Vi deriverer $f(x) = \ln(x^2 + 4)$ ved hjelp av kjerneregelen:

Nevneren $x^2 + 4 > 0$ for alle $x$, så fortegnet til $f'(x)$ bestemmes av telleren $2x$ alene.

• $f'(x) > 0$ når $x > 0 \Rightarrow f$ stiger for $x > 0$
• $f'(x) < 0$ når $x < 0 \Rightarrow f$ synker for $x < 0$

Vi drøfter egenskapene til $f$ og sammenligner med grafene.

Symmetri: $f(-x) = \ln((-x)^2+4) = \ln(x^2+4) = f(x)$, så $f$ er en partallsfunksjon (symmetrisk om $y$-aksen). Den riktige grafen må derfor ha bunnpunktet sitt på $y$-aksen (i $x = 0$) og være symmetrisk. Det utelukker grafer som er symmetriske om et punkt til side for $y$-aksen.

Bunnpunkt: Fra a) har $f$ et bunnpunkt ved $x = 0$. $f(0) = \ln(4) \approx 1{,}39 > 0$. Grafen ligger altså over $x$-aksen. Det utelukker graf B (bunnpunkt på $x$-aksen).

Vendepunkter: Vi deriverer $f'(x)$ for å finne krumningsendringer:

Nevneren er alltid positiv, så $f''(x) = 0$ når $8 - 2x^2 = 0$, det vil si $x^2 = 4$, altså $x = \pm 2$.

• $f''(x) > 0$ for $-2 < x < 2$: grafen er konveks (smiler)
• $f''(x) < 0$ for $|x| > 2$: grafen er konkav (surmuler)

Grafen har altså vendepunkter ved $x = -2$ og $x = 2$, og er konveks i midten og konkav i «halene». Dette utelukker graf D (ren konveks form uten vendepunkter) og graf A (har maksimum, ikke minimum).

Konklusjon: Grafen til $f$ er graf C.