Båttall og figurtall

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Båttallene $B_n$ er antall prikker i figurene nedenfor. Vi ser at $B_1 = 8$ og $B_2 = 15$ .

Båttall-figurer 1, 2 og 3

Bestem $B_4$ .

Mathias ser at han kan dele hver figur i to biter slik at han får en trekant og en del av en større trekant.

Dekomponering av båttall-figur

Ut fra dette ser han at $B_n = T_n + T_{n+3} - 3$ , der $T_n = 1 + 2 + 3 + \cdots + n$ .

Bruk dette til å bestemme $B_5$ .

Bestem en formel for $B_n$ uttrykt ved $n$ .

Fasit

$B_4 = 35$

$B_5 = 48$

$B_n = (n+1)(n+3)$

LøsningsforslagKI-generert

Fra figur 3 ( $B_3 = 24$ ) ser vi at figuren vokser ved at det legges til en rad nederst i den øvre trekanten og en rad i bunnen av figuren. Fra figur $n-1$ til figur $n$ øker antall prikker med $(n+3) + n$ .

Fra $B_3 = 24$ :

B_4 = 24 + (4+3) + 4 = 24 + 7 + 4 = 35

Trekanttallet $T_n = 1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ .

Vi bruker Mathias’ relasjon $B_n = T_n + T_{n+3} - 3$ :

B_5 = T_5 + T_8 - 3 = \frac{5 \cdot 6}{2} + \frac{8 \cdot 9}{2} - 3 = 15 + 36 - 3 = 48

Vi setter inn $T_n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ og $T_{n+3} = \dfrac{(n+3)(n+4)}{2}$ i formelen $B_n = T_n + T_{n+3} - 3$ :

B_n = \frac{n(n+1)}{2} + \frac{(n+3)(n+4)}{2} - 3

= \frac{n^2 + n + n^2 + 7n + 12}{2} - 3

= \frac{2n^2 + 8n + 12}{2} - 3

= n^2 + 4n + 6 - 3

= n^2 + 4n + 3

= (n+1)(n+3)

Kontroll: $B_1 = 2 \cdot 4 = 8$ ✓, $B_5 = 6 \cdot 8 = 48$ ✓

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Figurtall, Tallfølger, Rekker

Båttall og figurtall

Sync på tvers av enheter

Båttall og figurtall

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave