Avisabonnenter og eksponentialfunksjon

Funksjonen $P$ gitt ved

P(x) = 3600 \cdot 0{,}85^x + 600

er en modell som viser hvor mange personer som abonnerte på papirutgaven av en avis $x$ år etter 2010.

Vis hvordan du på to ulike måter kan finne ut hvor mange personer som abonnerte på papirutgaven i 2010.

Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(4,\ P(4))$ og $(14,\ P(14))$ . Gi en praktisk tolkning av svaret du får.

I 2019 abonnerte 1000 personer på den digitale utgaven av avisen. Antallet personer som abonnerte på den digitale utgaven, økte med 5,5 % hvert år fra 2019 til 2024.

Hvilket år var det for første gang flere personer som abonnerte på den digitale utgaven av avisen enn på papirutgaven?

Fasit

$P(0) = 4\,200$ abonnenter i 2010

Stigningstall $\approx -150{,}9$ – gjennomsnittlig nedgang på ca. 151 papirabonnenter per år mellom 2014 og 2024

2022

Løsningsforslag

Metode 1 – sett inn $x = 0$ :

P(0) = 3600 \cdot 0{,}85^0 + 600 = 3600 \cdot 1 + 600 = \underline{\underline{4\,200}}

Metode 2 – bruk at $0{,}85^x \to 0$ når $x \to \infty$ :

Modellen har 600 som nedre grense (bunnlinje). I 2010 var det 3600 abonnenter over bunnlinjen, altså $3600 + 600 = 4\,200$ totalt.

Vi beregner funksjonsverdiene i de to punktene:

P(4) = 3600 \cdot 0{,}85^4 + 600 \approx 2\,479

P(14) = 3600 \cdot 0{,}85^{14} + 600 \approx 970

Stigningstallet til sekantlinjen:

a = \frac{P(14) - P(4)}{14 - 4} = \frac{970 - 2\,479}{10} \approx \underline{\underline{-150{,}9}}

Praktisk tolkning: Antallet papirabonnenter gikk i gjennomsnitt ned med ca. 151 personer per år i perioden fra 2014 til 2024.

Vi definerer funksjonen for digitale abonnenter, der $x$ er år etter 2010 (digitalt startet i 2019, altså ved $x = 9$ ):

D(x) = 1000 \cdot 1{,}055^{x - 9}

Vi plotter $P(x)$ og $D(x)$ i GeoGebra og finner skjæringspunktet:

Fra grafen (se Skjaering) skjærer kurvene hverandre ved $x \approx 11{,}6$ , det vil si i løpet av 2021. Vi sjekker ved helårsregnskap:

År	$x$	Digitalt $D(x)$	Papir $P(x)$
2021	11	$\approx 1\,113$	$\approx 1\,202$
2022	12	$\approx 1\,174$	$\approx 1\,112$

For første gang i $\underline{\underline{2022}}$ var det flere digitale enn papirabonnenter.

Sensorveiledning

2 poeng

I utgangspunktet gis 1 poeng for hver framgangsmåte som fører fram til riktig svar.

2 poeng

I utgangspunktet gis 1 poeng for riktig stigningstall og 1 poeng for en riktig praktisk tolkning av stigningstallet.

For få uttelling for praktisk tolkning av stigningstallet, må det gå tydelig fram at det er gjennomsnittlig nedgang i abonnenter per år.

2 poeng

En kandidat som regner med 1000 abonnenter i 2010, kan få 1 poeng.

En kandidat som regner ut verdier år for år og konkluderer riktig, får full uttelling.

Oppgavedata

Poeng: 6
Temaer: eksponentialfunksjoner, stigningstall, geometrisk vekst
Kompetansemål: Tolke og bruke funksjonar i matematisk modellering og problemløysing
Bruke digitale verktøy i utforsking og problemløysing knytt til eigenskapar ved funksjonar, og diskutere løysingane