \approx 4{,}7 \, \mathrm{m}$

$A \approx 5{,}1 \, \mathrm{m^2}$

Oversiktstabell

$A_{\max} \approx 10{,}1 \, \mathrm{m^2}$ ved $x \approx 3{,}36 \, \mathrm{m}$

LøsningsforslagKI-generert

Blomsterbedet har to sider av lengde $y$ (de to langsidene), én rett ende med lengde $x$ , og én halvsirkel med diameter $x$ (radius $r = x/2$ ).

De tre rette sidene vil ha lengde $y+x+y$ .

Halvsirkelen har omkretsen til en halvsirkel med radius $\frac{x}{2}$ . Omkretsen til en hel sirkel er $2\pi r$ , og da blir omkretsen til en halvsirkel $\pi r$ . Lengden av vår halvsirkel er

\pi \cdot r = \pi \cdot \frac{x}{2 }=\frac{\pi x}{2}

Dermed er den totale omkretsen:

O = y + x + y + \frac{\pi x}{2} = \underline{\underline{ 2y + x + \frac{\pi x}{2} }}

Setter inn $x = 1$ og $O = 12$ :

12 = 2y + 1 + \frac{\pi \cdot 1}{2}

2y = 12 - 1 - \frac{\pi}{2} = 11 - \frac{\pi}{2} \approx 11 - 1{,}571 = 9{,}429

y \approx 4{,}71 \approx 4{,}7

Når $x = 1$ , er $y \approx \underline{\underline{4{,}7 \, \mathrm{m}}}$ .

Arealet består av et rektangel og en halvsirkel:

A = x \cdot y + \frac{\pi r^2}{2} = 1 \cdot 4{,}7 + \frac{\pi \cdot (0{,}5)^2}{2} = 4{,}7 + \frac{\pi}{8} \approx 4{,}7 + 0{,}39 = 5{,}09

Arealet er omtrent $\underline{\underline{5{,}1 \, \mathrm{m^2}}}$ .

Fra $O = 12$ får vi $y = \dfrac{12 - x\left(1 + \dfrac{\pi}{2}\right)}{2}$ .

Arealet er $A = xy + \dfrac{\pi x^2}{8}$ .

$x$ (m)	$y$ (m)	$A$ (m²)
$0{,}5$	$5{,}36$	$2{,}78$
$1{,}0$	$4{,}71$	$5{,}11$
$1{,}5$	$4{,}07$	$6{,}99$
$2{,}0$	$3{,}43$	$8{,}43$
$2{,}5$	$2{,}79$	$9{,}42$
$3{,}0$	$2{,}14$	$9{,}97$
$3{,}5$	$1{,}50$	$10{,}06$
$4{,}0$	$0{,}86$	$9{,}72$

Tabellen viser at størst areal oppnås et sted mellom $x = 3$ og $x = 4$ .

Fra $O = 12$ uttrykker vi $y$ som funksjon av $x$ :

y = \frac{12 - x \left(1 + \frac{\pi}{2}\right)}{2}

Setter inn i arealformelen og forenkler:

A(x) = x \cdot y + \frac{\pi x^2}{8} = 6x - x^2 \cdot \frac{4 + \pi}{8}

Vi tegner grafen til $A(x)$ i GeoGebra og leser av toppunktet:

$Graf av A(x) = 6x - x^2 \cdot \frac{4+\pi}{8} med toppunkt markert$

Fra grafen leser vi at toppunktet er $(3{,}36,\ 10{,}08)$ , altså $x \approx 3{,}36 \, \mathrm{m}$ og $A \approx 10{,}1 \, \mathrm{m^2}$ .

Tilhørende $y$ :

y = \frac{12 - 3{,}36 \cdot \left(1 + \frac{\pi}{2}\right)}{2} \approx 1{,}68 \, \mathrm{m}

Det største arealet er $\underline{\underline{\approx 10{,}1 \, \mathrm{m^2}}}$ , og det oppnås når $x \approx 3{,}36 \, \mathrm{m}$ .

Sensorveiledning

2 poeng

En kandidat som setter inn verdier for $x$ og $y$ og viser at gjerdet blir omtrent 12 meter, får full uttelling.

2 poeng

En kandidat som løser oppgaven i et regneark, men ikke viser formlene, kan få full uttelling.

2 poeng

I utgangspunktet gis 1 poeng for riktig funksjonsuttrykk og graf og 1 poeng for størst mulig areal.

Oppgavedata

Poeng: 6
Temaer: geometri, funksjoner, areal
Kompetansemål: Tolke og bruke funksjonar i matematisk modellering og problemløysing
Identifisere variable storleikar i ulike situasjonar og bruke dei til utforsking og generalisering