Vi setter $t=\mathrm{0,5}$ inn i $x(t)$:

Bilen har kjørt omtrent $\underline{\underline{\mathrm{34,6}\mathrm{km}}}$ i løpet av den første halvtimen.

Vi bruker digitalt verktøy til å løse likningen $x(t)=500$.

Vi tegner grafen til $x(t)=80t+30e^{-\mathrm{0,4}t}-30$ og den horisontale linjen $y=500$, og finner skjæringspunktet.

Fra grafen leser vi av at skjæringspunktet er ved $t\approx \mathrm{6,60}$.

Bilen bruker omtrent $\underline{\underline{t\approx \mathrm{6,60}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{r}}}$ på de første 500 km.

Vi skal derivere $b(x)=\mathrm{0,07}\cdot x\cdot (1+e^{-\mathrm{0,5}x})$.

Vi skriver $b(x)=u(x)\cdot v(x)$ der $u(x)=\mathrm{0,07}x$ og $v(x)=1+e^{-\mathrm{0,5}x}$.

Produktregelen gir $b^{\prime }(x)=u^{\prime }(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v^{\prime }(x)$.

Vi deriverer $v(x)=1+e^{-\mathrm{0,5}x}$ med kjerneregelen: la $g(x)=-\mathrm{0,5}x$, da er $v(x)=1+e^{g(x)}$ og

Vi setter inn:

Vi kan verifisere dette med GeoGebra CAS:

Praktisk betydning av $b^{\prime }(10)$:

$b^{\prime }(10)$ er den momentane endringen i bensinforbruk per km når bilen har kjørt 10 km, dvs. bilen forbruker omtrent $\mathrm{0,068}$ liter per km akkurat ved $x=10\mathrm{km}$.

Vi skal finne $f(\mathrm{0,5})=b^{\prime }(x(\mathrm{0,5}))\cdot x^{\prime }(\mathrm{0,5})$.

Vi fant allerede i a) at $x(\mathrm{0,5})\approx \mathrm{34,56}\mathrm{km}$.

Vi deriverer $x(t)=80t+30e^{-\mathrm{0,4}t}-30$ med kjerneregelen:

Vi beregner $b^{\prime }(x(\mathrm{0,5}))=b^{\prime }(\mathrm{34,56})$:

(Leddet med $e^{-\mathrm{17,28}}$ er svært nær null og kan neglisjeres.)

Bensinforbruket per time etter en halv time:

Vi omregner til per minutt ved å dele på 60:

Bensinforbruket etter en halv times kjøring er omtrent $\underline{\underline{\mathrm{0,082}\mathrm{l}/\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}}$.