Kloss sendt på skrå oppover skråplan

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En kloss sendes på skrå oppover et skråplan. Skråplanvinkelen $θ = 30 °$ . Klossen sendes med en startfart $v_{0} = 1,5 m / s$ og utgangsvinkel $α = 45 °$ . $x$ - og $y$ -aksen er som vist i figuren.

Se bort fra luftmotstand i hele oppgaven, og se bort fra friksjon i oppgave a, b, c og d.

Skråplan med vinkel theta og kloss sendt med startfart v0 og utgangsvinkel alfa

Kalkulator

Forklar at størrelsen på akselerasjonen til klossen er $g / 2$ der $g$ er tyngdeakselerasjonen.

Kalkulator

Vis at klossen bruker $0,43 s$ fra start til den har kommet ned fra skråplanet.

Kalkulator

Hvor langt fra startposisjonen er klossen når den har kommet ned fra skråplanet?

Kalkulator

Vis at posisjonen til klossen er gitt ved $y = x - \frac{g x^{2}}{2 v_{0}^{2}}$ mens den glir på skråplanet.

Ole gjennomfører et fysikkforsøk som beskrevet ovenfor. Tabellen nedenfor viser måleverdiene fra forsøket.

$x$ -posisjon / m	$0$	$0,05$	$0,10$	$0,15$	$0,20$	$0,25$	$0,30$	$0,35$
$y$ -posisjon / m	$0$	$0,045$	$0,078$	$0,099$	$0,104$	$0,097$	$0,069$	$0,027$

Kalkulator

Vurder og utforsk om formelen i oppgave d gjelder for alle verdiene i tabellen.

Ole antar at friksjonstallet i forsøket er $0,15$ . Han ønsker å undersøke om dette stemmer med måleresultatene. Ole gjør nødvendige beregninger og lager et program som tegner grafen nedenfor.

Modellgraf med friksjonstall 0,15 og målte verdier

Kalkulator

Har Ole antatt en for lav eller høy verdi for friksjonstallet?

Fasit

Normalkraften opphever tyngdekraftens komponent vinkelrett på skråplanet. Igjen er komponenten $m g \sin 30 ° = \frac{m g}{2}$ nedover skråplanet, så $a = \frac{g}{2}$ i negativ $y$ -retning.

$t = \frac{4 v_{0} \sin α}{g} = 0,43 s$

$0,46 m$

Løs $x (t)$ for $t$ og sett inn i $y (t)$ .

Formelen stemmer med målingene for $x \leq 0,15 m$ , men for større $x$ ligger de målte $y$ -verdiene stadig lenger under formelen. Formelen gjelder altså ikke for alle verdiene – friksjonen kan ikke neglisjeres.

Modellkurven ligger under de målte verdiene og når skråplanets fot for tidlig. Ole har antatt et for høyt friksjonstall (omtrent $0,10$ passer bedre).

LøsningsforslagKI-generert

Skråplanet ligger i $x y$ -planet: $x$ -aksen er vannrett langs foten av skråplanet, og $y$ -aksen peker rett oppover skråplanet. Uten friksjon virker to krefter på klossen:

tyngdekraften $\vec{G}$ , rett nedover, med størrelse $m g$
normalkraften $\vec{N}$ , vinkelrett ut fra skråplanet

Vi dekomponerer tyngdekraften. Komponenten vinkelrett på skråplanet, $m g \cos θ$ , blir opphevet av normalkraften, siden klossen ikke akselererer ut av planet. Komponenten langs skråplanet, $m g \sin θ$ , peker nedover skråplanet, altså i negativ $y$ -retning. Tyngdekraften har ingen komponent i $x$ -retning, fordi $x$ -aksen er vannrett.

Newtons 2. lov gir da akselerasjonen

a = \frac{m g \sin θ}{m} = g \sin 30 ° = \frac{g}{2}

rettet i negativ $y$ -retning. Bevegelsen blir som et skrått kast, bare med $g / 2$ i stedet for $g$ .

Startfarten dekomponeres: $v_{0 x} = v_{0} \cos α$ og $v_{0 y} = v_{0} \sin α$ . I $y$ -retning er akselerasjonen $- \frac{g}{2}$ , så

y (t) = v_{0} \sin α \cdot t - \frac{1}{2} \cdot \frac{g}{2} t^{2} = t (v_{0} \sin α - \frac{g}{4} t)

Klossen er nede igjen når $y = 0$ og $t \neq 0$ :

t = \frac{4 v_{0} \sin α}{g} = \frac{4 \cdot 1,5 m / s \cdot \sin 45 °}{9,81 m / s^{2}} = 0,432 s \approx 0,43 s

I $x$ -retning er det ingen akselerasjon, så farten $v_{0} \cos α$ er konstant:

x = v_{0} \cos α \cdot t = 1,5 m / s \cdot \cos 45 ° \cdot 0,4325 s = 0,459 m

Siden $y = 0$ når klossen er nede, er avstanden fra startposisjonen lik $x$ : $0,46 m$ .

