Trekanttall og kubikksummer fra oddetall

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tall som kan skrives på formen $T_n = 1 + 2 + 3 + 4 + \cdots + n$ , kalles for trekanttall.

Skriv opp de fem første trekanttallene.

Vi organiserer oddetallene i en talltrekant slik tabellen nedenfor viser.

$n$	$a_n$	$a_n$	$a_n$	$S_n$	$S_n$
1	1	1		1
2	3 + 5	8		9	$3^2$
3	7 + 9 + 11	27	$3^3$	36
4	13 + 15 + 17 + 19			100
5	21 + 23 + 25 + 27 + 29				$15^2$

Skriv av og fyll ut tabellen. Bruk mønsteret som framkommer, til å finne en formel for $a_n$ .

Bruk mønsteret til å forklare at vi kan skrive

1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = (1 + 2 + 3 + \cdots + n)^2

Fasit

$T_1 = 1,\; T_2 = 3,\; T_3 = 6,\; T_4 = 10,\; T_5 = 15$

$\underline{\underline{a_n = n^3}}$

Se løsningsforslag.

LøsningsforslagKI-generert

Trekanttallene er $T_n = 1 + 2 + 3 + \cdots + n$ . Vi regner opp de fem første:

T_1 = 1, \quad T_2 = 1+2 = 3, \quad T_3 = 1+2+3 = 6, \quad T_4 = 10, \quad T_5 = 15

De fem første trekanttallene er $\underline{\underline{1,\ 3,\ 6,\ 10,\ 15}}$ .

Vi fyller inn tabellen og leser av mønsteret:

$n$	$a_n$	$a_n$	$a_n$	$S_n$	$S_n$
1	1	1	$1^3$	1	$1^2$
2	3 + 5	8	$2^3$	9	$3^2$
3	7 + 9 + 11	27	$3^3$	36	$6^2$
4	13 + 15 + 17 + 19	64	$4^3$	100	$10^2$
5	21 + 23 + 25 + 27 + 29	125	$5^3$	225	$15^2$

Mønsteret viser at $a_n = n^3$ .

Vi kan vise dette analytisk. Gruppe $n$ inneholder nøyaktig $n$ oddetall. Siden oddetallene i gruppe $n$ følger etter de $T_{n-1} = \frac{n(n-1)}{2}$ første oddetallene, begynner gruppe $n$ på oddetall nummer $T_{n-1}+1$ . Det $k$ -te oddetallet er $2k-1$ , så:

Første ledd i gruppe $n$ : $2\!\left(\tfrac{n(n-1)}{2}+1\right)-1 = n^2 - n + 1$
Siste ledd i gruppe $n$ : $2\!\left(\tfrac{n(n+1)}{2}\right)-1 = n^2 + n - 1$

Summen av $n$ ledd i en aritmetisk følge med første ledd $n^2-n+1$ og siste ledd $n^2+n-1$ :

a_n = \frac{n \cdot \bigl[(n^2-n+1)+(n^2+n-1)\bigr]}{2} = \frac{n \cdot 2n^2}{2} = n^3

$\underline{\underline{a_n = n^3}}$

Vi verifiserte dette i GeoGebra CAS (linje 3–4 i figuren under).

Fra tabellen ser vi at $S_n$ er summen av alle oddetallene i gruppe 1, 2, …, $n$ :

S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n = 1^3 + 2^3 + \cdots + n^3

Samtidig ser vi at $S_n = T_n^2 = (1+2+\cdots+n)^2$ , fordi oddetallene i alle gruppene til og med gruppe $n$ er nøyaktig de $T_n$ første oddetallene $1, 3, 5, \ldots, (2T_n - 1)$ , og summen av de $T_n$ første oddetallene er alltid $T_n^2$ .

Mer presist: summen av de $m$ første oddetallene er $m^2$ (et kjent resultat). Siden gruppene 1 til $n$ til sammen inneholder $T_n = \frac{n(n+1)}{2}$ oddetall, er

S_n = T_n^2 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 = (1+2+\cdots+n)^2

Dermed:

\boxed{1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = (1 + 2 + 3 + \cdots + n)^2}

GeoGebra CAS bekrefter identiteten ved å forenkle differansen til $0$ (linje 5 i figuren):

GeoGebra CAS bekrefter a_n = n^3 og kubikksum-identiteten

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2012, del 2, oppgave 2
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Figurtall, Rekker, Tallfølger, Bevis

Trekanttall og kubikksummer fra oddetall

Sync på tvers av enheter

Trekanttall og kubikksummer fra oddetall

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave