Inntekt kostnad og overskudd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

La $x$ være antall produserte og solgte enheter for en bedrift. Sammenhengen mellom $x$ og prisen per enhet er

p(x) = 500 - 0{,}1x

Bestem et uttrykk for inntekten $I(x)$ .

Tabellen nedenfor viser kostnaden ved produksjon av $x$ enheter for en del verdier for $x$ .

$x$	500	1000	1500	2000	2500
$K(x)$	92 300	195 000	310 000	461 000	641 000

Bruk tabellen til å lage en modell for kostnadsfunksjonen $K$ .

Bestem et uttrykk for overskuddet $O(x)$ . Bruk $O'(x)$ til å bestemme den produksjonsmengden som gir størst overskudd.

Forklar hvorfor løsningen av likningen $K'(x) = I'(x)$ gir samme resultat som i oppgave c).

Fasit

$I(x) = -0{,}1x^2 + 500x$

$K(x) \approx 0{,}0545x^2 + 109{,}31x + 26\,140$

$\mathbf{x \approx 1265}$ enheter gir størst overskudd, $O(1265) \approx 216\,800 \text{ kr}$

$O'(x) = 0 \Leftrightarrow I'(x) = K'(x)$ — samme likning

LøsningsforslagKI-generert

Inntekten er pris per enhet multiplisert med antall solgte enheter:

I(x) = p(x) \cdot x = (500 - 0{,}1x) \cdot x

\mathbf{I(x) = -0{,}1x^2 + 500x}

Vi bruker regresjon av 2. grad (RegPoly) på datapunktene fra tabellen. Med full regresjon får vi:

\mathbf{K(x) \approx 0{,}0545x^2 + 109{,}31x + 26\,140}

Overskuddet er inntekt minus kostnad:

O(x) = I(x) - K(x) = (-0{,}1x^2 + 500x) - (0{,}0545x^2 + 109{,}31x + 26\,140)

O(x) = -0{,}1545x^2 + 390{,}69x - 26\,140

Størst overskudd finner vi ved å sette den deriverte lik null:

O'(x) = -0{,}309x + 390{,}69 = 0

x = \frac{390{,}69}{0{,}309} \approx \mathbf{1265 \text{ enheter}}

Dette gir maksimalt overskudd siden $O''(x) = -0{,}309 < 0$ (toppunkt).

Største overskudd:

O(1265) \approx -0{,}1545 \cdot 1265^2 + 390{,}69 \cdot 1265 - 26\,140 \approx \mathbf{216\,800 \text{ kr}}

Vi har at $O(x) = I(x) - K(x)$ , og derfor:

O'(x) = I'(x) - K'(x)

Å sette $O'(x) = 0$ gir:

I'(x) - K'(x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \mathbf{I'(x) = K'(x)}

Geometrisk betyr dette at grenseinntekten (stigningstallet til $I$ ) og grensekostnaden (stigningstallet til $K$ ) er like. Overskuddet er størst der inntektskurven og kostnadskurven har samme stigningstall — dvs. der tangentene er parallelle. Øker vi produksjonen videre, vokser kostnadene raskere enn inntektene, og overskuddet minker.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2014, del 2, oppgave 1
Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 7
Temaer: Kostnadsfunksjon, Optimering, Regresjon, Grenseinntekt og grensekostnad

Inntekt kostnad og overskudd

Sync på tvers av enheter

Inntekt kostnad og overskudd

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave