Vi deriverer $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$:

Vi setter $f'(x) = 0$:

Vi lager en fortegnslinje for $f'(x) = 3(x-1)(x-3)$:

Siden $f'$ skifter fortegn fra $+$ til $-$ i $x=1$, er det et toppunkt der. Siden $f'$ skifter fra $-$ til $+$ i $x=3$, er det et bunnpunkt der.

Vi beregner funksjonsverdiene:

Toppunkt i $\underline{\underline{(1,\, 5)}}$ og bunnpunkt i $\underline{\underline{(3,\, 1)}}$.

Vi deriverer $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$ én gang til:

Vi setter $f''(x) = 0$:

For $x < 2$ er $f''(x) < 0$ (konkav), og for $x > 2$ er $f''(x) > 0$ (konveks). Siden $f''$ skifter fortegn i $x = 2$, er dette et vendepunkt.

Vendepunkt i $\underline{\underline{(2,\, 3)}}$.

Fra a) og b) vet vi:

• $f$ stiger for $x < 1$, synker for $1 < x < 3$, stiger for $x > 3$
• Toppunkt $(1, 5)$, vendepunkt $(2, 3)$, bunnpunkt $(3, 1)$
• Grafen er konkav (krummer nedover) for $x < 2$ og konveks (krummer oppover) for $x > 2$

Noen tilleggsverdier for å forankre skissen:

En skisse av grafen:

  y
5 |     *               *
  |   *   *
3 |        * ← vendepunkt
  |          *
1 |            *
  |
  +---+---+---+---→ x
  0   1   2   3   4

Grafen skjærer $y$-aksen i $(0,1)$, har toppunkt i $(1,5)$, vendepunkt i $(2,3)$, bunnpunkt i $(3,1)$, og stiger deretter mot høyre.