Fuglebur av hønsenetting langs mur – optimalt volum

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Fuglebur langs mur

Du skal lage et fuglebur av hønsenetting. Buret skal ha form som et rett, firkantet prisme. Buret skal bygges langs en mur slik at muren utgjør den ene veggen. Buret skal stå på bakken og trenger ikke bunn.

Sett bredden av buret lik $x$ meter og høyden lik $h$ meter. Buret skal være fire ganger så langt som det er bredt. Se skissen ovenfor.

Vis at overflaten $O(x) \mathrm{~m^2}$ som skal lages av hønsenetting, er gitt ved

O(x) = 4x^2 + 6hx

Du skal bruke $40 \mathrm{~m^2}$ hønsenetting.

Vis at høyden $h$ meter av buret da er gitt ved

h = \frac{40 - 4x^2}{6x}

Hvordan må du lage buret for at volumet skal bli størst mulig?

Fasit

$O(x) = 4x^2 + 6hx$ (utledning ved å telle flatene)

$h = \dfrac{40 - 4x^2}{6x}$ (løser $O(x) = 40$ for $h$ )

Bredde $x \approx 1{,}83 \, \mathrm{m}$ , lengde $4x \approx 7{,}30 \, \mathrm{m}$ , høyde $h \approx 2{,}43 \, \mathrm{m}$ , maks volum $V \approx 32{,}5 \, \mathrm{m}^3$

LøsningsforslagKI-generert

Buret er et rett, firkantet prisme med bredde $x$ , lengde $4x$ og høyde $h$ . Muren danner den ene langveggen, og buret har ingen bunn. Vi teller flatene som trenger hønsenetting:

Flate	Antall	Areal
Kortvegger (bredde $x$ , høyde $h$ )	2	$2 \cdot xh$
Langvegg mot fri luft (lengde $4x$ , høyde $h$ )	1	$4xh$
Tak (bredde $x$ , lengde $4x$ )	1	$4x^2$

Muren dekker den andre langveggen, og det er ingen bunn. Summen blir:

O(x) = 4x^2 + 2xh + 4xh = \underline{\underline{4x^2 + 6hx}}

Vi setter $O(x) = 40$ og løser for $h$ :

4x^2 + 6hx = 40

6hx = 40 - 4x^2

\underline{\underline{h = \frac{40 - 4x^2}{6x}}}

Volumet av buret er grunnflate ganger høyde:

V = 4x^2 \cdot h

Vi setter inn uttrykket for $h$ fra b):

V(x) = 4x^2 \cdot \frac{40 - 4x^2}{6x} = \frac{4x(40 - 4x^2)}{6} = \frac{160x - 16x^3}{6}

Vi tegner $V(x)$ i GeoGebra og finner toppunktet:

Graf av V(x) med toppunkt markert

Fra grafen leser vi av at toppunktet ligger ved $x \approx 1{,}83$ . Vi kan bekrefte dette ved å sette $V'(x) = 0$ :

V'(x) = \frac{160 - 48x^2}{6} = 0

160 - 48x^2 = 0 \implies x^2 = \frac{160}{48} = \frac{10}{3} \implies x = \sqrt{\frac{10}{3}} \approx 1{,}83

Tilhørende mål:

4x = 4\sqrt{\frac{10}{3}} \approx 7{,}30 \, \mathrm{m}

h = \frac{40 - 4 \cdot \frac{10}{3}}{6 \cdot \sqrt{\frac{10}{3}}} \approx 2{,}43 \, \mathrm{m}

V_{\max} = \frac{160 \cdot 1{,}83 - 16 \cdot 1{,}83^3}{6} \approx 32{,}5 \, \mathrm{m}^3

For at volumet skal bli størst mulig bør buret lages med bredde $x \approx 1{,}83 \, \mathrm{m}$ , lengde $4x \approx 7{,}30 \, \mathrm{m}$ og høyde $h \approx 2{,}43 \, \mathrm{m}$ . Da blir volumet $\underline{\underline{V \approx 32{,}5 \, \mathrm{m}^3}}$ .

Oppgavedata

Hentet fra: 2P-Y H2014, del 2, oppgave 5
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Optimering, Volum, Derivasjon

Fuglebur av hønsenetting langs mur – optimalt volum

Sync på tvers av enheter

Fuglebur av hønsenetting langs mur – optimalt volum

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave