Emmas høyde som funksjon av alder

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $h$ gitt ved

h(x) = 50 + 28 \cdot x^{0{,}52} \quad , \quad 0 \leq x \leq 16

viser tilnærmet Emmas høyde $h(x)$ cm, $x$ år etter fødselen.

Tegn grafen til $h$ .

Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(0, h(0))$ og $(5, h(5))$ . Gi en praktisk tolkning av dette stigningstallet.

Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til $h$ i punktet $(5, h(5))$ . Gi en praktisk tolkning av dette stigningstallet.

Fasit

Se graf nedenfor.

$\underline{\underline{a \approx 12{,}93 \, \text{cm/år}}}$ — Emma vokser gjennomsnittlig ca. $12{,}93 \, \mathrm{cm}$ per år fra fødsel til hun er 5 år.

$\underline{\underline{h'(5) \approx 6{,}72 \, \text{cm/år}}}$ — Emma vokser momentant ca. $6{,}72 \, \mathrm{cm}$ per år når hun er 5 år gammel.

LøsningsforslagKI-generert

Vi skriver inn funksjonen i GeoGebra og tegner grafen for $0 \leq x \leq 16$ :

h(x) = 50 + 28 \cdot x^{0{,}52}

Den blå kurven i figuren nedenfor viser Emmas høyde i cm som funksjon av alder i år.

Stigningstallet til sekantlinjen gjennom punktene $(0,\, h(0))$ og $(5,\, h(5))$ er den gjennomsnittlige vekstfarten fra $x = 0$ til $x = 5$ .

Vi regner ut endepunktene:

h(0) = 50 + 28 \cdot 0^{0{,}52} = 50 \, \mathrm{cm}

h(5) = 50 + 28 \cdot 5^{0{,}52} \approx 114{,}66 \, \mathrm{cm}

Stigningstallet til sekantlinjen (rød linje i figuren) blir:

a = \frac{h(5) - h(0)}{5 - 0} = \frac{114{,}66 - 50}{5} = \frac{64{,}66}{5} \approx \mathbf{12{,}93}

Praktisk tolkning: Fra fødselen til Emma er 5 år, vokser hun gjennomsnittlig $\underline{\underline{12{,}93 \, \mathrm{cm}}}$ per år.

Stigningstallet til tangenten i punktet $(5,\, h(5))$ er den momentane vekstfarten når Emma er 5 år.

Vi bruker GeoGebra til å tegne tangenten i $x = 5$ (grønn linje i figuren) og leser av stigningstallet ved å derivere:

h'(x) = 28 \cdot 0{,}52 \cdot x^{-0{,}48} = 14{,}56 \cdot x^{-0{,}48}

h'(5) = 14{,}56 \cdot 5^{-0{,}48} \approx \mathbf{6{,}72}

Praktisk tolkning: Akkurat når Emma er 5 år gammel, vokser hun momentant med $\underline{\underline{6{,}72 \, \mathrm{cm}}}$ per år. Det vil si at veksthastigheten er lavere nå enn gjennomsnittet de første 5 årene — hun vokser raskere som spedbarn.

Graf av h(x) med sekant (rød) og tangent i x=5 (grønn)

Oppgavedata

Hentet fra: 2P-Y H2022, del 2, oppgave 1
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Funksjoner, Graf, Derivasjon, Modellering

Emmas høyde som funksjon av alder

Sync på tvers av enheter

Emmas høyde som funksjon av alder

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave