Vindturbin, generator og transformator

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En vindturbin omdanner kinetisk energi fra vinden til elektrisk energi. Den maksimale effekten turbinen kan hente ut fra vinden, er gitt ved

P_{maks} = 0,45 \cdot \frac{1}{2} ρ π r^{2} v^{3}

hvor $ρ$ er luftas massetetthet, $r$ er lengden av rotorbladene, og $v$ er vindfarten.

Vindturbiner

Kalkulator

Hvorfor vil små endringer i vindfarten gi store endringer i effekten turbinen kan hente ut?

Rotorbladene er $68,0 m$ lange og massetettheten til lufta er $1,22 k g / m^{3}$ .

Kalkulator

Hvor stor må vindfarten være for at turbinen skal levere en effekt på $3,45 M W$ ?

Når turbinen leverer en effekt på $3,45 M W$ , beveger tuppen av rotorbladene seg med en fart på $70,0 m / s$ .

Kalkulator

Hvor mye energi utvinnes i løpet av en runde?

Hva er verdien på denne energien dersom prisen per kWh er $2,00$ kroner?

Kalkulator

Hvorfor er det ikke mulig å omforme all den kinetiske energien i vinden til elektrisk energi?

Noe av den kinetiske energien i vinden blir omdannet til elektrisk energi i en vekselstrømgenerator. Spenningen generatoren leverer, oppgis vanligvis som effektivverdi,

ε_{e} = \frac{ε_{maks}}{\sqrt{2}},

hvor $ε_{maks}$ er den maksimale induserte spenningen.

Figuren viser en forenklet modell av en generator. Den magnetiske fluksen gjennom ledersløyfa er gitt ved

Φ (t) = 3,2 \cos (100 π t),

der $t$ er gitt i sekunder og $Φ$ i Wb.

Forenklet modell av en generator med ledersløyfe mellom magnetpoler

Kalkulator

Vis at effektivverdien av den induserte spenningen i denne generatoren er $0,71 k V$ .

Når den elektriske energien skal overføres til forbrukerne, økes effektivverdien fra $0,71 k V$ til $132 k V$ gjennom en transformator. Se bort fra energitap i transformatoren.

Kalkulator

Bestem forholdet mellom antall vindinger på sekundær- og primærsiden, og bestem hvilken side som har flest vindinger.

Fasit

Effekten er proporsjonal med $v^{3}$ , så en liten relativ endring i vindfarten gir omtrent tre ganger så stor relativ endring i effekten.

$v = 9,53 m / s$

1) $E = 2,11 \cdot 10^{7} J = 5,85 k W h$ 2) $11,7 kr$

Lufta må ha fart igjen etter å ha passert turbinen, ellers kunne ikke ny luft strømme gjennom rotoren. I tillegg går noe energi tapt som varme i generator og mekaniske deler.

$ε_{e} = \frac{320 π V}{\sqrt{2}} = 0,71 k V$

$\frac{N_{s}}{N_{p}} = 186$ . Sekundærsiden har flest vindinger.

LøsningsforslagKI-generert

Med fast $ρ$ og $r$ er $P_{maks} = k \cdot v^{3}$ , der $k$ er en konstant. Effekten er altså proporsjonal med tredje potens av vindfarten. Øker vindfarten med $10 %$ , blir effekten

{1,10}^{3} = 1,33

ganger så stor, altså $33 %$ større. Dobles vindfarten, blir effekten $2^{3} = 8$ ganger så stor.

Fysisk kommer $v^{3}$ av to forhold: Den kinetiske energien per kilogram luft er proporsjonal med $v^{2}$ , og massen av luft som passerer rotorflaten per sekund, $ρ π r^{2} v$ , er proporsjonal med $v$ .

Vi løser effektformelen for $v$ :

v = \sqrt[3]{\frac{P_{maks}}{0,45 \cdot \frac{1}{2} ρ π r^{2}}} = \sqrt[3]{\frac{3,45 \cdot 10^{6} W}{0,45 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1,22 k g / m^{3} \cdot π \cdot {(68,0 m)}^{2}}} = 9,53 m / s

Tuppen av rotorbladet går i en sirkel med radius $r = 68,0 m$ . Tiden for én runde er

T = \frac{2 π r}{v} = \frac{2 π \cdot 68,0 m}{70,0 m / s} = 6,104 s

Energien som utvinnes i løpet av én runde, er

E = P \cdot T = 3,45 \cdot 10^{6} W \cdot 6,104 s = 2,11 \cdot 10^{7} J

Siden $1 k W h = 3,6 \cdot 10^{6} J$ , er dette

E = \frac{2,106 \cdot 10^{7} J}{3,6 \cdot 10^{6} J / k W h} = 5,85 k W h

Verdien er

5,85 k W h \cdot 2,00 kr/kWh = 11,7 kr

Skulle all den kinetiske energien i vinden tas ut, måtte lufta stå helt stille rett bak rotoren. Da ville lufta hope seg opp bak turbinen, og ny luft kunne ikke strømme gjennom rotorflaten – den ville i stedet strømme rundt turbinen. Lufta må derfor ha en viss fart igjen etter turbinen for å komme seg bort, og den tar med seg kinetisk energi. Teoretisk kan en vindturbin høyst hente ut omtrent $59 %$ av vindens kinetiske energi (Betz’ lov); faktoren $0,45$ i formelen tar hensyn til dette.

I tillegg går noe av energien over til andre former på veien til elektrisk energi: friksjon i lagre og gir, varme i ledningene i generatoren (resistans) og virvler (turbulens) i lufta.

Ifølge Faradays induksjonslov er den induserte spenningen i én ledersløyfe ( $N = 1$ )

ε = - \frac{d Φ}{d t}

Vi deriverer fluksen:

ε (t) = - \frac{d}{d t} (3,2 \cos (100 π t)) = 3,2 \cdot 100 π \sin (100 π t) = 320 π \sin (100 π t)

der $ε$ er i volt. Den maksimale induserte spenningen er amplituden

ε_{maks} = 320 π V = 1005 V

Effektivverdien blir

ε_{e} = \frac{ε_{maks}}{\sqrt{2}} = \frac{1005 V}{\sqrt{2}} = 711 V \approx 0,71 k V

For en ideell transformator uten energitap er forholdet mellom spenningene lik forholdet mellom antall vindinger:

\frac{N_{s}}{N_{p}} = \frac{U_{s}}{U_{p}} = \frac{132 k V}{0,71 k V} = 186

Spenningen skal økes, så sekundærsiden har flest vindinger – omtrent 186 ganger så mange som primærsiden. (Med den uavrundede verdien $0,711 k V$ fra e) blir forholdet også $186$ .)

Vedlegg

Vedleggene i oppgavesettet til Fysikk 2 H2023. De kunne brukes på hele eksamen, også del 1 (om hjelpemidlene).

Åpne på egen side: Faktavedlegg · Formelvedlegg · Programmeringsvedlegg

Oppgavedata

Hentet fra: Fysikk 2 H2023, del 2, oppgave 4
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Effekt og energi, Induksjon, Vekselstrøm, Transformator

Vindturbin, generator og transformator

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Vindturbin, generator og transformator

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Vindturbin, generator og transformator

Vindturbin, generator og transformator

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer