Pia vurderer å låne 800 000 kroner. En bank tilbyr henne et annuitetslån med en nedbetalingstid på 20 år, én termin per år og en fast rentesats på 3,0 % per år. Første innbetaling er om ett år.

a) Hjelpemiddelkrav: Kalkulator

Sett opp en geometrisk rekke som kan brukes til å bestemme terminbeløpet. Bruk CAS til å bestemme terminbeløpet.

Banken tilbyr henne også et serielån med en nedbetalingstid på 20 år, én termin per år og en fast rentesats på 3,0 % per år. Tabellen nedenfor viser avdrag, renter, terminbeløp og restlån for de tre første terminene.

Termin	Avdrag	Renter	Terminbeløp	Restlån
1	40 000	24 000	64 000	760 000
2	40 000	22 800	62 800	720 000
3	40 000	21 600	61 600	680 000

b) Hjelpemiddelkrav: Kalkulator

Forklar at terminbeløpene danner en aritmetisk følge. Bestem summen av de 20 terminbeløpene for dette serielånet.

En annen bank tilbyr henne et serielån på 800 000 kroner. Dette lånet har en nedbetalingstid på 20 år, én termin per år og en fast rentesats per år. Summen av alle terminbeløpene for dette lånet blir 1 000 000 kroner.

c) Hjelpemiddelkrav: Kalkulator

Bestem den faste rentesatsen per år for dette lånet.

Fasit

a)

$T\approx 53773\text{ kr}$

b)

Summen er $1052000\text{ kr}$

c)

$r\approx \mathrm{2,38}\%$

LøsningsforslagKI-generert

a)

Nåverdien av alle terminbeløpene $T$ skal være lik lånebeløpet. Med vekstfaktor $\mathrm{1,03}$ per år:

$$800000=\frac{T}{\mathrm{1,03}}+\frac{T}{{\mathrm{1,03}}^2}+\cdots +\frac{T}{{\mathrm{1,03}}^{20}}$$

Dette er en geometrisk rekke med $a_1=\frac{T}{\mathrm{1,03}}$ og $k=\frac{1}{\mathrm{1,03}}$:

$$800000=\frac{T}{\mathrm{1,03}}\cdot \frac{1-{\left(\frac{1}{\mathrm{1,03}}\right)}^{20}}{1-\frac{1}{\mathrm{1,03}}}$$

Vi løser i CAS:

Fra linje 2 leser vi av $\underline{\underline{T\approx 53773\text{ kr}}}$.

b)

Avdraget er konstant: $\frac{800000}{20}=40000\text{ kr}$.

Renten i termin $n$ er $\mathrm{0,03}\cdot (800000-(n-1)\cdot 40000)$. Renten avtar med $\mathrm{0,03}\cdot 40000=1200\text{ kr}$ per termin.

Terminbeløpene er $64000,62800,61600,\dots$ som er en aritmetisk følge med $a_1=64000$ og $d=-1200$.

Siste terminbeløp: $a_{20}=64000+19\cdot (-1200)=41200$

$$s_{20}=\frac{a_1+a_{20}}{2}\cdot 20=\frac{64000+41200}{2}\cdot 20=\underline{\underline{1052000\text{ kr}}}$$

c)

For et serielån med avdrag $40000$ og rentesats $r$ per år:

Terminbeløp i termin $n$: $40000+r\cdot (800000-(n-1)\cdot 40000)$

Summen av alle terminbeløpene:

$$\sum _{n=1}^{20}(40000+r\cdot (800000-(n-1)\cdot 40000))=1000000$$

$$20\cdot 40000+r\cdot \sum _{n=1}^{20}(800000-(n-1)\cdot 40000)=1000000$$

$$800000+r\cdot \frac{800000+420000}{2}\cdot 20=1000000$$

$$800000+r\cdot 8400000=1000000$$

$$r=\frac{200000}{8400000}\approx \underline{\underline{\mathrm{0,0238}=\mathrm{2,38}\%}}$$