Prosjektil i ellipsebane med økt fart i høyeste punkt

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Se bort fra luftmotstand og jordrotasjonen i hele oppgaven.

Et prosjektil blir skutt ut vertikalt fra jordoverflaten og når en maksimal høyde på $350 k m$ .

Kalkulator

Bestem startfarten.

Et annet prosjektil blir skutt ut med en startfart og en vinkel i forhold til bakkeplanet slik at prosjektilbanen blir en del av en ellipseformet satellittbane rundt sentrum av jorda. Den maksimale høyden er $260 k m$ over jordoverflaten, og banefarten i det høyeste punktet er $1,28 k m / s$ .

Prosjektil som følger en stiplet ellipsebane rundt jordsenteret, delvis over jordoverflaten

Kalkulator

Bestem startfarten.

Når prosjektilet i b) er i sitt høyeste punkt, økes banefarten momentant til $10,0 k m / s$ .

Kalkulator

Vis at prosjektilet nå verken vil gå i en sirkelbane eller slippe fri fra gravitasjonsfeltet til jorda.

Fasit

$v_{0} = 2,55 k m / s$

$v_{0} = 2,56 k m / s$

I høyden $260 k m$ er farten i sirkelbane $7,75 k m / s$ og unnslippingsfarten $11,0 k m / s$ . Siden $7,75 k m / s < 10,0 k m / s < 11,0 k m / s$ , går prosjektilet i en ny ellipsebane.

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker jordas masse $M = 5,974 \cdot 10^{24} k g$ og middelradius $R = 6,371 \cdot 10^{6} m$ fra faktavedlegget, og $γ = 6,67 \cdot 10^{- 11} N \cdot m^{2} / k g^{2}$ . Det gir $γ M = 3,985 \cdot 10^{14} m^{3} / s^{2}$ .

Uten luftmotstand er den mekaniske energien bevart. Tyngdeakselerasjonen avtar merkbart over $350 k m$ , så vi bruker den potensielle energien i gravitasjonsfeltet, $E_{p} = - γ \frac{M m}{r}$ , i stedet for $m g h$ . I det høyeste punktet er farten null:

\frac{1}{2} m v_{0}^{2} - γ \frac{M m}{R} = 0 - γ \frac{M m}{R + h}

v_{0} = \sqrt{2 γ M (\frac{1}{R} - \frac{1}{R + h})}

v_{0} = \sqrt{2 \cdot 3,985 \cdot 10^{14} m^{3} / s^{2} \cdot (\frac{1}{6,371 \cdot 10^{6} m} - \frac{1}{6,721 \cdot 10^{6} m})} = 2,55 \cdot 10^{3} m / s

Startfarten er $2,55 k m / s$ . Med $m g h$ og konstant $g$ ville vi fått $2,62 k m / s$ , som er for mye fordi tyngdekraften er svakere høyt oppe.

Energibevaringen gjelder uavhengig av retningen på farten. Vi bruker den mellom jordoverflaten og det høyeste punktet i banen, der $h = 260 k m$ og $v = 1,28 k m / s$ :

\frac{1}{2} m v_{0}^{2} - γ \frac{M m}{R} = \frac{1}{2} m v^{2} - γ \frac{M m}{R + h}

v_{0} = \sqrt{v^{2} + 2 γ M (\frac{1}{R} - \frac{1}{R + h})}

v_{0} = \sqrt{{(1,28 \cdot 10^{3} m / s)}^{2} + 2 \cdot 3,985 \cdot 10^{14} m^{3} / s^{2} \cdot (\frac{1}{6,371 \cdot 10^{6} m} - \frac{1}{6,631 \cdot 10^{6} m})} = 2,56 \cdot 10^{3} m / s

Startfarten er $2,56 k m / s$ . Den er nesten like stor som i a), selv om prosjektilet ikke kommer like høyt. Grunnen er at prosjektilet i b) fortsatt har kinetisk energi i det høyeste punktet, fordi det har en fartskomponent på tvers av radien.

I det høyeste punktet i ellipsebanen står farten vinkelrett på linja til jordsenteret, og den momentane fartsøkningen endrer ikke retningen. Avstanden til jordsenteret er $r = R + h = 6,631 \cdot 10^{6} m$ .

Sirkelbane. For en sirkelbane med radius $r$ må gravitasjonskraften være akkurat den sentripetalkraften som trengs:

γ \frac{M m}{r^{2}} = \frac{m v_{s}^{2}}{r} \Rightarrow v_{s} = \sqrt{\frac{γ M}{r}} = \sqrt{\frac{3,985 \cdot 10^{14} m^{3} / s^{2}}{6,631 \cdot 10^{6} m}} = 7,75 \cdot 10^{3} m / s

Unnslipping. Prosjektilet slipper fri fra gravitasjonsfeltet hvis den mekaniske energien er minst null:

\frac{1}{2} m v_{u}^{2} - γ \frac{M m}{r} = 0 \Rightarrow v_{u} = \sqrt{\frac{2 γ M}{r}} = \sqrt{2} \cdot v_{s} = 1,10 \cdot 10^{4} m / s

Den nye farten $10,0 k m / s$ er større enn $v_{s} = 7,75 k m / s$ . Gravitasjonskraften er da for liten til å holde prosjektilet i en sirkelbane med denne radiusen, og prosjektilet fjerner seg fra jorda. Samtidig er farten mindre enn $v_{u} = 11,0 k m / s$ , så den mekaniske energien er negativ, og prosjektilet er fortsatt bundet til jorda. Prosjektilet går derfor verken i sirkelbane eller slipper fri, men går i en ny ellipsebane der dette punktet er det nærmeste jorda.

Vedlegg

Vedleggene i oppgavesettet til Fysikk 2 V2022. De kunne brukes på hele eksamen, også del 1 (om hjelpemidlene).

Åpne på egen side: Faktavedlegg · Formelvedlegg

Oppgavedata

Hentet fra: Fysikk 2 V2022, del 2, oppgave 5
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 7
Temaer: Gravitasjon, Satellittbaner, Energibevaring

Prosjektil i ellipsebane med økt fart i høyeste punkt

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Prosjektil i ellipsebane med økt fart i høyeste punkt

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Prosjektil i ellipsebane med økt fart i høyeste punkt

Prosjektil i ellipsebane med økt fart i høyeste punkt

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer