Binomisk fordeling - billettkontroll S2 V26

Silas skal ta bussen 20 ganger. Sannsynligheten for billettkontroll på en busstur er $5\,\%$ . Vi lar $X$ være antall kontroller på de 20 bussturene.

Bestem forventningsverdien $E(X)$ og variansen $\text{Var}(X)$ .

Hver busstur koster $65 \mathrm{~kr}$ , og Silas får en bot på $1470 \mathrm{~kr}$ dersom han blir tatt i en kontroll.

Vis at det sannsynligvis vil lønne seg for Silas å kjøpe billetter.

Fasit

$E(X)=1$ og $Var(X)=0{,}95$

–

Løsningsforslag

Vi antar at bussturene er uavhengige av hverandre og bruker binomisk sannsynlighetsmodell.

E(X)=np = 20 \cdot 0{,}05= 1

\text{Var}(X)=np(1-p)=E(X) \cdot (1-0{,}05)= 1 \cdot 0{,}95 = 0{,}95

Forventningsverdien er $\underline{\underline{ E(X)=1 }}$ og variansen er $\underline{\underline{ \text{Var}(X)=0{,}95 }}$ .

Silas blir sannsynligvis stanset i kontroll 1 gang i løpet av de 20 turene (det er nettopp det $E(X)=1$ fra forrige oppgave betyr). Det betyr at han i gjennomsnitt i det lange løp må betale $1 \cdot 1470 = 1470 \mathrm{~kr}$ i bot for de 20 turene dersom han aldri kjøper billett.

Hvis Silas kjøper billett hver tur så koster det $20 \cdot 65 = 1300 \mathrm{~kr}$ . Det er rimeligere enn å måtte betale bot.

Forventningsverdien til Silas’ bot er 1470 kr for de 20 turene. Det er dyrere enn samlet billettpris som er 1300 kr.

Sensorveiledning

1 poeng for å finne forventningsverdien og 1 poeng for å finne variansen.

3 poeng

Kandidaten må sammenlikne verdiene og bruke forventningsverdien for å få uttelling.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: binomisk fordeling, forventningsverdi, varians
Kompetansemål: Forstå begrepene forventningsverdi, varians og standardavvik, og bruke disse størrelsene til å tolke stokastiske variabler
Simulere utfall i, utforske og tolke ulike statistiske fordelinger, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse fordelingene