Vi antar at Jonas og Margrete setter inn et valgfritt beløp, for eksempel $10000\mathrm{kr}$, på kontoen, og at pengene står urørt mens de vokser med en fast årlig rente på $2\%$. Vekstfaktoren blir da

Regneark. Jonas kan sette opp et regneark der kolonne A viser antall år og kolonne B viser saldoen. Startbeløpet legges i celle B2, og i cellene under kopieres formelen «forrige saldo ganger vekstfaktoren»:

• A: År $n$
• B: Saldo, $=𝙱\mathrm{𝟸}$ i første rad (år 0), deretter $=𝙱\{𝚏𝚘𝚛𝚛𝚒𝚐𝚎𝚛𝚊𝚍\}\ast \mathrm{𝟷,𝟶𝟸}$
• C: Vekstfaktor i forhold til startbeløpet, \mathtt{=B\{rad\}/B\ ParseError: Unexpected character: '\' at position 20: …htt{=B\{rad\}/B\̲2}$

Regnearket med formlene bak beregningene:

Vi ser at vekstfaktoren passerer $2$ mellom år $35$ (vekstfaktor $\mathrm{1,9999}$) og år $36$ (vekstfaktor $\mathrm{2,0399}$). Beløpet er altså ikke helt doblet etter $35$ år, men praktisk talt doblet — vi runder av og sier at doblingstiden er om lag $35$ år.

Grafisk framstilling. Margrete kan i stedet tegne grafen til $\mathrm{saldo}(n)=10000\cdot {\mathrm{1,02}}^n$ sammen med den vannrette linja $\mathrm{saldo}=20000$ (det doble startbeløpet). Skjæringspunktet mellom kurven og linja viser hvor mange år det tar å doble beløpet.

Grafen bekrefter det vi fant i regnearket: kurven krysser linja $y=20000$ ved $n\approx 35$, altså er

For å undersøke hvor godt $72$-regelen stemmer for andre rentesatser, bygger vi en tilsvarende tabell/graf som i a) for flere ulike rentesatser $p$. For hver rentesats finner vi det året der vekstfaktoren passerer $2$ (akkurat som i a)), og interpolerer mellom de to nærmeste årsverdiene for å anslå doblingstiden mer presist. Vi sammenlikner så dette med $72$-regelens anslag, ${\displaystyle \frac{72}{p}}$:

Tabellen viser at $72$-regelen stemmer svært godt for rentesatser mellom omtrent $7\%$ og $9\%$ — der er avviket under $\mathrm{0,1}$ år. Jo lenger unna dette intervallet rentesatsen er, desto større blir avviket:

• for lave rentesatser (under ca. $5\%$, som er vanlig på en sparekonto) overvurderer $72$-regelen doblingstiden — den gir et for stort antall år,
• for høye rentesatser (over ca. $10\%$) undervurderer regelen doblingstiden.

For banken sin rente på $2\%$ i oppgaveteksten gir $72$-regelen $36$ år mot den faktiske doblingstiden på $35$ år — et avvik på $1$ år.

Margrete foreslår å bruke $70$ i stedet for $72$. Vi legger til en kolonne med ${\displaystyle \frac{70}{p}}$ i samme tabell (se bilde over, kolonne E og F).

Tabellen viser at $70$-regelen gir et bedre anslag enn $72$-regelen nettopp for lave rentesatser, som $1$–$4\%$ — akkurat det som er typisk for en vanlig sparekonto i banken. Ved $2\%$ rente gir $70$-regelen ${\displaystyle \frac{70}{2}}=35$ år, som stemmer nesten perfekt med den faktiske doblingstiden på $35$ år, mens $72$-regelen bommer med et helt år.

For høyere rentesatser (over ca. $5\%$) er det derimot $72$-regelen som gir det beste anslaget, fordi $70$-regelen da systematisk undervurderer doblingstiden mer og mer jo høyere renta blir.

Konklusjon: $\underline{\underline{\text{Margrete har rett}}}$ i at det kan være lurere å bruke $70$ i stedet for $72$ — i alle fall så lenge rentesatsen er lav, slik den typisk er på en sparekonto. Skal man derimot regne på f.eks. avkastning på aksjer eller fond, der rentesatsen (avkastningen) gjerne er høyere, er $72$-regelen det beste alternativet.