Kloss glir på utsiden av kvartsirkelformet bane

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En kloss starter fra ro på toppen av en bane. Banen er formet som en kvart sirkel med radius $r$ og sentrum S. Klossen har masse $m$ og glir friksjonsfritt på banen.

Vinkelen mellom vertikalen og linjen fra S til klossen er $θ$ , se figuren.

Kloss på kvartsirkelformet bane med radius r og sentrum S, der linjen til klossen danner vinkelen θ med vertikalen

For hånd

Tegn kreftene som virker på klossen i posisjonen som er vist på figuren.

Kalkulator

Forklar at farten til klossen er $v = \sqrt{2 g r (1 - \cos θ)}$ .

Kalkulator

Vis at summen av kreftene vinkelrett på underlaget er $m g \cos θ - N$ , der $N$ er kraften fra underlaget.

I en sirkelbevegelse er komponenten av akselerasjonen som virker mot sentrum av sirkelen, gitt ved $a = \frac{v^{2}}{r}$ .

Kalkulator

Vis at $N = m g (3 \cos θ - 2)$ .

Kalkulator

Undersøk om klossen vil miste kontakten med underlaget før den har fullført kvartsirkelen.

Fasit

Tyngdekraften $\vec{G}$ rett ned og normalkraften $\vec{N}$ vinkelrett på banen, bort fra S (se figur).

Energibevaring: $\frac{1}{2} m v^{2} = m g r (1 - \cos θ)$ .

Komponenten av $\vec{G}$ mot S er $m g \cos θ$ , og $\vec{N}$ peker bort fra S.

$m g \cos θ - N = m \frac{v^{2}}{r} = 2 m g (1 - \cos θ)$ gir $N = m g (3 \cos θ - 2)$ .

Ja. $N = 0$ når $\cos θ = \frac{2}{3}$ , altså ved $θ = 48 °$ , før kvartsirkelen er fullført.

LøsningsforslagKI-generert

Det virker to krefter på klossen:

Tyngdekraften $\vec{G} = m \vec{g}$ , rett nedover.
Normalkraften $\vec{N}$ fra banen, vinkelrett på underlaget. Klossen ligger på utsiden av sirkelen, så normalkraften peker radielt utover, bort fra sentrum S.

Banen er friksjonsfri, så det er ingen friksjonskraft. De stiplede pilene viser komponentene av $\vec{G}$ som brukes i c.

Kraftdiagram for klossen med tyngdekraften rett ned, normalkraften radielt ut fra S, og tyngdekraften dekomponert i mg cos θ mot S og mg sin θ langs banen

Normalkraften står hele tiden vinkelrett på fartsretningen og gjør ikke arbeid, og det er ingen friksjon. Bare tyngdekraften gjør arbeid, så den mekaniske energien er bevart.

Toppen av banen ligger høyden $r$ over S. Når linjen til klossen danner vinkelen $θ$ med vertikalen, er klossen $r \cos θ$ over S. Klossen har da falt høyden

h = r - r \cos θ = r (1 - \cos θ)

Klossen starter fra ro, så tapt potensiell energi blir kinetisk energi:

\frac{1}{2} m v^{2} = m g r (1 - \cos θ) \Rightarrow v = \sqrt{2 g r (1 - \cos θ)}

Vinkelrett på underlaget betyder langs radien. Vi velger positiv retning inn mot S og dekomponerer tyngdekraften langs radien og langs banen. Radien danner vinkelen $θ$ med vertikalen, så vinkelen mellom $\vec{G}$ og retningen mot S er også $θ$ :

Komponenten av $\vec{G}$ inn mot S er $m g \cos θ$ .
Komponenten langs banen er $m g \sin θ$ . Den står parallelt med underlaget og teller ikke med her.

Normalkraften peker bort fra S og teller negativt. Summen av kreftene vinkelrett på underlaget blir

\sum F_{⟂} = m g \cos θ - N

Så lenge klossen følger banen, går den i sirkel med radius $r$ . Summen av kreftene inn mot sentrum må da være $m a = m \frac{v^{2}}{r}$ . Vi setter inn resultatene fra b og c:

m g \cos θ - N = m \frac{v^{2}}{r} = m \cdot \frac{2 g r (1 - \cos θ)}{r} = 2 m g (1 - \cos θ)

Vi løser for $N$ :

N = m g \cos θ - 2 m g + 2 m g \cos θ = m g (3 \cos θ - 2)

Underlaget kan bare skyve på klossen, ikke trekke i den, så $N \geq 0$ så lenge klossen har kontakt. Klossen mister kontakten når normalkraften blir null:

m g (3 \cos θ - 2) = 0 \Rightarrow \cos θ = \frac{2}{3} \Rightarrow θ = 48,2 °

Kvartsirkelen er fullført ved $θ = 90 °$ . For $θ > 48,2 °$ krever sirkelbevegelsen større kraft mot sentrum, $2 m g (1 - \cos θ)$ , enn tyngdekraften kan gi, $m g \cos θ$ . Da måtte $N$ vært negativ, noe som er umulig. Klossen mister derfor kontakten med banen ved $θ = 48 °$ , lenge før den har fullført kvartsirkelen. Resultatet er uavhengig av både massen og radien.

Vedlegg

Vedleggene i oppgavesettet til Fysikk 2 H2020. De kunne brukes på hele eksamen, også del 1 (om hjelpemidlene).

Åpne på egen side: Faktavedlegg · Formelvedlegg

Oppgavedata

Hentet fra: Fysikk 2 H2020, del 2, oppgave 5
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 9
Temaer: Sirkelbevegelse, Energibevaring

Kloss glir på utsiden av kvartsirkelformet bane

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Kloss glir på utsiden av kvartsirkelformet bane

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Kloss glir på utsiden av kvartsirkelformet bane

Kloss glir på utsiden av kvartsirkelformet bane

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer