Kloss ned skråplan og inn i vertikal halvsirkel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En kloss med masse $0,10 k g$ sendes nedover et skråplan med skråplanvinkel $α = 28 °$ . Startfarten til klossen er $v_{0}$ . Etter skråplanet beveger den seg videre over i en halvsirkelformet vertikal bane med radius $r = 0,12 m$ . Toppen av skråplanet har en høyde på $2 r$ . Friksjonstallet mellom skråplanet og klossen er $0,27$ . Se bort fra friksjon mellom klossen og den halvsirkelformede banen. Se bort fra luftmotstand i hele oppgaven.

Skråplan med høyde 2r og vinkel α som går over i en vertikal halvsirkel med radius r og punktet P

Kalkulator

Vis at farten i bunnen av skråplanet er $1,5 m / s$ dersom startfarten $v_{0} = 0,20 m / s$ .

Kalkulator

Finn normalkraften som virker på klossen fra banen i det laveste punktet i halvsirkelen.

Klossen sendes på nytt nedover fra toppen av skråplanet. Like før klossen forlater halvsirkelen i det øverste punktet, mister den kontakten med banen.

Kalkulator

Hvilken startfart må klossen ha på toppen av skråplanet for at dette skal skje?

Klossen sendes enda en gang nedover fra toppen av skråplanet. Farten til klossen er nå $1,8 m / s$ i det laveste punktet i halvsirkelen. I et punkt P som vist på figuren vil klossen miste kontakt med banen.

Kalkulator

Bestem hvor høyt over det laveste punktet i halvsirkelen punktet P er.

Fasit

$v = 1,54 m / s \approx 1,5 m / s$ (vist)

$N = 2,9 N$

$v_{0} = 1,9 m / s$

$h = 0,15 m$

LøsningsforslagKI-generert

På skråplanet virker tyngdekraften $\vec{G}$ , normalkraften $\vec{N}$ og friksjonskraften $\vec{R}$ . Normalkraften står vinkelrett på bevegelsen og gjør ikke arbeid. Friksjonskraften gjør negativt arbeid, så vi bruker energiloven med arbeidet til friksjonskraften.

Normalkraften balanserer komponenten av tyngdekraften vinkelrett på skråplanet, $N = m g \cos α$ , så friksjonskraften er

R = μ N = μ m g \cos α = 0,27 \cdot 0,10 k g \cdot 9,81 m / s^{2} \cdot \cos 28 ° = 0,234 N

Skråplanet har høyde $h = 2 r = 0,24 m$ , så lengden langs skråplanet er

s = \frac{2 r}{\sin α} = \frac{0,24 m}{\sin 28 °} = 0,511 m

Arbeidet til friksjonskraften er $W_{R} = - R s = - 0,234 N \cdot 0,511 m = - 0,120 J$ . Energiloven med nullnivå i bunnen gir

\begin{matrix} \frac{1}{2} m v^{2} & = \frac{1}{2} m v_{0}^{2} + m g \cdot 2 r + W_{R} \\ \frac{1}{2} \cdot 0,10 k g \cdot v^{2} & = \frac{1}{2} \cdot 0,10 k g \cdot {(0,20 m / s)}^{2} + 0,10 k g \cdot 9,81 m / s^{2} \cdot 0,24 m - 0,120 J \\ 0,050 k g \cdot v^{2} & = 0,0020 J + 0,2354 J - 0,120 J = 0,1179 J \\ v & = 1,54 m / s \end{matrix}

Farten i bunnen av skråplanet er $1,5 m / s$ .

I det laveste punktet virker tyngdekraften $\vec{G}$ nedover og normalkraften $\vec{N}$ oppover, mot sentrum av sirkelbanen. Summen av kreftene må gi sentripetalkraften:

\begin{matrix} N - m g & = m \frac{v^{2}}{r} \\ N & = m g + m \frac{v^{2}}{r} = 0,10 k g \cdot 9,81 m / s^{2} + 0,10 k g \cdot \frac{{(1,54 m / s)}^{2}}{0,12 m} \\ N & = 0,981 N + 1,96 N = 2,9 N \end{matrix}

Regner vi med den avrundede farten $1,5 m / s$ , får vi også $2,9 N$ .

At klossen så vidt mister kontakten i det øverste punktet, betyder at normalkraften er null akkurat der. Da er tyngdekraften alene sentripetalkraften:

m g = m \frac{v_{topp}^{2}}{r} \Rightarrow v_{topp}^{2} = g r

I halvsirkelen er det ingen friksjon, så mekanisk energi er bevart fra det laveste til det øverste punktet (høydeforskjell $2 r$ ):

\frac{1}{2} m v_{bunn}^{2} = \frac{1}{2} m v_{topp}^{2} + m g \cdot 2 r \Rightarrow v_{bunn}^{2} = g r + 4 g r = 5 g r

På skråplanet bruker vi energiloven som i a, med friksjonsarbeidet $W_{R} = - μ m g \cos α \cdot \frac{2 r}{\sin α} = - \frac{2 μ m g r}{\tan α}$ :

\begin{matrix} \frac{1}{2} m v_{bunn}^{2} & = \frac{1}{2} m v_{0}^{2} + m g \cdot 2 r - \frac{2 μ m g r}{\tan α} \\ v_{0}^{2} & = v_{bunn}^{2} - 4 g r + \frac{4 μ g r}{\tan α} = g r (1 + \frac{4 μ}{\tan α}) \\ v_{0} & = \sqrt{9,81 m / s^{2} \cdot 0,12 m \cdot (1 + \frac{4 \cdot 0,27}{\tan 28 °})} = 1,9 m / s \end{matrix}

La $θ$ være vinkelen mellom radien til P og den horisontale linja gjennom sentrum, slik figuren viser. Da ligger P høyden

h = r + r \sin θ

over det laveste punktet. I P peker komponenten av tyngdekraften mot sentrum med størrelsen $m g \sin θ$ , og normalkraften peker også mot sentrum. Klossen mister kontakten når $N = 0$ , og da gir kraftsummen mot sentrum

m g \sin θ = m \frac{v_{P}^{2}}{r} \Rightarrow v_{P}^{2} = g r \sin θ

Energibevaring fra det laveste punktet til P (ingen friksjon i halvsirkelen):

\begin{matrix} \frac{1}{2} m v_{bunn}^{2} & = \frac{1}{2} m v_{P}^{2} + m g r (1 + \sin θ) \\ v_{bunn}^{2} & = g r \sin θ + 2 g r + 2 g r \sin θ \\ \sin θ & = \frac{v_{bunn}^{2} - 2 g r}{3 g r} = \frac{{(1,8 m / s)}^{2} - 2 \cdot 9,81 m / s^{2} \cdot 0,12 m}{3 \cdot 9,81 m / s^{2} \cdot 0,12 m} = 0,251 \end{matrix}

Det gir $θ = 14,5 °$ og

h = r (1 + \sin θ) = 0,12 m \cdot (1 + 0,251) = 0,15 m

Punktet P ligger $0,15 m$ over det laveste punktet i halvsirkelen.

Vedlegg

Vedleggene i oppgavesettet til Fysikk 2 V2023. De kunne brukes på hele eksamen, også del 1 (om hjelpemidlene).

Åpne på egen side: Faktavedlegg · Formelvedlegg · Programmeringsvedlegg

Oppgavedata

Hentet fra: Fysikk 2 V2023, del 2, oppgave 4
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Skråplan, Friksjon, Sirkelbevegelse, Energibevaring

Kloss ned skråplan og inn i vertikal halvsirkel

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Kloss ned skråplan og inn i vertikal halvsirkel

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Kloss ned skråplan og inn i vertikal halvsirkel

Kloss ned skråplan og inn i vertikal halvsirkel

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer