Bilkjøring strekning og bensinforbruk

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Écometer

En bil kjører $x$ km i løpet av $t$ timer, der $x$ er gitt ved

x(t) = 80t + 30 \cdot e^{-0{,}4t} - 30

Hvor langt kjører bilen i løpet av den første halvtimen?

Bruk digitalt verktøy, og bestem hvor lang tid bilen bruker på de første 500 km.

Det samlede bensinforbruket $b$ etter å ha kjørt $x$ km er gitt ved

b(x) = 0{,}07 \cdot x \cdot (1 + e^{-0{,}5x})

der $b(x)$ er målt i liter.

Bestem $b'(x)$ . Forklar hvilke derivasjonsregler du har brukt. Hva er den praktiske betydningen av tallet $b'(10)$ ?

Det kan vises at bensinforbruket $f$ målt i liter per time etter $t$ timer er

f(t) = b'(x) \cdot x'(t)

Bestem bensinforbruket per minutt når bilen har kjørt i en halv time.

Fasit

$\underline{\underline{x(0{,}5) \approx 34{,}6 \, \mathrm{km}}}$

$\underline{\underline{t \approx 6{,}60 \mathrm{~timer}}}$

$\underline{\underline{b'(x) = 0{,}07\left(1 + e^{-0{,}5x}(1 - 0{,}5x)\right)}}$ , $b'(10) \approx 0{,}068 \, \mathrm{l/km}$

$\underline{\underline{f(0{,}5) \approx 0{,}082 \, \mathrm{l/min}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter $t = 0{,}5$ inn i $x(t)$ :

x(0{,}5) = 80 \cdot 0{,}5 + 30 \cdot e^{-0{,}4 \cdot 0{,}5} - 30 = 40 + 30e^{-0{,}2} - 30 = 10 + 30e^{-0{,}2}

x(0{,}5) = 10 + 30 \cdot e^{-0{,}2} \approx 10 + 24{,}56 \approx 34{,}56 \, \mathrm{km}

Bilen har kjørt omtrent $\underline{\underline{34{,}6 \, \mathrm{km}}}$ i løpet av den første halvtimen.

Vi bruker digitalt verktøy til å løse likningen $x(t) = 500$ .

Vi tegner grafen til $x(t) = 80t + 30e^{-0{,}4t} - 30$ og den horisontale linjen $y = 500$ , og finner skjæringspunktet.

Graf av x(t) og y=500

Fra grafen leser vi av at skjæringspunktet er ved $t \approx 6{,}60$ .

Bilen bruker omtrent $\underline{\underline{t \approx 6{,}60 \mathrm{~timer}}}$ på de første 500 km.

Vi skal derivere $b(x) = 0{,}07 \cdot x \cdot (1 + e^{-0{,}5x})$ .

Vi skriver $b(x) = u(x) \cdot v(x)$ der $\textcolor{steelblue}{u(x) = 0{,}07x}$ og $\textcolor{tomato}{v(x) = 1 + e^{-0{,}5x}}$ .

Produktregelen gir $b'(x) = \textcolor{steelblue}{u'(x)} \cdot \textcolor{tomato}{v(x)} + \textcolor{steelblue}{u(x)} \cdot \textcolor{tomato}{v'(x)}$ .

Vi deriverer $v(x) = 1 + e^{-0{,}5x}$ med kjerneregelen: la $g(x) = -0{,}5x$ , da er $v(x) = 1 + e^{g(x)}$ og

\textcolor{tomato}{v'(x)} = e^{g(x)} \cdot g'(x) = e^{-0{,}5x} \cdot (-0{,}5) = -0{,}5e^{-0{,}5x}

Vi setter inn:

b'(x) = \textcolor{steelblue}{0{,}07} \cdot \textcolor{tomato}{(1 + e^{-0{,}5x})} + \textcolor{steelblue}{0{,}07x} \cdot \textcolor{tomato}{(-0{,}5e^{-0{,}5x})}

b'(x) = 0{,}07 + 0{,}07e^{-0{,}5x} - 0{,}035x \cdot e^{-0{,}5x}

\boxed{b'(x) = 0{,}07\left(1 + e^{-0{,}5x}(1 - 0{,}5x)\right)}

Vi kan verifisere dette med GeoGebra CAS:

CAS-derivasjon av b(x)

Praktisk betydning av $b'(10)$ :

b'(10) = 0{,}07\left(1 + e^{-5}(1 - 5)\right) = 0{,}07\left(1 - 4e^{-5}\right) \approx 0{,}068 \, \mathrm{l/km}

$b'(10)$ er den momentane endringen i bensinforbruk per km når bilen har kjørt 10 km, dvs. bilen forbruker omtrent $0{,}068$ liter per km akkurat ved $x = 10 \, \mathrm{km}$ .

Vi skal finne $f(0{,}5) = b'(x(0{,}5)) \cdot x'(0{,}5)$ .

Vi fant allerede i a) at $x(0{,}5) \approx 34{,}56 \, \mathrm{km}$ .

Vi deriverer $x(t) = 80t + 30e^{-0{,}4t} - 30$ med kjerneregelen:

x'(t) = 80 + 30 \cdot e^{-0{,}4t} \cdot (-0{,}4) = 80 - 12e^{-0{,}4t}

x'(0{,}5) = 80 - 12e^{-0{,}2} \approx 80 - 9{,}83 \approx 70{,}18 \, \mathrm{km/h}

Vi beregner $b'(x(0{,}5)) = b'(34{,}56)$ :

b'(34{,}56) = 0{,}07\left(1 + e^{-0{,}5 \cdot 34{,}56}(1 - 0{,}5 \cdot 34{,}56)\right) \approx 0{,}07 \, \mathrm{l/km}

(Leddet med $e^{-17{,}28}$ er svært nær null og kan neglisjeres.)

Bensinforbruket per time etter en halv time:

f(0{,}5) = b'(x(0{,}5)) \cdot x'(0{,}5) \approx 0{,}07 \cdot 70{,}18 \approx 4{,}91 \, \mathrm{l/h}

Vi omregner til per minutt ved å dele på 60:

f(0{,}5) \approx \frac{4{,}91}{60} \approx 0{,}082 \, \mathrm{l/min}

Bensinforbruket etter en halv times kjøring er omtrent $\underline{\underline{0{,}082 \, \mathrm{l/min}}}$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Derivasjon, Funksjoner, Modellering, Økonomi

Bilkjøring strekning og bensinforbruk

Sync på tvers av enheter

Bilkjøring strekning og bensinforbruk

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave