1T — alle oppgaver
Kunnskapsgrunnlag for KI-assistenter: alle 556 oppgaver i 1T (Teoretisk matematikk) fra matematikkoppgaver.no, samlet som markdown. Oppgavene er sortert fra nyeste eksamen. Matematikk er skrevet i LaTeX ($…$ og $$…$$).
Denne versjonen har ikke fasit eller løsningsforslag. Samme samling med løsningsforslag: https://matematikkoppgaver.no/1t-raadata-losning/
Matematikk 1T er teoretisk matematikk som gir verktøy til å forstå matematiske sammenhenger og utvikle problemløsingsstrategier. Faget forbereder til videre studier og yrker som krever solid matematisk forståelse.
## Om innholdet
- Eksamensoppgavene er offentlige og kommer fra Utdanningsdirektoratet (UDIR).
- Løsningsforslagene er laget for matematikkoppgaver.no og kan inneholde feil. Nettadressen under hver oppgave går til oppgavesiden med figurer og ferdige formler.
- Bilder står som markdown-bilder med bildetekst og nettadresse.
- Læreplan LK20: https://www.udir.no/lk20/mat09-01/kompetansemaal-og-vurdering/kv42?lang=nob
- Læreplan LK06 (utgått): https://www.udir.no/kl06/MAT1-04/Hele/Kompetansemaal/kompetansemal-etter-1t-%E2%80%93-vg1-studieforebuande-utdanningsprogram
- Sist generert: 2026-09-27
## Forklaring på feltene
- **Eksamen:** eksamensperioden og læreplanen (LK20 er gjeldende, LK06 er den forrige).
- **Del:** del 1 løses uten hjelpemidler, del 2 med hjelpemidler som digitale verktøy.
- **Nivå:** vanskegrad fra 1 (lett) til 3 (krevende), klassifisert av KI.
- **Kompetansemål:** mål fra læreplanen som oppgaven dekker, med kode i parentes.
---
## V2026 del 1 oppgave 1 — Andregradsulikhet med faktorisering 1T V26
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Ulikheter, Andregradslikninger
- **Kompetansemål:** Utforske samanhengar mellom andregradslikningar og andregradsulikskapar, andregradsfunksjonar og kvadratsetningane og bruke samanhengane i problemløysing (KM400)
- **Kort beskrivelse:** Løse andregradsulikhet $x^2+7x+6 \leq 0$ ved faktorisering og fortegnslinje.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/andregradsulikhet-med-faktorisering-1t-v26/
### Oppgavetekst
Løs ulikheten
$$
x^2 + 7x + 6 \leq 0
$$
---
## V2026 del 1 oppgave 2 — Likningssystem med andregradsfunksjon 1T V26
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likninger, Andregradslikninger
- **Kompetansemål:** Utforske strategiar for å løyse likningar, likningssystem og ulikskapar og argumentere for tenkjemåtane sine (KM404); Utforske samanhengar mellom andregradslikningar og andregradsulikskapar, andregradsfunksjonar og kvadratsetningane og bruke samanhengane i problemløysing (KM400)
- **Kort beskrivelse:** Løse likningssystemet $-x^2+4=y$, $x-y=2$ ved regning og grafisk.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/likningssystem-med-andregradsfunksjon/
### Oppgavetekst
Gitt likningssystemet
$$
\begin{bmatrix} -x^2 + 4 = y \\ x - y = 2 \end{bmatrix}
$$
a) Løs likningssystemet ved regning.
b) Løs likningssystemet grafisk.
---
## V2026 del 1 oppgave 3 — Tredjegradslikning ved polynomdivisjon 1T V26
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likninger, Polynomdivisjon
- **Kompetansemål:** Forklare polynomdivisjon og bruke det til å omskrive algebraiske uttrykk, drøfte funksjonar og løyse likningar og ulikskapar (KM398); Utforske strategiar for å løyse likningar, likningssystem og ulikskapar og argumentere for tenkjemåtane sine (KM404)
- **Kort beskrivelse:** Løse $2x^3+3x^2-18x+8=0$ ved å gjette én rot og polynomdivisjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tredjegradslikning-ved-polynomdivisjon/
### Oppgavetekst
Løs likningen
$$
2x^3 + 3x^2 - 18x + 8 = 0
$$
---
## V2026 del 1 oppgave 4 — Identitet med andregradsuttrykk 1T V26
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Identiteter, Andregradslikninger
- **Kompetansemål:** Forklare forskjellen mellom ein identitet, ei likning, eit algebraisk uttrykk og ein funksjon (KM396); Utforske samanhengar mellom andregradslikningar og andregradsulikskapar, andregradsfunksjonar og kvadratsetningane og bruke samanhengane i problemløysing (KM400)
- **Kort beskrivelse:** Bestemme $a$, $b$, $c$ slik at $a(x+b)^2=x^2+8x+c$ blir en identitet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/identitet-med-andregradsuttrykk/
### Oppgavetekst
Gitt likningen
$$
a(x+b)^2 = x^2 + 8x + c
$$
Bestem $a$, $b$ og $c$ slik at likningen blir en identitet.
---
## V2026 del 1 oppgave 5 — Tallfølge med mønsterformel 1T V26
- **Fag:** 1P, 1T
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Tallfølger, Formler
- **Kompetansemål:** Identifisere variable storleikar i ulike situasjonar, setje opp formlar og utforske desse ved hjelp av digitale verktøy (KM397)
- **Kort beskrivelse:** Bruke mønsteret $(n-1)\cdot n + 1$ til å finne tall nr 8 og generell formel for tall nr $n$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tallfolge-med-monsterformel/
### Oppgavetekst
Susanne arbeider med tallfølgen
$$
1 \quad 3 \quad 7 \quad 13 \quad 21 \quad \ldots
$$
Hun ser et mønster og skriver
$$
\begin{aligned}
0 \cdot 1 + 1 &= 1 \\
1 \cdot 2 + 1 &= 3 \\
2 \cdot 3 + 1 &= 7 \\
3 \cdot 4 + 1 &= 13
\end{aligned}
$$
a) Bestem tall nummer 8 i tallfølgen.
b) Sett opp en formel som Susanne kan bruke for å finne tall nummer $n$ i tallfølgen.
---
## V2026 del 1 oppgave 6 — Trekant med tangens lik 1 1T V26
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Geometri
- **Kompetansemål:** Gjere greie for definisjonane av sinus, cosinus og tangens og bruke trigonometri til å berekne lengder, vinklar og areal i vilkårlege trekantar (KM394)
- **Kort beskrivelse:** Skissere rettvinklet trekant der $\tan A = 1$ og forklare formen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trekant-med-tangens-lik-1/
### Oppgavetekst
Om en trekant $ABC$ får du vite at
- vinkel $B$ er $90\degree$
- tangens til vinkel $A$ er $1$
Lag en figur og forklar hvordan denne trekanten kan se ut.
---
## V2026 del 1 oppgave 7 — Eksakte verdier av sin og cos 30 grader 1T V26
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Geometri
- **Kompetansemål:** Gjere greie for definisjonane av sinus, cosinus og tangens og bruke trigonometri til å berekne lengder, vinklar og areal i vilkårlege trekantar (KM394); Lese og forstå matematiske bevis og utforske og utvikle bevis i relevante matematiske emne (KM395); Bruke trigonometri til å analysere og løyse samansette teoretiske og praktiske problem med lengder, vinklar og areal (KM409)
- **Kort beskrivelse:** Vise $\sin 30\degree = \tfrac{1}{2}$ og $\cos 30\degree = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$ fra likebeint trekant, og bruke verdiene til areal og omkrets.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksakte-verdier-av-sin-og-cos-30-grader/
### Oppgavetekst
a) Bruk trekanten ovenfor til å vise at $\sin 30\degree = \frac{1}{2}$ og at $\cos 30\degree = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
b) Bestem arealet av trekanten nedenfor.
c) Bestem omkretsen av trekanten nedenfor.
---
## V2026 del 1 oppgave 8 — Rasjonale funksjoner med asymptoter 1T V26
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Argumentasjon
- **Kompetansemål:** Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar (KM446)
- **Kort beskrivelse:** Konstruere rasjonale funksjonsuttrykk ut fra krav om nullpunkt, vertikale og horisontale asymptoter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rasjonale-funksjoner-med-asymptoter/
### Oppgavetekst
En rasjonal funksjon $f$ har
- ingen nullpunkt
- to vertikale asymptoter
a) Bestem et mulig funksjonsuttrykk $f(x)$. Husk å argumentere for at svaret ditt er riktig.
En rasjonal funksjon $g$ har horisontal asymptote $y=2$. Grafen til $g$ skjærer ikke $y$-aksen.
b) Bestem et mulig funksjonsuttrykk $g(x)$. Husk å argumentere for at svaret ditt er riktig.
---
## V2026 del 1 oppgave 9 — Derivert av andregradsfunksjon fra tangent 1T V26
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Funksjoner
- **Kompetansemål:** Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte (KM401); Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar (KM446)
- **Kort beskrivelse:** Tolke tangentstigning som derivert og bestemme $f'(x)$ for andregradsfunksjon med kjent bunnpunkt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivert-av-andregradsfunksjon-fra-tangent/
### Oppgavetekst
Nedenfor ser du grafen til en andregradsfunksjon $f$
- Bunnpunktet har koordinater $(-1,\ -12{,}5)$
- Den rette linjen er en tangent med stigningstall $5$
a) Forklar at $f'(4)=5$.
b) Bestem $f'(x)$.
---
## V2026 del 2 oppgave 1 — CO2-utslipp og optimal fart 1T V26
- **Fag:** 1P, 1T
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Modellering, Optimering, Måleenheter
- **Kompetansemål:** Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte (KM401); Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige (KM402)
- **Kort beskrivelse:** Regne utslipp ved gitt fart, finne minimum av $U(x)$ og beregne utslipp over 20 minutter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/co2-utslipp-og-optimal-fart/
### Oppgavetekst
Fru Hansen eier en gammel bil. Når hun kjører med en fart på $x$ km/h, slipper bilen ut $U(x)$ gram CO₂ per kilometer, der $U(x)$ er gitt ved
$$
U(x) = \frac{5400}{x} + 0{,}0074 x^2 + 50 \quad ,\quad 30 < x < 110
$$
a) Hvor mange gram CO₂ slipper bilen ut per kilometer dersom fru Hansen kjører med en fart på $50 \mathrm{~km/h}$?
b) Hvilken fart gir minst utslipp av CO₂ per kilometer?
Hvor mange gram CO₂ slipper bilen ut per kilometer ved denne farten?
Fru Hansen kjører med en fart på $90 \mathrm{~km/h}$ i $20$ minutter.
c) Hvor mange gram CO₂ slipper bilen ut i løpet av disse $20$ minuttene?
---
## V2026 del 2 oppgave 2 — Sinussetningen og arealsetningen i sammensatt trekant 1T V26
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Geometri
- **Kompetansemål:** Grunngi sinus-, cosinus- og arealsetninga (KM393); Bruke trigonometri til å analysere og løyse samansette teoretiske og praktiske problem med lengder, vinklar og areal (KM409)
- **Kort beskrivelse:** Bruke sinussetningen til å finne $AB$ og arealsetningen til å finne arealet av trekant $ABD$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sinussetningen-og-arealsetningen-i-sammensatt-trekant/
### Oppgavetekst
Gitt figuren ovenfor.
a) Bruk trigonometri til å bestemme lengden av sidekanten $AB$.
b) Bruk trigonometri til å bestemme arealet av trekanten $ABD$.
---
## V2026 del 2 oppgave 3 — Vipebestand med eksponentielle modeller
- **Fag:** 1P, 1T
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Modellering, Graftolkning
- **Kompetansemål:** Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige (KM402); Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar (KM446)
- **Kort beskrivelse:** Bestemme eksponentielle uttrykk $p(x)$ og $q(x)$ fra to punkter, og tolke antakelsen bak modell $q$ (asymptote ved $2000$).
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vipebestand-med-eksponentielle-modeller/
### Oppgavetekst
Vipa er kritisk truet fugleart i Norge.
I 2013 ble bestanden av viper anslått til å være omtrent 9000 par. I 2022 var bestanden omtrent 2500 par.
| År | 2013 | 2022 |
| :---------------: | :--: | :--: |
| Vipebestand (par) | 9000 | 2500 |
---
Tor antar at bestanden av viper har avtatt lineært og vil fortsette å avta lineært i årene framover. Egil antar at nedgangen har vært, og fortsatt vil være, eksponentiell.
La $x$ være antall år etter 2013.
a) Lag en modell $f$ som viser utviklingen av vipebestanden ut fra Tors antakelser. Forklar hva modellen forteller om utviklingen.
b) Lag en modell $g$ som viser utviklingen av vipebestanden ut fra Egils antakelser. Forklar hva modellen forteller om utviklingen.
Myndigheter og interesseorganisasjoner arbeider med å verne hekkeområdene til vipa. De håper at dette skal bidra til å stoppe nedgangen, slik at bestanden vil stabilisere seg.
Egil ønsker å lage en ny modell som tar hensyn til dette. Han lager først den eksponentielle modellen $p$. Så endrer han litt på denne og kommer fram til modellen $q$. Nedenfor ser du grafene til de to modellene.
c) Gjør rede for hvilke antakelser Egil har lagt til grunn for modellen $q$. Bestem $p(x)$ og $q(x)$.
---
## V2026 del 2 oppgave 4 — Programmering av kuler og pinner i figurserie 1T V26
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Programmering, Figurtall, Tallfølger
- **Kompetansemål:** Formulere og løyse problem ved hjelp av algoritmisk tenking, ulike problemløysingsstrategiar, digitale verktøy og programmering (KM403)
- **Kort beskrivelse:** Skrive program som summerer antall kuler og pinner i de 50 første figurene ut fra mønsteret $2n-1$ pinner og $(n-1)\cdot n$ kuler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/programmering-av-kuler-og-pinner-i-figurserie/
### Oppgavetekst
Kristian er kunstner. Han arbeider med et prosjekt der han skal lage en serie med figurer ved å lime kuler på pinner.
Ovenfor ser du de fire første figurene i serien. For å lage figur $4$ har Kristian brukt $7$ pinner og $12$ kuler.
Tenk deg at Kristian skal lage de $50$ første figurene i denne serien.
Lag et program som beregner og skriver ut hvor mange kuler han vil trenge, og hvor mange pinner han vil trenge.
---
## V2025 del 1 oppgave 1 — Asymptoter til rasjonal funksjon
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Asymptoter, Rasjonale funksjoner
- **Kompetansemål:** Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar (KM446)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/asymptoter-til-rasjonal-funksjon/
### Oppgavetekst
En funksjon $f$ er gitt ved
$$
f(x) = \frac{12x-3}{2x+1}
$$
Bestem likningene for eventuelle asymptoter til grafen til $f$.
---
## V2025 del 1 oppgave 2 — Andregradsulikhet
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Andregradslikninger, Algebra
- **Kompetansemål:** Utforske samanhengar mellom andregradslikningar og andregradsulikskapar, andregradsfunksjonar og kvadratsetningane og bruke samanhengane i problemløysing (KM400)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/andregradsulikhet/
### Oppgavetekst
Løs ulikheten
$$
x^2 - 4x - 12 < 0
$$
---
## V2025 del 1 oppgave 3 — Andregradsfunksjon med ett nullpunkt
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Andregradslikninger, Funksjoner
- **Kompetansemål:** Utforske samanhengar mellom andregradslikningar og andregradsulikskapar, andregradsfunksjonar og kvadratsetningane og bruke samanhengane i problemløysing (KM400)
- **Kort beskrivelse:** Konstruere et andregradsutrykk med ett nullpunkt og $f(0)=9$ ved å kreve diskriminanten $b^2-4ac = 0$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/andregradsfunksjon-med-ett-nullpunkt/
### Oppgavetekst
En andregradsfunksjon $f$ har ett nullpunkt. Grafen til $f$ skjærer $y$-aksen i punktet $(0, 9)$.
Bestem et mulig funksjonsuttrykk $f(x)$ for andregradsfunksjonen.
---
## V2025 del 1 oppgave 4 — Tredjegradslikning og grafvalg
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likninger, Polynomdivisjon, Funksjoner
- **Kompetansemål:** Forklare polynomdivisjon og bruke det til å omskrive algebraiske uttrykk, drøfte funksjonar og løyse likningar og ulikskapar (KM398); Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar (KM446)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tredjegradslikning-og-grafvalg/
### Oppgavetekst
a) Løs likningen
$$
x^3 - 7x^2 - 10x + 16 = 0
$$
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = x^3 - 7x^2 - 10x + 16
$$
b) Hvilken av grafene nedenfor kan være grafen til $f$? Husk å begrunne svaret.
---
## V2025 del 1 oppgave 5 — Trigonometri med arealsetning og cosinus
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Arealsetningen, Cosinussetningen
- **Kompetansemål:** Grunngi sinus-, cosinus- og arealsetninga (KM393); Gjere greie for definisjonane av sinus, cosinus og tangens og bruke trigonometri til å berekne lengder, vinklar og areal i vilkårlege trekantar (KM394)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trigonometri-med-arealsetning-og-cosinus/
### Oppgavetekst
a) Bruk den likesidede trekanten ovenfor til å vise at $\sin 30\degree = \cos 60\degree = \dfrac{1}{2}$
Gitt en trekant $ABC$ der $AB = 10$, $AC = 6$ og $\angle A = 30\degree$
b) Bestem arealet av trekanten.
Gitt en trekant $PQR$ der $PQ = 8$, $PR = 3$ og $\angle P = 60\degree$
c) Bestem lengden av siden $QR$.
---
## V2025 del 1 oppgave 6 — Identitet i CAS-verktøy
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Identiteter, CAS, Algebra
- **Kompetansemål:** Forklare forskjellen mellom ein identitet, ei likning, eit algebraisk uttrykk og ein funksjon (KM396)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/identitet-i-cas-verktoy/
### Oppgavetekst
Kari arbeider med algebraiske uttrykk, likninger og identiteter. Hun prøver å løse likningen
$$
x^2 - 4 = (x+2)(x-2)
$$
i et CAS-verktøy og får resultatet $x = x$. Se nedenfor.
> $x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)$
>
> Løs: $\{x = x\}$
Ta utgangspunkt i dette resultatet og forklar Kari hva en identitet er.
---
## V2025 del 1 oppgave 7 — Minimumsverdi med while-løkke
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Programmering, Funksjoner
- **Kompetansemål:** Formulere og løyse problem ved hjelp av algoritmisk tenking, ulike problemløysingsstrategiar, digitale verktøy og programmering (KM403)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/minimumsverdi-med-while-lokke/
### Oppgavetekst
Siri har laget programmet nedenfor.
```python ln
def f(x):
return x ** 2 + 2 * x - 15
x = -5
verdi = f(x)
while x <= 5:
if f(x) < verdi:
verdi = f(x)
x = x + 1
print(verdi)
```
Hva finner Siri ut når hun kjører programmet? Hvilken verdi skrives ut?
---
## V2025 del 2 oppgave 1 — Kikhoste og eksponentiell modell
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentiell vekst, Modellering, Gjennomsnittlig vekstfart
- **Kompetansemål:** Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige (KM402); Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar (KM446)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kikhoste-og-eksponentiell-modell/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser antallet registrerte tilfeller av kikhoste i Norge noen måneder i perioden januar 2023–oktober 2024.
| Måned | Januar 2023 | Mai 2023 | Oktober 2023 | Februar 2024 | August 2024 | Oktober 2024 |
| --------------------- | ----------- | -------- | ------------ | ------------ | ----------- | ------------ |
| Registrerte tilfeller | 29 | 93 | 164 | 284 | 1035 | 1657 |
La $x$ være antall måneder etter desember 2022, det vil si at $x = 1$ tilsvarer januar 2023, $x = 3$ tilsvarer mars 2023, og så videre.
a) Bruk opplysningene ovenfor til å vise at funksjonen $K$ gitt ved
$$
K(x) = 27{,}8 \cdot 1{,}2^x
$$
er en god modell for antall registrerte tilfeller av kikhoste i Norge i perioden januar 2023–oktober 2024.
b) Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(4, K(4))$ og $(21, K(21))$.
Gi en praktisk tolkning av svaret du får.
c) Hvor mange tilfeller av kikhoste vil bli registrert i Norge i mai 2025 ifølge modellen?
---
## V2025 del 2 oppgave 2 — Sekker hundemat og likningssystem
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem
- **Kompetansemål:** Utforske strategiar for å løyse likningar, likningssystem og ulikskapar og argumentere for tenkjemåtane sine (KM404)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sekker-hundemat-og-likningssystem/
### Oppgavetekst
En butikk selger små og store sekker med hundemat. De små sekkene veier $4{,}5 \mathrm{~kg}$, og de store veier $12 \mathrm{~kg}$.
En dag solgte butikken 80 sekker. Sekkene veide til sammen $720 \mathrm{~kg}$.
Hvor mange små og hvor mange store sekker solgte butikken denne dagen?
---
## V2025 del 2 oppgave 3 — Tolvkant innskrevet i sirkel
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Trigonometri, Areal og omkrets
- **Kompetansemål:** Grunngi sinus-, cosinus- og arealsetninga (KM393); Bruke trigonometri til å analysere og løyse samansette teoretiske og praktiske problem med lengder, vinklar og areal (KM409)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tolvkant-innskrevet-i-sirkel/
### Oppgavetekst
En tolvkant er innskrevet i en sirkel. Se figuren ovenfor. Tolvkanten er satt sammen av tolv like store likebeinte trekanter. Arealet av tolvkanten er 120.
a) Bestem diameter i sirkelen. Gi svaret eksakt.
b) Bestem omkretsen av tolvkanten. Gi svaret eksakt.
---
## V2025 del 2 oppgave 4 — Figurtall og programmering
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Figurtall, Programmering
- **Kompetansemål:** Formulere og løyse problem ved hjelp av algoritmisk tenking, ulike problemløysingsstrategiar, digitale verktøy og programmering (KM403)
- **Kort beskrivelse:** Algoritme og Python-program for figurtall; finne antall figurer inntil 1M kvadrater er brukt opp med while-løkke.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/figurtall-og-programmering/
### Oppgavetekst
Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små grønne kvadrater. Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster.
Du skal lage et program som beregner og skriver ut hvor mange små grønne kvadrater det vil være i hver av de 20 første figurene.
a) Sett opp en algoritme du kan bruke for å lage programmet.
b) Ta utgangspunkt i algoritmen fra oppgave a) og lag programmet.
Tenk deg at du har 1 000 000 små kvadrater. Du starter med å lage figur 1 og fortsetter så med å lage figur 2, figur 3 osv.
c) Lag et program som du kan bruke for å finne ut hvor mange figurer du kan lage, og hvor mange små kvadrater du har igjen når du har laget alle figurene.
---
## V2025 del 2 oppgave 5 — Sylinderboks med minst overflate
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Volum, Funksjoner
- **Kompetansemål:** Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte (KM401); Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige (KM402)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sylinderboks-med-minst-overflate/
### Oppgavetekst
Isabel er industridesigner. Hun arbeider med et design på bokser med form som sylindre.
>
>
>
>
> Formel for å regne ut volumet av en boks med radius $r$ og høyde $h$
>
>
>
> $$
> V = \pi \cdot r^2 \cdot h
> $$
>
>
> Formel for å regne ut arealet av overflaten av boksen
>
>
> $$
> O = \pi \cdot r^2 + 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h
> $$
>
>
> ---
>
> 
>
>
Isabel lurer på hvor stor radius hun bør velge og hvor høye boksene må være, når hver boks skal ha
- et volum $V$ på $450 \mathrm{~cm^3}$
- minst mulig overflate $O$
Isabel ser at når hun har gitt volum og radius, kan hun regne ut høyden ved å bruke formelen
$$
V = \pi \cdot r^2 \cdot h
$$
a) Lag en oversikt som vist nedenfor. Gjør beregninger og fyll inn verdiene som mangler.
| Radius, $r$ (cm) | Høyde, $h$ (cm) | Overflate, $O$ (cm²) | Volum, $V$ (cm³) |
|---|---|---|---|
| 2 | 35,8 | 462,6 | 450 |
| 4 | | | 450 |
| 6 | | | 450 |
| 8 | | | 450 |
Isabel ønsker å lage en modell som viser overflaten av ulike bokser hun kan lage ved å endre radius.
b) Sett opp et funksjonsuttrykk Isabel kan bruke, og lag en grafisk framstilling som viser sammenhengen mellom radius og overflate.
c) Hvor stor må radius i boksene være for at overflaten skal bli minst mulig? Hvor stor blir overflaten da?
---
## V2025 del 2 oppgave 6 — Rasjonale funksjoner Noah og Johanne
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Rasjonale funksjoner, Asymptoter, Funksjoner
- **Kompetansemål:** Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar (KM446)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rasjonale-funksjoner-noah-og-johanne/
### Oppgavetekst
Klassen til Noah og Johanne arbeider med rasjonale funksjoner. Læreren har tegnet grafene til to rasjonale funksjoner $f$ og $g$ og bedt elevene undersøke hvordan funksjonsuttrykkene kan se ut.
> Noah
> Grafen til $f$ har to vertikale asymptoter. Hvordan må nevneren i brøken da se ut?
> Johanne
> Jeg tror jeg vet det! Tenk på hvordan vi har funnet den vertikale asymptoten til de rasjonale funksjonene vi har arbeidet med tidligere.
> Noah
> Ja! Da skjønner jeg også hvordan nevneren til $g$ kan se ut! Den grafen har jo ingen vertikale asymptoter!
> Johanne
> Vi må passe på at nullpunktet, skjæringspunktet med $y$-aksen og den horisontale asymptoten også blir riktig.
Hjelp Noah og Johanne med å finne fram til et mulig funksjonsuttrykk $f(x)$ for funksjonen $f$ og et mulig funksjonsuttrykk $g(x)$ for funksjonen $g$.
Husk å argumentere for dine valg av funksjonsuttrykk.
---
## H2025 del 1 oppgave 1 — Andregradsulikhet med faktorisering
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Andregradslikninger, Algebra, Ulikheter
- **Kompetansemål:** Utforske samanhengar mellom andregradslikningar og andregradsulikskapar, andregradsfunksjonar og kvadratsetningane og bruke samanhengane i problemløysing (KM400)
- **Kort beskrivelse:** Andregradsulikhet løst ved faktorisering og fortegnsdrøfting av $x^2+4x-5$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/andregradsulikhet-med-faktorisering/
### Oppgavetekst
Løs ulikheten
$$
x^2 + 4x - 5 < 0
$$
---
## H2025 del 1 oppgave 2 — Nullpunkter til tredjegradsfunksjon
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Polynomdivisjon, Faktorisering
- **Kompetansemål:** Forklare polynomdivisjon og bruke det til å omskrive algebraiske uttrykk, drøfte funksjonar og løyse likningar og ulikskapar (KM398); Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar (KM446)
- **Kort beskrivelse:** Finne nullpunktene til $x^3-5x^2-8x+12$ via test av heltallsrot, polynomdivisjon og heltallsmetoden.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/nullpunkter-til-tredjegradsfunksjon/
### Oppgavetekst
Bestem nullpunktene til funksjonen gitt ved $f$
$$
f(x) = x^3 - 5x^2 - 8x + 12
$$
---
## H2025 del 1 oppgave 3 — Påstander om rasjonal funksjon
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rasjonale funksjoner, Asymptoter, Argumentasjon
- **Kompetansemål:** Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar (KM446)
- **Kort beskrivelse:** Vurdere fire påstander om $f(x)=(2x+6)/(x^2+4)$: nullpunkt, vertikal/horisontal asymptote og $y$-akseskjæring.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pastander-om-rasjonal-funksjon/
### Oppgavetekst
En rasjonal funksjon $f$ er gitt ved
$$
f(x) = \frac{2x+6}{x^2+4}
$$
Hvilke av påstandene nedenfor er riktige? Husk å begrunne svarene dine.
**Påstand 1:** Grafen til $f$ har nøyaktig ett nullpunkt.
**Påstand 2:** Grafen til $f$ har ingen vertikale asymptoter.
**Påstand 3:** Grafen til $f$ skjærer aldri $y$-aksen.
**Påstand 4:** Grafen til $f$ har horisontal asymptote $y = 2$.
---
## H2025 del 1 oppgave 4 — Bankinnskudd med rente bakover
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Geometrisk vekst, Vekstfaktor
- **Kompetansemål:** Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar (KM446)
- **Kort beskrivelse:** Velge riktige uttrykk for å regne 5 år bakover fra 250 000 kr med vekstfaktor 1,045.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bankinnskudd-med-rente-bakover/
### Oppgavetekst
For fem år siden vant Oskar i Lotto. Han satte pengene i banken og har fått $4{,}5\ \%$ rente per år. I dag har han $250\,000$ kroner på kontoen.
Hvilket eller hvilke av uttrykkene nedenfor kan vi bruke for å regne ut hvor mye Oskar vant i Lotto?
1)
$$
250\,000 \cdot 0{,}955^5
$$
2)
$$
\dfrac{250\,000}{1{,}045^5}
$$
3)
$$
250\,000 \cdot 1{,}045^5
$$
4)
$$
250\,000 \cdot 0{,}955^{-5}
$$
5)
$$
\dfrac{250\,000}{0{,}955^5}
$$
6)
$$
250\,000 \cdot 1{,}045^{-5}
$$
---
## H2025 del 1 oppgave 5 — Trekantareal og sin 45 grader
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Arealsetningen
- **Kompetansemål:** Grunngi sinus-, cosinus- og arealsetninga (KM393); Gjere greie for definisjonane av sinus, cosinus og tangens og bruke trigonometri til å berekne lengder, vinklar og areal i vilkårlege trekantar (KM394)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trekantareal-og-sin-45-grader/
### Oppgavetekst
a) Bruk trekanten ovenfor til å vise at $\sin 45\degree = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$
Gitt en trekant $ABC$ der $AB = 3\sqrt{2}$, $AC = 8$ og $\angle A = 45\degree$.
b) Bestem arealet av trekanten.
Gitt en trekant $PQR$ der $PQ = 3\sqrt{2}$, $PR = 8$ og $\angle P = 140\degree$.
c) Hvilken av trekantene $ABC$ og $PQR$ har størst areal? Husk å argumentere for svaret ditt.
---
## H2025 del 1 oppgave 6 — Femkanttall og programmering
- **Fag:** 1T, 1P
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Figurtall, Programmering, Rekursiv sammenheng
- **Kompetansemål:** Formulere og løyse problem ved hjelp av algoritmisk tenking, ulike problemløysingsstrategiar, digitale verktøy og programmering (KM403)
- **Kort beskrivelse:** Simulere Python-program for å finne femkanttall og gjøre rede for at differansen mellom påfølgende tall øker med 3.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/femkanttall-og-programmering/
### Oppgavetekst
Siri arbeider med femkanttall. Hun har oppdaget en sammenheng og laget programmet nedenfor.
```python ln
tall = 1
differanse = 4
while tall <= 60:
print(tall)
tall = tall + differanse
differanse = differanse + 3
```
Hvilke tall vil bli skrevet ut når programmet kjøres? Gjør rede for sammenhengen Siri har oppdaget.
---
## H2025 del 2 oppgave 1 — Vekt og lengde potensfunksjon
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Potensfunksjon, Derivasjon, Regresjon
- **Kompetansemål:** Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige (KM402); Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte (KM401)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vekt-og-lengde-potensfunksjon/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom lengde og vekt for en type fisk.
| Lengde (cm) | 50 | 70 | 80 | 100 | 120 | 130 |
|-------------|------|------|------|------|--------|--------|
| Vekt (gram) | 1190 | 3320 | 5070 | 9610 | 16 080 | 21 590 |
Sammenhengen kan beskrives med en modell gitt på formen
$$
F(x) = a \cdot x^b
$$
der $F(x)$ gram er vekten til en fisk som er $x$ centimeter lang.
a) Bruk opplysningene i tabellen til å bestemme tallene $a$ og $b$. Tegn grafen til $F$.
b) Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(75,\ F(75))$ og $(95,\ F(95))$. Gi en praktisk tolkning av svaret.
c) Bestem den momentane vekstfarten når $x = 100$. Gi en praktisk tolkning av svaret.
d) Hvor mange prosent vil vekten av en fisk øke med dersom lengden øker med $20\ \%$ ifølge modellen?
---
## H2025 del 2 oppgave 2 — Aldersregnestykke med likningssystem
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Algebra
- **Kompetansemål:** Utforske strategiar for å løyse likningar, likningssystem og ulikskapar og argumentere for tenkjemåtane sine (KM404)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/aldersregnestykke-med-likningssystem/
### Oppgavetekst
I dag er Abid, Therese og Harald til sammen 68 år. Therese er 17 år eldre enn Abid.
Om tre år vil Abid være dobbelt så gammel som Harald.
Hvor gamle er Abid, Therese og Harald i dag?
---
## H2025 del 2 oppgave 3 — Areal av firkant med trigonometri
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Trigonometri
- **Kompetansemål:** Bruke trigonometri til å analysere og løyse samansette teoretiske og praktiske problem med lengder, vinklar og areal (KM409); Grunngi sinus-, cosinus- og arealsetninga (KM393)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/areal-av-firkant-med-trigonometri/
### Oppgavetekst
Gitt figuren ovenfor.
a) Gjør beregninger og vis at $AC = 3$.
b) Bestem arealet av firkanten $ABCD$. Gi svaret eksakt.
---
## H2025 del 2 oppgave 4 — Gråmønster i likesidet trekant
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Figurtall, Programmering, Rekker
- **Kompetansemål:** Formulere og løyse problem ved hjelp av algoritmisk tenking, ulike problemløysingsstrategiar, digitale verktøy og programmering (KM403)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gramonster-i-likesidet-trekant/
### Oppgavetekst
Maria tegner en likesidet trekant. Hun deler trekanten i flere og flere små likesidede trekanter og fargelegger et mønster. Figurene nedenfor viser hvordan hun arbeider.
Tenk deg at Maria fortsetter å dele opp trekanten og fargelegge etter samme mønster.
a) Sett opp en algoritme Maria kan bruke for å finne summen av arealene av de 100 første trekantene som vil bli grå.
b) Ta utgangspunkt i algoritmen og lag et program som regner ut summen av arealene dersom arealet av den likesidede trekanten hun starter med er 36.
---
## H2025 del 2 oppgave 5 — Størst mulig rektangel under kurve
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Funksjoner, Geometri
- **Kompetansemål:** Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte (KM401); Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar (KM446)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/storst-mulig-rektangel-under-kurve/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = \frac{10}{x^2 + 3}, \quad x > 0
$$
Punktene $A$, $B$, $C$ og $D$ danner et rektangel. Punktet $A$ ligger i origo, punktet $B$ ligger på $x$-aksen, punktet $C$ ligger på grafen til $f$, og punktet $D$ ligger på $y$-aksen. Se figuren nedenfor.
a) Bestem arealet av rektangelet dersom punktet $B$ har koordinatene $(3, 0)$.
b) Hvor på $x$-aksen må punktet $B$ ligge for at arealet av rektangelet $ABCD$ skal bli størst mulig?
---
## H2025 del 2 oppgave 6 — Tangent til parabel og lagerhall
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Modellering, Geometri
- **Kompetansemål:** Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte (KM401); Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige (KM402)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tangent-til-parabel-og-lagerhall/
### Oppgavetekst
En arkitekt har tegnet et snitt av en lagerhall. Lagerhallen er 20 meter høy og har form som en parabel gitt ved
$$
p(x) = -\frac{1}{12}x^2 + 20
$$
På taket av lagerhallen skal det plasseres et webkamera. Webkameraet skal festes på en stang som er 3 meter lang.
Den rette linjen på figuren går gjennom punktet $(0, 23)$ og er en tangent til grafen.
a) Bestem likningen for tangenten.
b) Hvor langt fra veggen på lagerhallen kan en tyv bevege seg uten å bli fotografert av webkameraet?
---
## V2024 del 1 oppgave 1 — Trigonometri i rettvinklet trekant
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Bevis
- **Kompetansemål:** Gjere greie for definisjonane av sinus, cosinus og tangens og bruke trigonometri til å berekne lengder, vinklar og areal i vilkårlege trekantar (KM394); Lese og forstå matematiske bevis og utforske og utvikle bevis i relevante matematiske emne (KM395)
- **Kort beskrivelse:** Vis at $\tan u\cdot\tan v=1$ i rettvinklet trekant — konkret for 6/8-trekant og generelt via $a/b\cdot b/a=1$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trigonometri-i-rettvinklet-trekant/
### Oppgavetekst
Tom har arbeidet med trekanten ovenfor og påstår at $\tan u \cdot \tan v = 1$
a) Vis at Tom har rett.
b) Avgjør om påstanden stemmer for alle rettvinklede trekanter med to spisse vinkler $u$ og $v$.
---
## V2024 del 1 oppgave 2 — Polynomdivisjon og faktorisering
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Polynomdivisjon, Faktorisering, Algebra
- **Kompetansemål:** Forklare polynomdivisjon og bruke det til å omskrive algebraiske uttrykk, drøfte funksjonar og løyse likningar og ulikskapar (KM398); Lese og forstå matematiske bevis og utforske og utvikle bevis i relevante matematiske emne (KM395)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/polynomdivisjon-og-faktorisering/
### Oppgavetekst
Guri har utført to ulike polynomdivisjoner og påstår at begge divisjonene viser at faktoriseringen nedenfor er riktig.
$$
2x^3 + 3x^2 - 11x - 6 = (2x^2 + 7x + 3) \cdot (x - 2)
$$
Hvilke to polynomdivisjoner kan hun ha utført?
Utfør de to polynomdivisjonene, og forklar at hver av dem viser at faktoriseringen er riktig.
---
## V2024 del 1 oppgave 3 — Matematisk identitet fra arealmodell
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Identiteter, Algebra, Areal og omkrets
- **Kompetansemål:** Forklare forskjellen mellom ein identitet, ei likning, eit algebraisk uttrykk og ein funksjon (KM396)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/matematisk-identitet-fra-arealmodell/
### Oppgavetekst
Sett opp en matematisk identitet med utgangspunkt i arealet av det grønne området.
---
## V2024 del 1 oppgave 4 — Gjennomsnittlig vekstfart med program
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Programmering, Gjennomsnittlig vekstfart
- **Kompetansemål:** Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte (KM401); Formulere og løyse problem ved hjelp av algoritmisk tenking, ulike problemløysingsstrategiar, digitale verktøy og programmering (KM403)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gjennomsnittlig-vekstfart-med-program/
### Oppgavetekst
Ada har laget programmet nedenfor.
```python ln
def f(x):
return x ** 2 - 3 * x + 7
a = 0
b = 5
v = (f(b) - f(a)) / (b - a)
print(v)
```
Hvilken verdi skrives ut når Ada kjører programmet, og hva forteller denne verdien?
---
## V2024 del 1 oppgave 5 — Andregradsuttrykk og ulikhet fra graf
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Andregradslikninger, Funksjoner
- **Kompetansemål:** Utforske samanhengar mellom andregradslikningar og andregradsulikskapar, andregradsfunksjonar og kvadratsetningane og bruke samanhengane i problemløysing (KM400)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/andregradsuttrykk-og-ulikhet-fra-graf/
### Oppgavetekst
Figuren viser grafen til en funksjon $f$.
a) Bestem $f(x)$
b) Løs ulikheten $f(x) > 12$
---
## V2024 del 2 oppgave 1 — Modellering av bagettsalg
- **Fag:** 1T, 1P
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Modellering, Derivasjon, Optimering
- **Kompetansemål:** Tolke og bruke funksjonar i matematisk modellering og problemløysing (KM322); Bruke digitale verktøy i utforsking og problemløysing knytt til eigenskapar ved funksjonar, og diskutere løysingane (KM372)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/modellering-av-bagettsalg/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser hvor mange bagetter en kantine har solgt hver av de siste sju ukene, og hvor stort overskudd salget har gitt.
| Solgte bagetter | 100 | 130 | 160 | 175 | 190 | 220 | 235 |
| ------------------ | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: |
| Overskudd (kroner) | 1450 | 2300 | 3050 | 3365 | 3720 | 4140 | 4175 |
a) Bruk opplysningene ovenfor til å vise at funksjonen $O$ gitt ved
$$
O(x) = -0{,}09x^2 + 51{,}04x - 2776{,}98
$$
er en god modell for hvor stort overskuddet en uke blir når kantinen produserer og selger $x$ bagetter i løpet av uken.
b) Hvor mange bagetter må kantinen produsere og selge i løpet av en uke, ifølge modellen $O$, for at overskuddet skal bli størst mulig? Hvor stort blir dette overskuddet?
c) Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(100, O(100))$ og $(200, O(200))$. Gi en praktisk tolkning av svaret du får.
d) Bestem den momentane vekstfarten når $x = 235$. Gi en praktisk tolkning av svaret du får.
---
## V2024 del 2 oppgave 2 — Lysbrytning i vann
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Likninger
- **Kompetansemål:** Gjere greie for definisjonane av sinus, cosinus og tangens og bruke trigonometri til å berekne lengder, vinklar og areal i vilkårlege trekantar (KM394); Utforske strategiar for å løyse likningar, likningssystem og ulikskapar og argumentere for tenkjemåtane sine (KM404)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lysbrytning-i-vann/
### Oppgavetekst
Når en lysstråle går fra luft til vann, skifter den retning.
På figuren står linjen $m$ vinkelrett på vannoverflaten og lysstrålen går fra å danne en vinkel $u$ med $m$ til å danne en vinkel $v$ med $m$.
Når lysstrålen går fra luft til vann, vil
$$
\sin u = 1{,}33 \cdot \sin v
$$
a) Hvor stor må vinkelen $u$ være for at vinkelen $v$ skal bli $39\degree$?
b) Hva vil skje med vinkelen $v$ dersom vinkelen $u$ nærmer seg $90\degree$?
c) Kan vinklene $u$ og $v$ bli like store?
Husk å begrunne svarene dine.
---
## V2024 del 2 oppgave 3 — Trekant med arealsetning og cosinussetning
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Arealsetningen, Cosinussetningen, Trigonometri
- **Kompetansemål:** Grunngi sinus-, cosinus- og arealsetninga (KM393)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trekant-med-arealsetning-og-cosinussetning/
### Oppgavetekst
Du får vite følgende om en trekant $ABC$
- $AB$ er 8
- $\angle A = 120\degree$
- Arealet av trekanten er $4\sqrt{3}$
Bestem lengdene av sidene $AC$ og $BC$ eksakt.
---
## V2024 del 2 oppgave 4 — Summer av oddetall og programmering
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Programmering, Rekker, Argumentasjon
- **Kompetansemål:** Formulere og løyse problem ved hjelp av algoritmisk tenking, ulike problemløysingsstrategiar, digitale verktøy og programmering (KM403); Lese og forstå matematiske bevis og utforske og utvikle bevis i relevante matematiske emne (KM395)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/summer-av-oddetall-og-programmering/
### Oppgavetekst
I denne oppgaven skal du arbeide med summer av oddetall.
$$
S_1 = 1
$$
$$
S_2 = 1 + 3
$$
$$
S_3 = 1 + 3 + 5
$$
$$
S_4 = 1 + 3 + 5 + 7
$$
$$
S_5 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9
$$
$$
S_6 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11
$$
$$
\ldots
$$
a) Lag et program som summerer og skriver ut summene $S_1$, $S_2$, $S_3$ … $S_{20}$
b) Beskriv sammenhengen du oppdager når du ser på summene som er skrevet ut. Bruk figuren nedenfor til å argumentere for at sammenhengen må være riktig.
---
## V2024 del 2 oppgave 5 — Lufttrykk og kokepunkt for vann
- **Fag:** 1T, 1P
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Potensfunksjon, Eksponentiell vekst, Modellering
- **Kompetansemål:** Tolke og bruke funksjonar i matematisk modellering og problemløysing (KM322); Bruke digitale verktøy i utforsking og problemløysing knytt til eigenskapar ved funksjonar, og diskutere løysingane (KM372)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lufttrykk-og-kokepunkt-for-vann/
### Oppgavetekst
> **Tips**
> Info om lufttrykk
>
> - Lufttrykk måles ofte i hektopascal (hPa).
> - Jo høyere over havet vi befinner oss, jo lavere er lufttrykket.
> - Lufttrykket ved havets overflate er ca. 1000 hPa.
Når lufttrykket er lavere enn 1000 hPa, vil kokepunktet for vann være lavere enn $100 \degree\mathrm{C}$. Se tabellen nedenfor.
| Lufttrykk (hPa) | Kokepunkt for vann ($\degree\mathrm{C}$) |
| :-------------: | :--------------------------------------: |
| 1000 | 100 |
| 500 | 81,4 |
| 200 | 60,1 |
| 80 | 41,5 |
| 40 | 29 |
a) Bestem en modell $K$ på formen
$$
K(x) = a \cdot x^b
$$
som tilnærmet viser sammenhengen mellom lufttrykket $x$ hPa og kokepunktet $K(x)$ $\degree\mathrm{C}$.
> Ari
> Betyr dette at det ikke går an å få egg hardkokte oppe på et høyt fjell? Et egg blir ikke hardkokt dersom temperaturen i vannet er lavere enn $85 \degree\mathrm{C}$.
> Lisa
> Det kommer vel an på hvor høyt fjellet er?
> Ari
> Jeg vil lage en modell som viser hvor høyt lufttrykket er $x$ kilometer over havets overflate. Jeg har lært at lufttrykket minker med ca. 12 % per km.
> Lisa
> Jeg har lært at lufttrykket halveres for hver 5,5 km. Jeg vil ta utgangspunkt i dette og lage en modell på samme form som den du lager, Ari.
b) Lag modellene for Ari og Lisa.
c) Omtrent hvor høyt over havet er det mulig å få egg hardkokte?
---
## V2024 del 2 oppgave 6 — Tangent fra derivertgraf
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Funksjoner
- **Kompetansemål:** Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte (KM401); Identifisere variable storleikar i ulike situasjonar, setje opp formlar og utforske desse ved hjelp av digitale verktøy (KM397)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tangent-fra-derivertgraf/
### Oppgavetekst
Den rette linjen som er tegnet i koordinatsystemet ovenfor, er den deriverte av en funksjon $f$.
Punktet $P(1, 2)$ ligger på grafen til $f$.
Bestem likningen for tangenten til grafen til $f$ i punktet $P$. Husk å argumentere for at svaret ditt er riktig.
---
## V2024 del 2 oppgave 7 — Lukket kurve med tre funksjoner
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Funksjonsdrøfting, Argumentasjon
- **Kompetansemål:** Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar (KM446); Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte (KM401)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lukket-kurve-med-tre-funksjoner/
### Oppgavetekst
Figuren ovenfor viser tre grafer som til sammen danner en lukket kurve.
- To av grafene har bunnpunkter som ligger på $y$-aksen.
- Punktet $A$ og punktet $B$ har samme $y$-koordinat.
Bruk tre ulike funksjoner og lag en tilsvarende figur slik at kravene i begge kulepunktene ovenfor er oppfylt.
Det skal gå klart fram av besvarelsen hvilke funksjonsuttrykk du har brukt.
Husk å forklare hvordan du har tenkt, og argumenter for at løsningen din er riktig.
---
## H2024 del 1 oppgave 1 — Verifiser dobbeltvinkelformel med 30-60-90-trekant
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Identiteter, Argumentasjon
- **Kompetansemål:** Gjere greie for definisjonane av sinus, cosinus og tangens og bruke trigonometri til å berekne lengder, vinklar og areal i vilkårlege trekantar (KM394); Lese og forstå matematiske bevis og utforske og utvikle bevis i relevante matematiske emne (KM395)
- **Kort beskrivelse:** Verifisere $2\sin u\cos u=\sin(2u)$ for $u=30\degree$ ved å lese sider og vinkler i 30-60-90-trekanten.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/verifiser-dobbeltvinkelformel-med-30-60-90-trekant/
### Oppgavetekst
Snorre har funnet formelen nedenfor i en matematikkbok
$$
2 \cdot \sin(u) \cdot \cos(u) = \sin(2 \cdot u)
$$
Bruk trekanten til høyre og vis at formelen gjelder når $u = 30\degree$.
---
## H2024 del 1 oppgave 2 — Bunnpunkt på faktorisert andregradsfunksjon
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Andregradslikninger, Funksjonsdrøfting, Faktorisering
- **Kompetansemål:** Utforske samanhengar mellom andregradslikningar og andregradsulikskapar, andregradsfunksjonar og kvadratsetningane og bruke samanhengane i problemløysing (KM400)
- **Kort beskrivelse:** Finne bunnpunktet på $f(x)=(x-1)(x+3)$ ved hjelp av symmetri mellom nullpunktene eller derivasjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bunnpunkt-pa-faktorisert-andregradsfunksjon/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = (x - 1)(x + 3)
$$
Bestem koordinatene til bunnpunktet på grafen til $f$.
---
## H2024 del 1 oppgave 3 — Løs tredjegradsulikhet og illustrer grafisk
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Likninger, Polynomdivisjon, Faktorisering, Funksjonsdrøfting
- **Kompetansemål:** Forklare polynomdivisjon og bruke det til å omskrive algebraiske uttrykk, drøfte funksjonar og løyse likningar og ulikskapar (KM398); Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar (KM446)
- **Kort beskrivelse:** Løse $x^3+7x^2+4x-12<0$ ved å gjette nullpunkt, polynomdividere og lese fortegn fra skisse.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/los-tredjegradsulikhet-og-illustrer-grafisk/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = x^3 + 7x^2 + 4x - 12
$$
Løs ulikheten $f(x) < 0$ og illustrer løsningen grafisk ved å lage en skisse.
---
## H2024 del 1 oppgave 4 — Begrunn tangensverdier i enhetssirkelen
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Enhetssirkel, Trigonometri, Argumentasjon
- **Kompetansemål:** Gjere greie for definisjonane av sinus, cosinus og tangens og bruke trigonometri til å berekne lengder, vinklar og areal i vilkårlege trekantar (KM394)
- **Kort beskrivelse:** Begrunne om $\tan 50\degree>1$ og $\tan 130\degree>0$ ved å analysere koordinater i enhetssirkelen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/begrunn-tangensverdier-i-enhetssirkelen/
### Oppgavetekst
I koordinatsystemet nedenfor har vi tegnet en sirkel med radius $r = 1$. Punktet $P(0{,}64,\ 0{,}77)$ ligger på sirkelen.
a) Er $\tan 50\degree > 1$? Husk å begrunne svaret ditt.
b) Er $\tan 130\degree > 0$? Husk å begrunne svaret ditt.
