I det høyeste punktet virker tyngdekraften $\overrightarrow{G}$ og normalkraften $\overrightarrow{N}$ fra loopen. Begge peker nedover, inn mot sentrum av loopen. Kraftsummen er sentripetalkraften, og med $N=G=mg$ får vi

Farten i det høyeste punktet er $\underline{\underline{v_{\text{topp}}=\sqrt{2gr}}}$.

Normalkraften står hele tiden vinkelrett på farten og gjør ikke arbeid, og vi ser bort fra friksjon. Mekanisk energi er derfor bevart. Det laveste punktet ligger $2r$ under det høyeste:

Farten i det laveste punktet er $\underline{\underline{v_{\text{bunn}}=\sqrt{6gr}}}$.

Når den nederste kanten av en sløyfe beveger seg inn i feltet, øker fluksen gjennom sløyfa. Det er bare den nederste kanten som skjærer feltlinjene, og den induserte spenningen er

der $l$ er bredden av sløyfa. Sløyfene har samme fart og er i samme felt, så sløyfa til høyre, som er dobbelt så bred, får dobbelt så stor spenning: $\underline{\underline{{\epsilon }_{\text{høyre}}=2\epsilon }}$.

Resistansen er den samme, så strømmen blir også dobbelt så stor: $I_{\text{høyre}}={\displaystyle \frac{2\epsilon }{R}}=2I$. Den magnetiske kraften virker på den delen av sløyfa som er inne i feltet, altså den nederste kanten:

Den magnetiske kraften på sløyfa til høyre er $\underline{\underline{F_{\text{høyre}}=4F}}$. Etter Lenz’ lov peker kraften oppover og bremser sløyfa. Både den dobbelte strømmen og den dobbelte lengden av kanten i feltet bidrar til at kraften blir fire ganger så stor.

Klassisk er $E_k=\frac{1}{2}m{v}^2$, en parabel som vokser uten grense, også forbi $v=c$. Relativistisk er

Viktige trekk ved skissen:

• Begge grafene starter i origo.
• Ved lav fart ($v\ll c$) er $\gamma \approx 1+\frac{v^2}{2c^2}$, så $(\gamma -1)m{c}^2\approx \frac{1}{2}m{v}^2$, og grafene faller nesten sammen.
• For $v>0$ er den relativistiske kinetiske energien alltid større enn den klassiske, og forskjellen blir stor når farten nærmer seg lysfarten.
• Den relativistiske grafen har en loddrett asymptote ved $v=c$: det krever uendelig mye energi å akselerere en gjenstand med masse opp til lysfarten.

Lys påvirkes av tyngdefeltet. Et foton som går nedover fra toppen av tårnet, vinner energi på samme måte som en gjenstand som faller. Fotonet har energien $E=hf$ og oppfører seg som om det har massen ${\displaystyle \frac{E}{c^2}}$, så energiøkningen over tårnhøyden $H$ er omtrent ${\displaystyle \frac{E}{c^2}}gH$. Da øker frekvensen med

Lyset som treffer plata i bunnen av tårnet, har altså høyere frekvens enn da det ble sendt ut (gravitasjonell blåforskyvning). Dette henger sammen med den generelle relativitetsteorien: klokker lenger ned i tyngdefeltet går langsommere, så lyset får høyere frekvens målt i bunnen av tårnet. Er tårnet høyt nok, eller $f$ nær nok $f_{\mathrm{g}}$, blir frekvensen ved plata minst like stor som grensefrekvensen. Fotonene har da nok energi til å løsrive elektroner. Effekten er svært liten, ${\displaystyle \frac{gH}{c^2}}\approx {10}^{-14}$ for et tårn på $100\mathrm{m}$, så i praksis må $f$ ligge svært nær $f_{\mathrm{g}}$.

Langt fra himmellegemer er det ikke noe tyngdefelt. Er romskipet i ro eller beveger seg med konstant fart, er det et treghetssystem, og lyset har samme frekvens ved plata som ved lyskilden. Da blir det ingen fotoelektrisk effekt.

Etter ekvivalensprinsippet er et romskip med akselerasjonen $\overrightarrow{a}$ likeverdig med et romskip i ro i et tyngdefelt med feltstyrke $-\overrightarrow{a}$. For å få samme situasjon som i tårnet, der plata er «nederst», må romskipet akselerere i retningen fra metallplata mot lyskilden, altså med lyskilden foran og plata bak. Det er retningen på akselerasjonen som teller: romskipet kan også bevege seg motsatt vei og bremse. Med $a=g$ blir frekvensøkningen den samme som på jorda. Generelt må akselerasjonen være så stor at ${\displaystyle \frac{aH}{c^2}}\ge {\displaystyle \frac{f_{\mathrm{g}}-f}{f}}$.

Sett fra et treghetssystem utenfor romskipet: mens lyset er på vei fra lyskilden til plata, øker farten til romskipet. Plata beveger seg da mot lyset, og dopplereffekten gir høyere frekvens ved plata.

Heisenbergs uskarphetsrelasjoner sier at visse par av fysiske størrelser ikke kan ha skarpt bestemte verdier samtidig:

• Posisjon og bevegelsesmengde: $\mathrm{\Delta }x$ er uskarpheten i posisjonen og $\mathrm{\Delta }p$ uskarpheten i bevegelsesmengden i samme retning. Jo skarpere posisjonen til en partikkel er bestemt, jo mer ubestemt er bevegelsesmengden, og omvendt. Når elektroner går gjennom en smal spalte, gir en smalere spalte (mindre $\mathrm{\Delta }x$) større spredning til sidene (større $\mathrm{\Delta }p$).
• Energi og tid: En tilstand som bare varer en kort tid $\mathrm{\Delta }t$, har en uskarp energi $\mathrm{\Delta }E$. Eksiterte tilstander i atomer med kort levetid gir derfor spektrallinjer med en viss bredde.

Uskarpheten skyldes ikke dårlige måleinstrumenter. Den er en grunnleggende egenskap ved naturen og henger sammen med at partikler også har bølgeegenskaper: en bølge med skarpt bestemt bølgelengde, og dermed skarpt bestemt bevegelsesmengde $p={\displaystyle \frac{h}{\lambda }}$, er utstrakt i rommet og har ingen skarp posisjon. Fordi $h$ er svært liten, merker vi ikke uskarpheten for store gjenstander, men den er avgjørende for partikler som elektroner.