Fra bevegelsen i $x$ -retning har vi $x = v_{0} \cos α \cdot t$ , altså

t = \frac{x}{v_{0} \cos α}

Dette setter vi inn i uttrykket for $y (t)$ fra b):

y = v_{0} \sin α \cdot \frac{x}{v_{0} \cos α} - \frac{g}{4} \cdot \frac{x^{2}}{v_{0}^{2} \cos^{2} α} = x \tan α - \frac{g x^{2}}{4 v_{0}^{2} \cos^{2} α}

Med $α = 45 °$ er $\tan α = 1$ og $\cos^{2} α = \frac{1}{2}$ , så

y = x - \frac{g x^{2}}{4 v_{0}^{2} \cdot \frac{1}{2}} = x - \frac{g x^{2}}{2 v_{0}^{2}}

Med $g = 9,81 m / s^{2}$ og $v_{0} = 1,5 m / s$ blir formelen $y = x - 2,18 x^{2}$ (med $x$ og $y$ i meter). Vi regner ut formelverdiene og sammenligner med målingene:

$x$ / m	$0,05$	$0,10$	$0,15$	$0,20$	$0,25$	$0,30$	$0,35$
$y$ målt / m	$0,045$	$0,078$	$0,099$	$0,104$	$0,097$	$0,069$	$0,027$
$y$ formel / m	$0,045$	$0,078$	$0,101$	$0,113$	$0,114$	$0,104$	$0,083$
målt $-$ formel / m	$0,000$	$0,000$	$- 0,002$	$- 0,009$	$- 0,017$	$- 0,035$	$- 0,056$

Formelen uten friksjon sammen med de målte verdiene

For $x \leq 0,15 m$ stemmer formelen med målingene innenfor et par millimeter, som er innenfor rimelig måleusikkerhet. Fra $x = 0,20 m$ ligger de målte verdiene tydelig under formelen, og avviket vokser jo lenger klossen har glidd: ved $x = 0,35 m$ er avviket over $5 c m$ . Den virkelige banen er lavere og kortere enn formelen gir. Toppen er målt til omtrent $0,104 m$ , mens formelen gir $0,115 m$ , og formelen sier at klossen skulle lande først ved $x = 0,46 m$ .

Formelen gjelder derfor ikke for alle verdiene i tabellen. Forklaringen er at formelen ser bort fra friksjon. Friksjonskraften virker hele tiden mot bevegelsesretningen og tar mekanisk energi fra klossen. Virkningen hoper seg opp langs banen, så den merkes lite i starten og mye mot slutten. Friksjonen bremser også farten i $x$ -retning, slik at klossen ikke kommer like langt.

Friksjonskraften har størrelse $R = μ N = μ m g \cos θ$ og virker mot farten. Jo større friksjonstall, desto mer mekanisk energi mister klossen, og desto lavere og kortere blir banen.

I Oles graf ligger modellkurven med friksjonstall $0,15$ under de målte verdiene for $x \geq 0,15 m$ , og kurven når $y = 0$ allerede ved $x \approx 0,34 m$ . Ved $x = 0,35 m$ var den virkelige klossen fortsatt $2,7 c m$ oppe på skråplanet. Den virkelige klossen har altså mistet mindre energi enn modellen gir, så friksjonen i modellen er for stor. Ole har antatt en for høy verdi for friksjonstallet.

Vi kan kontrollere dette ved å simulere bevegelsen med friksjon. Akselerasjonskomponentene blir

a_{x} = - μ g \cos θ \cdot \frac{v_{x}}{v}, a_{y} = - g \sin θ - μ g \cos θ \cdot \frac{v_{y}}{v}

Med $μ = 0,15$ gir simuleringen samme kurve som Oles graf, mens $μ \approx 0,10$ passer godt med alle målingene:

Modellkurver med friksjonstall 0,15 og 0,10 sammen med de målte verdiene

Vedlegg

Vedleggene i oppgavesettet til Fysikk 2 H2023. De kunne brukes på hele eksamen, også del 1 (om hjelpemidlene).

Åpne på egen side: Faktavedlegg · Formelvedlegg · Programmeringsvedlegg

Oppgavedata

Hentet fra: Fysikk 2 H2023, del 2, oppgave 5
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Skråplan, Kast, Friksjon, Modellering

Kloss sendt på skrå oppover skråplan

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Kloss sendt på skrå oppover skråplan

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Kloss sendt på skrå oppover skråplan

Kloss sendt på skrå oppover skråplan

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer