Den eneste kraften på satellitten er gravitasjonskraften fra jorda. Den peker inn mot sentrum av sirkelbanen og gir satellitten sentripetalakselerasjonen $a={\displaystyle \frac{v^2}{r}}$. Newtons 2. lov gir

Med $r=12000\mathrm{k}\mathrm{m}=\mathrm{1,20}\cdot {10}^7\mathrm{m}$:

Farten økes i banens tangentretning, så farten står vinkelrett på radien i dette punktet. Da er $r_1=12000\mathrm{k}\mathrm{m}$ det nærmeste punktet i ellipsebanen, og det fjerneste punktet er $r_2=26000\mathrm{k}\mathrm{m}$.

I ellipsebanen virker bare gravitasjonskraften, som er konservativ, så den mekaniske energien er bevart. Den potensielle energien $E_{\text{p}}=-\gamma {\displaystyle \frac{Mm}{r}}$ er størst der $r$ er størst, så den kinetiske energien – og dermed farten – er minst i det fjerneste punktet:

Kontroll med Keplers 2. lov: I nærmeste og fjerneste punkt står farten vinkelrett på radien, så $v_1{r}_1=v_2{r}_2$ gir $v_2=\mathrm{6,74}\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot {\displaystyle \frac{12000}{26000}}=\mathrm{3,11}\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

Satellitten starter i ro i avstanden $r=\mathrm{2,60}\cdot {10}^7\mathrm{m}$ fra jordsentrum og treffer jordoverflaten i avstanden $R=\mathrm{6,371}\cdot {10}^6\mathrm{m}$. Uten luftmotstand er det bare gravitasjonskraften som gjør arbeid, så den mekaniske energien er bevart:

Merk at vi ikke kan bruke $v^2=2gh$ her, fordi gravitasjonsfeltstyrken endrer seg mye på veien ned.

Programmet bruker Eulers metode: tiden deles opp i små tidssteg $\mathrm{\Delta }t=\mathrm{0,1}\mathrm{s}$, og i hvert steg regner vi som om akselerasjonen og farten er konstante.

Linje 9: Den eneste kraften på satellitten er gravitasjonskraften $G=\gamma {\displaystyle \frac{Mm}{r^2}}$, rettet mot jordsentrum. Newtons 2. lov gir akselerasjonen

Siden $a={\displaystyle \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}}$, endrer farten seg med $\mathrm{\Delta }v\approx a\cdot \mathrm{\Delta }t$ i løpet av et kort tidssteg. Ny fart blir gammel fart pluss denne endringen: v = v + (gamma*M/r**2)*dt. Farten regnes positiv inn mot jorda. Akselerasjonen regnes ut på nytt i hvert steg fordi den øker når $r$ minker.

Linje 10: Her regnes den nye avstanden fra satellitten til jordsentrum ut. I løpet av tidssteget flytter satellitten seg strekningen $v\cdot \mathrm{\Delta }t$ inn mot jorda, så avstanden $r$ minker med $v\cdot \mathrm{\Delta }t$.

Løkka går så lenge $r>R$, det vil si til satellitten når jordoverflaten. Da skrives farten ut på linje 11.

Vi utvider programmet med en variabel t som øker med dt i hvert steg i løkka:

gamma = 6.67e-11
M = 5.974e24
R = 6371e3
r = 26000e3
v = 0
dt = 0.1
t = 0

while r > R:
    v = v + (gamma*M/r**2)*dt
    r = r - v*dt
    t = t + dt
print(v)
print(t)
print(t/60)

Utskrift:

9718.085490819298
6964.800000007806
116.08000000013011

Farten stemmer med svaret i c), så tidssteget er lite nok. Satellitten bruker