Aritmetisk mur

Forklar hva det vil si at en rekke $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$ er aritmetisk.

En murer skal lage en mur slik figuren viser. Bruk teorien om rekker til å bestemme hvor mange murstein mureren trenger, når han vet at det er totalt 20 rader med murstein.

Trekantet mur

Fasit

–

210

LøsningsforslagKI-generert

En rekke $a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ er aritmetisk dersom differansen mellom to etterfølgende ledd er konstant, det vil si at

a_{k+1} - a_k = d \quad \text{for alle } k

der $d$ kalles den konstante differansen. Ledd nummer $n$ kan da skrives som

a_n = a_1 + (n-1) \cdot d

Summen av de $n$ første leddene er

S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n

Fra figuren ser vi at øverste rad har 1 murstein, neste rad har 2, og slik fortsetter det slik at rad nummer $k$ har $k$ murstein. Med 20 rader får vi rekken

1 + 2 + 3 + \cdots + 20

Dette er en aritmetisk rekke med $a_1 = 1$ , $d = 1$ og $n = 20$ .

Siste ledd:

a_{20} = 1 + (20 - 1) \cdot 1 = 20

Summen:

S_{20} = \frac{a_1 + a_{20}}{2} \cdot n = \frac{1 + 20}{2} \cdot 20 = \frac{21}{2} \cdot 20 = \underline{\underline{210}} \text{ murstein}

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 1
Temaer: rekker
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker