Svanhild tar opp et lån på $600000\mathrm{kr}$ og betaler terminbeløp $x$ per år i 20 år med rente $\mathrm{3,5}\%$. Første innbetaling skjer om ett år.

Nåverdien av det første terminbeløpet er ${\displaystyle \frac{x}{\mathrm{1,035}}}$, nåverdien av det andre er ${\displaystyle \frac{x}{{\mathrm{1,035}}^2}}$, og så videre. Nåverdien av det siste terminbeløpet (etter 20 år) er ${\displaystyle \frac{x}{{\mathrm{1,035}}^{20}}}$.

Siden summen av nåverdiene av alle terminbeløpene skal tilsvare lånebeløpet, får vi:

Vi kan faktorisere ut ${\displaystyle \frac{x}{\mathrm{1,035}}}$:

Dette er likningen oppgaven viser. Vi løser den i GeoGebra CAS (se linje 1 i figuren under).

GeoGebra gir $x\approx 42\mathrm{216,65}$.

Terminbeløpet ved $\mathrm{3,5}\%$ rente er $\underline{\underline{x\approx 42\mathrm{216,65}\mathrm{kr}}}$.

Vi bruker annuitetsformelen direkte. Terminbeløpet $T$ ved rente $r$, $n=20$ terminer og lån $L=600000$ er:

Vi ønsker å finne den høyeste renten $r$ slik at $T\le 50000$. Vi setter opp likningen:

Vi løser i GeoGebra CAS (se linje 2 i figuren). Den negative løsningen er ikke fysisk meningsfull, og vi beholder $r\approx \mathrm{0,0545}$.

Den høyeste renten er $\underline{\underline{r\approx \mathrm{5,45}\%}}$.

Nå er renten $r=\mathrm{6,5}\%$ og lån $L=600000\mathrm{kr}$. Vi vil finne minste heltall $n$ slik at terminbeløpet $T<50000\mathrm{kr}$.

Vi setter opp ulikheten $T<50000$:

Vi løser tilhørende likning $T=50000$ (se linje 3 i figuren). GeoGebra gir $n\approx \mathrm{24,04}$.

Vi kan også løse analytisk. La $u={\mathrm{1,065}}^n$:

Siden $n$ må være et heltall og $n\approx \mathrm{24,04}$, er grenseverdien ikke nådd for $n=24$. Vi sjekker:

• $n=24$: $T\approx 50\mathrm{038,62}\mathrm{kr}$ (over grensen)
• $n=25$: $T\approx 49\mathrm{188,89}\mathrm{kr}$ (under grensen) ✓

Svanhild må betale $\underline{\underline{n=25\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{r}}}$ for at terminbeløpet skal være under $50000\mathrm{kr}$.