Logistisk modell og regresjon for to firmaer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et firma A importerer og selger et produkt. Antall solgte enheter per år kan beskrives ved modellen

f(x) = \frac{333}{1 + 1{,}45e^{-0{,}23x}}

der $x$ er antall år etter 2006.

Hvor mange enheter solgte firma A i 2012 ifølge denne modellen?

Et konkurrerende firma B importerer og selger et tilsvarende produkt. Antall solgte enheter per år i firma B ser du i tabellen nedenfor.

Antall år etter 2006	0	1	2	3	4	5	6
Antall solgte enheter per år	135	154	176	192	211	228	243

Bestem ut fra disse tallene en logistisk modell som viser antall solgte enheter per år i firma B.

Hvilket firma vil i det lange løp selge flest enheter per år ifølge de to modellene?

Hvor mange enheter forventes det at hvert av de to firmaene importerer og selger totalt i årene fra og med 2006 til og med 2015?

Fasit

$\underline{\underline{f(6) \approx 244 \mathrm{~enheter}}}$

$\underline{\underline{g(x) \approx \dfrac{317{,}2}{1 + 1{,}35 \cdot e^{-0{,}247x}}}}$

Firma A vil på lang sikt selge flest enheter per år (tak $333$ mot $317$ ).

Firma A: $\underline{\underline{\approx 1943 \text{~enheter totalt}}}$ , firma B: $\underline{\underline{\approx 1934 \text{~enheter totalt}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter inn $x = 6$ (år etter 2006, dvs. 2012) i modellen for firma A:

f(6) = \frac{333}{1 + 1{,}45 \cdot e^{-0{,}23 \cdot 6}} = \frac{333}{1 + 1{,}45 \cdot e^{-1{,}38}} \approx \frac{333}{1 + 1{,}45 \cdot 0{,}2518} \approx \frac{333}{1{,}365} \approx 244

Firma A solgte omtrent $\underline{\underline{244 \mathrm{~enheter}}}$ i 2012.

Vi legger inn tabellverdiene i GeoGebra og bruker FitLogistic for å finne en logistisk regresjonsmodell. La $x$ være antall år etter 2006.

I GeoGebra (grafvindu):

l_B = {(0,135), (1,154), (2,176), (3,192), (4,211), (5,228), (6,243)}
g(x) = FitLogistic(l_B)

Logistisk regresjon firma B og sammenligning med firma A

GeoGebra gir regresjonsmodellen for firma B:

g(x) \approx \frac{317{,}2}{1 + 1{,}35 \cdot e^{-0{,}247x}}

der parametrene er:

$a \approx 317{,}2$ (tak-verdi, maks antall solgte enheter per år)
$b \approx 1{,}35$
$c \approx 0{,}247$ (vekstrate)

Modellen for firma B er $\underline{\underline{g(x) \approx \dfrac{317{,}2}{1 + 1{,}35 \cdot e^{-0{,}247x}}}}$

I en logistisk modell $\dfrac{a}{1 + b \cdot e^{-cx}}$ vil funksjonsverdien nærme seg $a$ når $x \to \infty$ . Parameteren $a$ kalles tak-verdien og angir maksimalt antall solgte enheter per år på lang sikt.

Firma A: tak-verdi $= 333$ enheter per år
Firma B: tak-verdi $\approx 317$ enheter per år

Grafene bekrefter dette – den blå kurven (firma A) flater ut høyere enn den grønne kurven (firma B), se grafen ovenfor.

Firma A vil i det lange løp selge flest enheter per år ( $\underline{\underline{333}}$ mot $317$ ).

Totalt antall solgte enheter fra 2006 (= $x=0$ ) til og med 2015 (= $x=9$ ) finner vi ved de bestemte integralene:

\int_0^9 f(x) \, \mathrm{d}x \qquad \text{og} \qquad \int_0^9 g(x) \, \mathrm{d}x

Vi beregner dette i GeoGebra:

Integral(f, 0, 9)   →  ≈ 1943
Integral(g, 0, 9)   →  ≈ 1934

Firma A: $\displaystyle\int_0^9 f(x) \, \mathrm{d}x \approx \underline{\underline{1943 \mathrm{~enheter}}}$
Firma B: $\displaystyle\int_0^9 g(x) \, \mathrm{d}x \approx \underline{\underline{1934 \mathrm{~enheter}}}$

Firma A forventes å selge totalt ca. $\underline{\underline{1943 \mathrm{~enheter}}}$ og firma B ca. $\underline{\underline{1934 \mathrm{~enheter}}}$ i perioden 2006–2015.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2013, del 2, oppgave 2
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 7
Temaer: Logistisk vekst, Regresjon, Integrasjon, Modellering

Logistisk modell og regresjon for to firmaer

Sync på tvers av enheter

Logistisk modell og regresjon for to firmaer

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave