Logistisk vekstmodell for gås

På en øy er hekkebestanden $h$ til en type gås $t$ år etter at en telling startet, gitt ved

h(t) = \frac{100}{1 + a \cdot e^{-0{,}0693t}}

Du får oppgitt at $h(0) = 20$ og $h''(20) = 0$

Bestem tallet $a$ .

Hvilken informasjon gir tallet 100 i denne modellen?

Når øker hekkebestanden raskest?

Fasit

$a = 4$

100 er bæreevnen (øvre grense for hekkebestanden)

Etter 20 år

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter $t = 0$ inn i $h(t) = \frac{100}{1 + a \cdot e^{-0{,}0693t}}$ :

h(0) = \frac{100}{1 + a \cdot e^0} = \frac{100}{1 + a} = 20

1 + a = 5 \implies \underline{\underline{a = 4}}

Tallet 100 er bæreevnen for hekkebestanden. Når $t \to \infty$ , nærmer $h(t)$ seg 100. Det betyr at øya kan opprettholde en hekkebestand på maksimalt omtrent 100 gjess.

Hekkebestanden øker raskest i vendepunktet, der $h''(t) = 0$ . Oppgaven opplyser at $h''(20) = 0$ .

For en logistisk funksjon inntreffer vendepunktet når $h(t) = \frac{N}{2} = 50$ .

Hekkebestanden øker raskest etter 20 år.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2019, del 1, oppgave 6
Poeng: 3
Temaer: logistisk funksjon, modellering
Kompetansemål: Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett