Programmet skriver ut

8197.88947878467 805525.2293565142

Når raketten har brukt opp $1700\mathrm{k}\mathrm{g}$ drivstoff, er farten $\underline{\underline{v=\mathrm{8,2}\cdot {10}^3\mathrm{m}/\mathrm{s}}}$ og høyden over jordoverflata $\underline{\underline{h=\mathrm{8,06}\cdot {10}^5\mathrm{m}}}$ (ca. $806\mathrm{k}\mathrm{m}$). Det tar $1700\mathrm{k}\mathrm{g}/\mathrm{5,0}\mathrm{k}\mathrm{g}/\mathrm{s}=340\mathrm{s}$.

• Linje 9: Definerer en funksjon G som tar høyden h over jordoverflata som argument.
• Linje 10: Funksjonen returnerer gravitasjonskraften fra jorda på raketten, $G=\gamma {\displaystyle \frac{mM}{{(R+h)}^2}}$, der $R+h$ er avstanden fra jordsentrum. Massen m som brukes, er rakettens masse i øyeblikket.
• Linje 14: Newtons 2. lov. Kraftsummen på raketten er skyvekraften utover minus gravitasjonskraften innover, og akselerasjonen er kraftsummen delt på massen, $a={\displaystyle \frac{F-G}{m}}$.
• Linje 17: Rakettmotoren bruker $\mathrm{5,0}\mathrm{k}\mathrm{g}$ drivstoff per sekund, så massen reduseres med dm $=5\cdot \mathrm{\Delta }t$ i hvert tidssteg.

Akselerasjonen er

Skyvekraften $F$ er konstant, mens massen $m$ minker fra $2000\mathrm{k}\mathrm{g}$ til $300\mathrm{k}\mathrm{g}$. Da øker leddet $F/m$. Samtidig øker avstanden $R+h$ til jordsentrum, så gravitasjonsfeltstyrken $\gamma M/{(R+h)}^2$ blir mindre. Begge deler gjør at akselerasjonen øker så lenge motoren er på.

Etter at motoren er slått av, er gravitasjonskraften den eneste kraften på raketten. Da er summen av kinetisk energi og gravitasjonell potensiell energi bevart. Raketten har massen $m=300\mathrm{k}\mathrm{g}$, avstanden fra jordsentrum er

og farten er $v_1=8198\mathrm{m}/\mathrm{s}$. I den maksimale høyden er farten null:

Massen $m$ kan forkortes bort. Vi løser for $r_{\text{maks}}$:

Med $\gamma M=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2/\mathrm{k}{\mathrm{g}}^2\cdot \mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}\mathrm{k}\mathrm{g}=\mathrm{3,982}\cdot {10}^{14}{\mathrm{m}}^3/{\mathrm{s}}^2$:

Den maksimale høyden over jordoverflata er

Raketten når altså omtrent $12000\mathrm{k}\mathrm{m}$ over jordoverflata før den snur. Svaret er følsomt for startfarten: Med mindre tidssteg i programmet blir farten ved brennslutt $\mathrm{8,24}\cdot {10}^3\mathrm{m}/\mathrm{s}$, og da gir samme regning $h_{\text{maks}}=\mathrm{1,21}\cdot {10}^7\mathrm{m}$. Et rimelig svar er derfor $\underline{\underline{h_{\text{maks}}\approx \mathrm{1,2}\cdot {10}^7\mathrm{m}}}$. Farten $\mathrm{8,2}\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ er mindre enn unnslipningsfarten i denne avstanden, $\sqrt{2\gamma M/r_1}=\mathrm{10,5}\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{s}$, så raketten kommer ikke løs fra jorda.

Luftmotstanden virker mot fartsretningen, altså innover mot jorda. Vi definerer en funksjon for luftmotstanden og trekker den fra i Newtons 2. lov:

m = 2000
M = 5.97E24
gamma = 6.67E-11
R = 6371000
F = 30000
v = 0
t = 0
h = 0

def G(h):
    return gamma*m*M/(R+h)**2

def L(h, v):
    return 1.96*0.9999**h*v**2      # luftmotstand, avtar med høyden

dt = 1
dm = 5*dt
while m > 300:
    a = (F - G(h) - L(h, v)) / m    # luftmotstanden virker mot farten
    v = v + a*dt
    h = h + v*dt
    m = m - dm
    t = t + dt

print(v, h)

Programmet skriver ut

5692.333365074963 335182.47898867633

Når raketten har brukt opp drivstoffet, er den $\underline{\underline{h=\mathrm{3,4}\cdot {10}^5\mathrm{m}}}$ (ca. $340\mathrm{k}\mathrm{m}$) over jordoverflata. Med mindre tidssteg, for eksempel dt = 0.01, blir resultatet $\mathrm{3,3}\cdot {10}^5\mathrm{m}$, så svaret er rundt $330$–$340\mathrm{k}\mathrm{m}$. Luftmotstanden er stor i starten, der lufta er tett, og raketten når mindre enn halvparten så høyt som uten luftmotstand.