Geometrisk rekke og periodisk desimaltall

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Forklar at den geometriske rekken $3 + \dfrac{3}{4} + \dfrac{3}{16} + \cdots$ konvergerer. Bestem summen av rekken.

Forklar at desimaltallet $0{,}242424\ldots$ kan skrives som den uendelige geometriske rekken

\frac{24}{100} + \frac{24}{100^2} + \frac{24}{100^3} + \cdots

Bruk dette til å skrive tallet $0{,}242424\ldots$ som en brøk.

Fasit

$\underline{\underline{S = 4}}$

$\underline{\underline{0{,}242424\ldots = \dfrac{8}{33}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Den geometriske rekken $3 + \dfrac{3}{4} + \dfrac{3}{16} + \cdots$ har første ledd $a_1 = 3$ og kvotient

k = \frac{\frac{3}{4}}{3} = \frac{1}{4}

Siden $|k| = \dfrac{1}{4} < 1$ konvergerer rekken.

Summen av en uendelig geometrisk rekke er $s = \dfrac{a_1}{1 - k}$ , så

s = \frac{3}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{3}{\frac{3}{4}} = 3 \cdot \frac{4}{3} = \mathbf{\underline{\underline{4}}}

Desimaltallet $0{,}242424\ldots$ betyr at sifrene $24$ gjentas uendelig mange ganger. Vi kan skrive det som en sum:

0{,}242424\ldots = \frac{24}{100} + \frac{24}{10000} + \frac{24}{1000000} + \cdots = \frac{24}{100} + \frac{24}{100^2} + \frac{24}{100^3} + \cdots

Dette er en uendelig geometrisk rekke med første ledd $a_1 = \dfrac{24}{100}$ og kvotient $k = \dfrac{1}{100}$ .

Siden $|k| = \dfrac{1}{100} < 1$ konvergerer rekken, og summen er

s = \frac{\frac{24}{100}}{1 - \frac{1}{100}} = \frac{\frac{24}{100}}{\frac{99}{100}} = \frac{24}{100} \cdot \frac{100}{99} = \frac{24}{99} = \mathbf{\underline{\underline{\frac{8}{33}}}}

Oppgavedata

Sync på tvers av enheter