---
## H2024 del 1 oppgave 5 — Identitet for kvadrert sum fra arealmodell
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Identiteter, Algebra, Areal og omkrets
- **Kompetansemål:** Forklare forskjellen mellom ein identitet, ei likning, eit algebraisk uttrykk og ein funksjon (KM396)
- **Kort beskrivelse:** Sette opp identiteten $(s+t)^2 = s^2 + 2st + t^2$ ved å summere arealene av delfigurene i et stort kvadrat.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/identitet-for-kvadrert-sum-fra-arealmodell/
### Oppgavetekst
Ovenfor ser du et lite kvadrat og to rektangler som til sammen utgjør et stort kvadrat.
Hver side i det lille kvadratet har lengde $s$.
Hver side i det store kvadratet har lengde $s + t$.
Sett opp en matematisk identitet med utgangspunkt i arealet av det store kvadratet.
---
## H2024 del 2 oppgave 1 — Avisabonnenter, sekant og momentan vekstfart
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Stigningstall, Gjennomsnittlig vekstfart, Derivasjon, Geometrisk vekst
- **Kompetansemål:** Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte (KM401); Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar (KM446)
- **Kort beskrivelse:** Tolke eksponentialmodellen $P(x)=3600\cdot 0{,}85^x+600$: startverdi, sekantstigningstall, momentan vekstfart og krysningstidspunkt mot digital modell.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/avisabonnenter-sekant-og-momentan-vekstfart/
### Oppgavetekst
Funksjonen $P$ gitt ved
$$
P(x) = 3600 \cdot 0{,}85^x + 600
$$
er en modell som viser hvor mange personer som abonnerte på papirutgaven av en avis $x$ år etter 2010.
a) Vis hvordan du på to ulike måter kan finne ut hvor mange personer som abonnerte på papirutgaven i 2010.
b) Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(4,\ P(4))$ og $(14,\ P(14))$. Gi en praktisk tolkning av svaret du får.
c) Bestem den momentane vekstfarten når $x = 10$. Gi en praktisk tolkning av svaret du får.
I 2019 abonnerte 1000 personer på den digitale utgaven av avisen. Antallet personer som abonnerte på den digitale utgaven, økte med 5,5 % hvert år fra 2019 til 2024.
d) Hvilket år var det for første gang flere personer som abonnerte på den digitale utgaven av avisen enn på papirutgaven?
---
## H2024 del 2 oppgave 2 — Stjernens areal med arealsetningen
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Areal og omkrets, Arealsetningen
- **Kompetansemål:** Grunngi sinus-, cosinus- og arealsetninga (KM393); Lese og forstå matematiske bevis og utforske og utvikle bevis i relevante matematiske emne (KM395)
- **Kort beskrivelse:** Vise at stjernen av 12 likesidet trekanter med side 4 har areal $48\sqrt{3}$ ved arealsetningen $A=\tfrac12 ab\sin C$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/stjernens-areal-med-arealsetningen/
### Oppgavetekst
Maria skal lage en stjerne ved å sette sammen 12 like store likesidede trekanter. Lengdene av sidekantene i trekantene er 4.
Ved å bruke Pytagoras' setning og arealberegninger har Maria kommet fram til at arealet av stjernen vil bli $48\sqrt{3}$.
Vis at du kan komme fram til samme resultat ved å bruke trigonometri.
---
## H2024 del 2 oppgave 3 — Rasjonal funksjon fra asymptoter og nullpunkt
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rasjonale funksjoner, Asymptoter, Argumentasjon
- **Kompetansemål:** Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar (KM446)
- **Kort beskrivelse:** Konstruere et funksjonsuttrykk $f(x)=\frac{4(x+3)}{x-2}$ ut fra vertikal asymptote $x=2$, horisontal asymptote $y=4$ og nullpunkt $x=-3$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rasjonal-funksjon-fra-asymptoter-og-nullpunkt/
### Oppgavetekst
En rasjonal funksjon $f$ har asymptotene $x = 2$ og $y = 4$.
Nullpunktet til funksjonen er $x = -3$.
Bestem et mulig funksjonsuttrykk $f(x)$.
Gjør rede for hvordan du har tenkt for å komme fram til funksjonsuttrykket.
---
## H2024 del 2 oppgave 4 — Programmer fakultet og forklar nuller i 100!
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Programmering, Faktorisering, Argumentasjon, Utforskning
- **Kompetansemål:** Formulere og løyse problem ved hjelp av algoritmisk tenking, ulike problemløysingsstrategiar, digitale verktøy og programmering (KM403); Lese og forstå matematiske bevis og utforske og utvikle bevis i relevante matematiske emne (KM395)
- **Kort beskrivelse:** Skrive program som regner ut $n!$, og argumentere for at antallet sluttende nuller i $100!$ bestemmes av antall faktorer 5.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/programmer-fakultet-og-forklar-nuller-i-100/
### Oppgavetekst
$n!$ leses som «$n$ fakultet» og er produktet av de naturlige tallene fra og med 1 til og med $n$. Se eksemplene nedenfor.
$$
\begin{aligned}
1! &= 1 \\
2! &= 1 \cdot 2 \\
3! &= 1 \cdot 2 \cdot 3 \\
4! &= 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \\
5! &= 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \\
&\ldots
\end{aligned}
$$
a) Lag et program som kan regne ut $n!$ for et gitt naturlig tall $n$.
Bruk programmet til å regne ut $5!$, $10!$ og $15!$.
$100!$ er et produkt av 100 faktorer, $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot 99 \cdot 100$.
b) Gjør rede for hvilke faktorer som gjør at det er 24 nuller i slutten av tallet $100!$.
---
## H2024 del 2 oppgave 5 — Tredjegradsfunksjon fra punkt, toppunkt og tangent
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, Likningssystem, Derivasjon
- **Kompetansemål:** Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte (KM401); Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar (KM446)
- **Kort beskrivelse:** Bestemme $a, b, c, d$ i $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ ved å sette opp likningssystem fra ett punkt, ett toppunkt og en tangentstigning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tredjegradsfunksjon-fra-punkt-toppunkt-og-tangent/
### Oppgavetekst
Du får vite følgende om en tredjegradsfunksjon $f$ gitt ved
$$
f(x) = a \cdot x^3 + b \cdot x^2 + c \cdot x + d
$$
- Grafen til $f$ går gjennom punktet $(2,\ 6)$.
- Punktet $(-2,\ 8)$ er et toppunkt på grafen til $f$.
- Tangenten til grafen til $f$ i punktet $(3,\ f(3))$ har stigningstall 4.
Bruk opplysningene ovenfor til å bestemme $a$, $b$, $c$ og $d$.
---
## H2024 del 2 oppgave 6 — Areal av firkant ABCD med trigonometri
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Areal og omkrets, Cosinussetningen, Arealsetningen
- **Kompetansemål:** Bruke trigonometri til å analysere og løyse samansette teoretiske og praktiske problem med lengder, vinklar og areal (KM409); Grunngi sinus-, cosinus- og arealsetninga (KM393)
- **Kort beskrivelse:** Beregne arealet av firkant $ABCD$ ved (a) cosinussetningen og arealsetningen fra sider, og (b) arealsetningen direkte fra vinkler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/areal-av-firkant-abcd-med-trigonometri/
### Oppgavetekst
Klassen til Isabel og Anniken skal vise at de kan bruke trigonometri for å bestemme arealet av figuren nedenfor.
Læreren har delt klassen i grupper og gitt hver gruppe noen opplysninger i tillegg til informasjonen som kan leses ut fra figuren.
Gruppen til Isabel har fått vite at $AD = 6{,}0$, $BC = 10{,}0$ og at diagonalen $AC = 16{,}4$.
a) Vis hvordan gruppen til Isabel kan bestemme arealet ved å bruke opplysningene de har tilgang til. Husk å gjøre rede for hvilke trigonometriske sammenhenger du bruker.
Gruppen til Anniken har fått vite at $\angle A = 62{,}5\degree$, $\angle C = 38{,}3\degree$, $\angle ABD = 45{,}5\degree$ og $\angle CBD = 85{,}5\degree$.
b) Vis hvordan gruppen til Anniken kan bestemme arealet ved å bruke opplysningene de har tilgang til. Husk å gjøre rede for hvilke trigonometriske sammenhenger du bruker.
---
## H2024 del 2 oppgave 7 — Optimalisering av grønnsakhage med 100 m gjerde
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Modellering, Funksjonsdrøfting, Areal og omkrets, Pytagoras
- **Kompetansemål:** Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige (KM402); Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte (KM401)
- **Kort beskrivelse:** Modellere arealet $A(x)$ av grønnsakhage (rektangel + to likebeinte rettvinklede trekanter) under bibetingelse 100 m gjerde, finne maksimum og bestemme gyldighetsområde.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/optimalisering-av-gronnsakhage-med-100-m-gjerde/
### Oppgavetekst
Else skal gjerde inn tre områder for å lage en grønnsakhage. Det største området skal ha form som et rektangel og de to minste som likebeinte rettvinklede trekanter. Se figuren ovenfor.
Else skal sette opp gjerde langs alle linjestykkene vist på figuren ovenfor.
Hun har til sammen 100 m gjerde som hun vil bruke.
a) Hvor stort blir arealet av grønnsakhagen dersom hun velger at katetene i trekantene skal være 8 meter?
b) Lag en oversikt som viser hvordan arealet av grønnsakhagen endrer seg dersom hun velger andre lengder på katetene. Av oversikten skal Else kunne se omtrent hvor lange katetene må være for at arealet av grønnsakhagen skal bli størst mulig.
c) Lag en modell $A$ som Else kan bruke for å regne ut arealet $A(x)$ av grønnsakhagen for ulike verdier av $x$.
d) Bruk modellen til å finne den lengden av katetene som vil gi det største arealet.
e) Bestem modellens gyldighetsområde.
---
## V2023 del 1 oppgave 1 — Begrunn hvorfor sin² u + cos² u = 1
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Algebra
- **Kompetansemål:** Lese og forstå matematiske bevis og utforske og utvikle bevis i relevante matematiske emne (KM395); Gjere greie for definisjonane av sinus, cosinus og tangens og bruke trigonometri til å berekne lengder, vinklar og areal i vilkårlege trekantar (KM394)
- **Kort beskrivelse:** Bevise at $(\sin u)^2 + (\cos u)^2 = 1$ ved å sette inn sinus og cosinus for en 8-6-10-trekant og bruke Pytagoras.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/begrunn-hvorfor-sin2-u-cos2-u-1/
### Oppgavetekst
En rettvinklet trekant har sidelengder 8, 6 og 10. Se figuren under.
Vis at
$$
(\sin u)^2 + (\cos u)^2 = 1
$$
---
## V2023 del 1 oppgave 2 — Andregradsuttrykk skjæringspunkter med x-aksen
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Faktorisering, Likninger, Andregradslikninger
- **Kompetansemål:** Utforske samanhengar mellom andregradslikningar og andregradsulikskapar, andregradsfunksjonar og kvadratsetningane og bruke samanhengane i problemløysing (KM400)
- **Kort beskrivelse:** Faktorisere $x^2 - 2x - 8$ og løse $f(x) = 0$ for å finne nullpunktene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/andregradsuttrykk-skjaeringspunkter-med-x-aksen/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x)=x^{2}-2 x-8
$$
I hvilke punkter skjærer grafen til funksjonen $x$-aksen?
---
## V2023 del 1 oppgave 3 — Faktorisering av tredjegradsuttrykk v23
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Likninger, Identiteter, Faktorisering, Polynomdivisjon
- **Kompetansemål:** Forklare polynomdivisjon og bruke det til å omskrive algebraiske uttrykk, drøfte funksjonar og løyse likningar og ulikskapar (KM398); Forklare forskjellen mellom ein identitet, ei likning, eit algebraisk uttrykk og ein funksjon (KM396)
- **Kort beskrivelse:** Bestemme $a$ og $b$ slik at $x^3-5x^2-8x+12=(x-1)(x+a)(x-b)$ er identitet via polynomdivisjon og heltallsmetoden.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/faktorisering-av-tredjegradsuttrykk-v2023/
### Oppgavetekst
Gitt likningen
$$
x^{3}-5 x^{2}-8 x+12=(x-1)(x+a)(x-b)
$$
Bestem $a$ og $b$ slik at likningen blir en identitet.
---
## V2023 del 1 oppgave 4 — Lag funksjonsuttrykk til grafen av rasjonal funksjon
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Rasjonale funksjoner, Funksjoner, Utforskning, Graftolkning, Asymptoter
- **Kompetansemål:** Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar (KM446)
- **Kort beskrivelse:** Konstruere rasjonal funksjon fra graf ved å bruke vertikal asymptote, horisontal asymptote og nullpunkt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lag-funksjonsuttrykk-til-grafen-av-rasjonal-funksjon/
### Oppgavetekst
Nedenfor ser du grafen til en rasjonal funksjon $f$.
Bestem $f(x)$. Husk å argumentere for at svaret ditt er riktig.
> **Info**
> Kommentar til oppgaven
> Kommentar: det finnes uendelig mange ulike funksjonsuttrykk som passer. Det holder å finne et funksjonsuttrykk. Inkluder gjerne definisjonsmengden i svaret ditt.
---
## V2023 del 1 oppgave 5 — Skisser grafen ut fra den deriverte v23
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Funksjoner, Funksjonsdrøfting
- **Kompetansemål:** Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte (KM401); Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar (KM446)
- **Kort beskrivelse:** Tolke graf av $f'$ for å skissere $f$ ved å plassere nullpunkter, topp- og bunnpunkt der $f'$ skifter fortegn.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/skisser-grafen-ut-fra-den-deriverte-v2023/
### Oppgavetekst
Ovenfor ser du grafen til den deriverte av en funksjon $f$.
Nullpunktene til $f$ er $x=-4, x=-2, x=4$ og $x=6$
Lag en skisse som viser hvordan grafen til $f$ kan se ut.
Husk å argumentere for hvorfor du mener skissen er riktig.
---
## V2023 del 2 oppgave 1 — Gjennomsnittstemperatur på Svalbard
- **Fag:** 1T, 1P
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geogebra, Gjennomsnittlig vekstfart
- **Kompetansemål:** Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte (KM401); Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige (KM402)
- **Kort beskrivelse:** Grafisk finne antall døgn med $T(x)>0$ mellom to nullpunkter; beregne sekantstigningstall mellom $(3, T(3))$ og $(7, T(7))$ som gjennomsnittlig vekstfart.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gjennomsnittstemperatur-pa-svalbard/
### Oppgavetekst
De siste årene har Lars bodd på Svalbard fra 1. februar til 1. oktober. Hvert år har han målt temperaturen utenfor huset sitt på ulike tidspunkt noen dager hver uke.
Han har funnet at funksjonen $T$ gitt ved
$$
T(x)=0{,}048 x^{4}-1{,}4 x^{3}+13{,}36 x^{2}-45{,}8 x+35{,}2 \quad, \quad x \in[2,10]
$$
er en rimelig bra modell for gjennomsnittstemperaturen $T(x) \degree \mathrm{C}$ hvert døgn de månedene han bor på Svalbard, når han lar $x=2$ svare til 1. februar, $x=3$ til 1. mars, $x=4$ til 1 . april og så videre.
a) Omtrent hvor mange døgn i perioden 1. februar-1. oktober er gjennomsnittstemperaturen over $0 \degree \mathrm{C}$ ifølge modellen?
b) Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(3, T(3))$ og $(7, T(7))$. Gi en praktisk tolkning av dette stigningstallet.
*Denne oppgaven har også én c)-oppgave som passer for 1T: Gjennomsnittstemperatur på Svalbard og den deriverte*
---
## V2023 del 2 oppgave 1c — Gjennomsnittstemperatur på Svalbard og den deriverte
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1c
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Funksjonsdrøfting, Funksjoner
- **Kompetansemål:** Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte (KM401); Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar (KM446)
- **Kort beskrivelse:** Finne nullpunkter og ekstremalpunkter til $T'$ grafisk; tolke hva hvert punkt sier om hvordan gjennomsnittstemperaturen endrer seg gjennom året.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gjennomsnittstemperatur-pa-svalbard-og-den-deriverte/
### Oppgavetekst
> **Merk**
> Fortsettelse av annen oppgave
> Dette er en fortsettelse av oppgaven Gjennomsnittstemperatur på Svalbard
De siste årene har Lars bodd på Svalbard fra 1. februar til 1. oktober. Hvert år har han målt temperaturen utenfor huset sitt på ulike tidspunkt noen dager hver uke.
Han har funnet at funksjonen $T$ gitt ved
$$
T(x)=0{,}048 x^{4}-1{,}4 x^{3}+13{,}36 x^{2}-45{,}8 x+35{,}2 \quad, \quad x \in[2,10]
$$
er en rimelig bra modell for gjennomsnittstemperaturen $T(x) \degree\mathrm{C}$ hvert døgn de månedene han bor på Svalbard, når han lar $x=2$ svare til 1. februar, $x=3$ til 1. mars, $x=4$ til 1 . april og så videre.
c) Bestem nullpunkter og ekstremalpunkter til den deriverte funksjonen $T^{\prime}$.
Gjør rede for hva koordinatene til hvert av punktene forteller om gjennomsnittstemperaturen utenfor huset til Lars.
---
## V2023 del 2 oppgave 2 — Bredden av teltplassen
- **Fag:** 1T, 1P
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regneark, Utforskning, Optimering, Funksjoner
- **Kompetansemål:** Utforske samanhengar mellom andregradslikningar og andregradsulikskapar, andregradsfunksjonar og kvadratsetningane og bruke samanhengane i problemløysing (KM400); Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige (KM402)
- **Kort beskrivelse:** Sette opp arealet $A(x)=(80-2x)\cdot x$, systematisere med tabell og vise maksimum grafisk.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bredden-av-teltplassen/
### Oppgavetekst
En gruppe speidere har slått opp telt ved en elv. De har et tau som er 80 m langt, og fire pinner. Tauet og pinnene skal de bruke til å sette opp et gjerde rundt teltet. Området de gjerder inn, skal ha form som et rektangel, og de vil ikke sette opp gjerde langs elven. Se skissen ovenfor.
a) Hvor stort blir arealet av området dersom de velger at lengden skal være 60 meter?
Herman påstår at arealet av området blir størst dersom lengden er dobbelt så lang som bredden.
b) Lag en systematisk oversikt som viser arealet av ulike områder som de kan gjerde inn. Bruk oversikten til å argumentere for at Herman sin påstand kan være riktig.
Josefine lurer på om de kan tegne en graf som viser at Herman har rett. Hun prøver å sette opp et funksjonsuttrykk som hun kan bruke.
c) Sett opp et funksjonsuttrykk for Josefine. Tegn grafen og vis at Hermann sin påstand er riktig.
---
## V2023 del 2 oppgave 3 — Areal av firkant ved hjelp av trigonometri
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Cosinussetningen, Arealsetningen, Geometri
- **Kompetansemål:** Bruke trigonometri til å analysere og løyse samansette teoretiske og praktiske problem med lengder, vinklar og areal (KM409); Grunngi sinus-, cosinus- og arealsetninga (KM393)
- **Kort beskrivelse:** Beregne areal av firkant ved å dele i to trekanter, bruke cosinussetningen til å finne diagonalen og arealsetningen på begge.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/areal-av-firkant-ved-hjelp-av-trigonometri/
### Oppgavetekst
I denne oppgaven skal du vise at du kan bruke trigonometri til å bestemme arealet av figuren ovenfor.
Bestem arealet. Husk å gjøre rede for hvilke trigonometriske sammenhenger du bruker.
> **Info**
> Kommentar
> Kommentar: Du trenger ikke regne eksakte verdier i denne oppgaven, men du må bruke trigonometriske sammenhenger. Hvis du konstruerer firkanten i GeoGebra vil det ikke gi full uttelling.
---
## V2023 del 2 oppgave 4 — Areal under graf med programmering
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Programmering, Integrasjon, Funksjoner, Utforskning, Numerisk integrasjon
- **Kompetansemål:** Formulere og løyse problem ved hjelp av algoritmisk tenking, ulike problemløysingsstrategiar, digitale verktøy og programmering (KM403); Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar (KM446)
- **Kort beskrivelse:** Riemannsummer med venstre-rektangel-metoden manuelt og via Python-program for tilnærmet integral.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/areal-under-graf-med-programmering/
### Oppgavetekst
Nedenfor ser du grafen til funksjonen $f$ gitt ved
$$
f(x)=\frac{1}{9}(x+1)(x-6)^2
$$
Thea ønsker å bestemme en tilnærmet verdi for arealet av det grønne området som
er avgrenset av $x$-aksen, $y$-aksen og grafen til $f$.
Hun vil gjøre dette ved å legge sammen arealene av små rektangler. Hun begynner som vist på figur 2 og figur 3 nedenfor og vil så øke antall rektangler for å få en bedre tilnærming.
---
a) Bestem arealet av de seks rektanglene i figur 2
b) Lag et program som Thea kan bruke når hun skal øke antallet rektangler. Du kan for eksempel begynne som vist nedenfor.
```python
def f(x):
return 1 / 9 * (x + 1) * (x - 6) ** 2 # Definerer funksjonen
x_min = 0 # Startverdi for x
x_maks = 6 # Sluttverdi for x
n = 6000 # antall rektangler
bredde = # bredden av hvert rektangel
```
c) Bruk programmet til å bestemme arealet dersom hun bruker 6000 rektangler.
---
## V2023 del 2 oppgave 5 — Areal av trekant i sirkel
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Cosinussetningen, Arealsetningen, CAS
- **Kompetansemål:** Bruke trigonometri til å analysere og løyse samansette teoretiske og praktiske problem med lengder, vinklar og areal (KM409); Grunngi sinus-, cosinus- og arealsetninga (KM393)
- **Kort beskrivelse:** Bestemme radius via arealsetningen; uttrykke BC og AB som funksjoner av r med Pytagoras og cosinussetning, sette opp likning og løse i CAS.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/areal-av-trekant-i-sirkel/
### Oppgavetekst
Punktene $A, B$ og $C$ ligger på en sirkel med sentrum i $S$ og radius $r$.
$\angle S B A=30^{\circ}$ og $\angle B S C=90^{\circ}$
Arealet av $\triangle A B C$ er $2 \sqrt{3}+6$
Se figuren ovenfor.
Bestem en eksakt verdi for $r$.
---
## V2023 del 2 oppgave 6 — Tredjegradsfunksjoner uten førstegradsledd
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Utforskning, Geogebra, CAS, Funksjoner
- **Kompetansemål:** Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte (KM401); Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar (KM446)
- **Kort beskrivelse:** Finn topp/bunn for $x^3-3x^2+2$, og utforsk påstanden om stasjonært punkt på $y$-aksen ved å derivere $ax^3+bx^2+c$ og bruke glidere i GeoGebra.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tredjegradsfunksjoner-uten-forstegradsledd/
### Oppgavetekst
Trym og Eira arbeider med oppgaven nedenfor.
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x)=x^{3}-3 x^{2}+2
$$
Bestem koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$.
> Trym
> Jeg ser med én gang at grafen må ha et topp- eller bunnpunkt som ligger på $y$-aksen.
> Eira
> Hvordan ser du det?
> Trym
>
TRYM: Funksjonsuttrykket har ikke et førstegradsledd. Da må det være slik.
> Eira
> Hvorfor det? Vil det alltid være slik?
> Trym
>
TRYM: Ja, i alle fall for alle tredjegradsfunksjoner. Det har jeg lært meg.
> Eira
> Men det er jo ikke slik for grafen til $x^{3}$.
> Trym
> Æsj! Det stemmer. Det kan jo hende du har litt rett likevel, men at det er noe mer vi må se etter?
a) Løs oppgaven elevene arbeider med.
b) Ta utgangspunkt i dialogen ovenfor. Utforsk og kommenter Trym sin «regel».
---
## H2023 del 1 oppgave 1 — Likesidet trekant og cos 60°
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Bevis, Argumentasjon
- **Kompetansemål:** Gjere greie for definisjonane av sinus, cosinus og tangens og bruke trigonometri til å berekne lengder, vinklar og areal i vilkårlege trekantar (KM394); Lese og forstå matematiske bevis og utforske og utvikle bevis i relevante matematiske emne (KM395)
- **Kort beskrivelse:** Vise at $\cos 60\degree = \tfrac{1}{2}$ ved å tegne høyden i den likesilte trekanten og lese av forholdet hosliggende/hypotenus i en av halvtrekantene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/likesidet-trekant-og-cos-60/
### Oppgavetekst
En likesidet trekant har sidelengder 2. Se figuren til høyre.
Bruk trekanten til å vise at
$$
\cos 60\degree = \frac{1}{2}
$$
---
## H2023 del 1 oppgave 2 — Skjæringspunkter med x-aksen
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Faktorisering, Polynomdivisjon, Røtter
- **Kompetansemål:** Forklare polynomdivisjon og bruke det til å omskrive algebraiske uttrykk, drøfte funksjonar og løyse likningar og ulikskapar (KM398); Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar (KM446)
- **Kort beskrivelse:** Finne nullpunktene til $f(x)=x^3+2x^2-5x-6$ ved å gjette én rot, polynomdividere og faktorisere det resterende andregradsuttrykket.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/skjaeringspunkter-med-x-aksen/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6
$$
I hvilke punkter skjærer grafen til funksjonen $x$-aksen?
---
## H2023 del 1 oppgave 3 — Tangent til tredjegradsfunksjon
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon
- **Kompetansemål:** Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte (KM401); Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar (KM446)
- **Kort beskrivelse:** Bestemme tangentlikningen til grafen til $f(x)=x^3-3x^2-x+4$ i punktet $(1, f(1))$ ved derivasjon og ettpunktsformelen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tangent-til-tredjegradsfunksjon/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = x^3 - 3x^2 - x + 4
$$
Bestem likningen for tangenten til grafen til $f$ i punktet $(1, f(1))$.
---
## H2023 del 1 oppgave 4 — To trekanter og størst areal
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Arealsetningen, Trigonometri, Argumentasjon
- **Kompetansemål:** Grunngi sinus-, cosinus- og arealsetninga (KM393); Lese og forstå matematiske bevis og utforske og utvikle bevis i relevante matematiske emne (KM395)
- **Kort beskrivelse:** Sammenligne arealet av to trekanter med arealsetningen og argumentere for hvilken er størst — utnytte at $\sin(150\degree)=\sin(30\degree)$ og at sin er stigende på $\langle 0\degree, 90\degree\rangle$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/to-trekanter-og-storst-areal/
### Oppgavetekst
Hvilken av de to trekantene har størst areal?
Husk å argumentere for at svaret ditt er riktig.
---
## H2023 del 1 oppgave 5 — Rasjonale funksjoner og grafvalg
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rasjonale funksjoner, Asymptoter, Graftolkning
- **Kompetansemål:** Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar (KM446)
- **Kort beskrivelse:** Identifisere grafene til to rasjonale funksjoner ved å bestemme asymptoter, nullpunkter og $y$-skjæring og argumentere ut fra disse kjennetegnene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rasjonale-funksjoner-og-grafvalg/
### Oppgavetekst
Funksjonene $f$ og $g$ er gitt ved
$$
f(x) = \frac{2x - 8}{x + 2}
$$
$$
g(x) = \frac{x^2 - 4}{(x - 3)(x + 3)}
$$
a) Hvilken av grafene ovenfor er grafen til $f$?
b) Hvilken av grafene ovenfor er grafen til $g$?
Husk å argumentere for at svarene dine er riktige.
---
## H2023 del 2 oppgave 1 — Folketall i et område
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Modellering, Derivasjon, Gjennomsnittlig vekstfart
- **Kompetansemål:** Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte (KM401); Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige (KM402)
- **Kort beskrivelse:** Drøfte tredjegradsmodellen $F(x)$ for folketallet — finne maksimum, gjennomsnittlig vekstfart i et tidsintervall og det tidspunktet folketallet avtar raskest (vendepunkt).
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/folketall-i-et-omrade/
### Oppgavetekst
En gruppe statistikere har sett på hvordan folketallet i et område har endret seg siden 1960, og laget en modell $F$ gitt ved
$$
F(x) = \frac{1}{1000} \cdot \left(0{,}027x^3 - 5{,}8x^2 + 220x + 7900\right), \quad x \in [0, 80]
$$
for folketallet $F(x)$ tusen innbyggere i området $x$ år etter 1960.
a) Vis hvordan du på to ulike måter kan bestemme når folketallet var høyest ifølge modellen.
b) Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(30, F(30))$ og $(70, F(70))$. Gi en praktisk tolkning av dette stigningstallet.
c) Når vil folketallet avta raskest ifølge modellen?
---
## H2023 del 2 oppgave 2 — Areal av firekantet figur
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Areal og omkrets, Arealsetningen, Cosinussetningen
- **Kompetansemål:** Bruke trigonometri til å analysere og løyse samansette teoretiske og praktiske problem med lengder, vinklar og areal (KM409); Grunngi sinus-, cosinus- og arealsetninga (KM393)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/areal-av-firekantet-figur/
### Oppgavetekst
I denne oppgaven skal du vise at du kan bruke trigonometri til å bestemme arealet av figuren ovenfor.
Bestem arealet. Husk å gjøre rede for hvilke trigonometriske sammenhenger du bruker.
---
## H2023 del 2 oppgave 4 — Antall fiskere og regresjon
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Modellering
- **Kompetansemål:** Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige (KM402); Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar (KM446)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/antall-fiskere-og-regresjon/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser antall personer i Norge som hadde fiske som hovedyrke noen år i perioden 1952–2022.
| År | 1952 | 1982 | 1992 | 2002 | 2012 | 2022 |
| -------------- | ------ | ------ | ------ | ------ | ----- | ----- |
| Antall fiskere | 65 956 | 25 289 | 19 780 | 13 841 | 9 825 | 9 591 |
a) La $x$ være antall år etter 1950 og bruk opplysningene i tabellen til å bestemme en modell $F$ som du mener kan brukes til å si noe om antall personer som har hatt fiske som hovedyrke i perioden 1952–2022.
b) Hvor mange personer i Norge vil i 2050 ha fiske som hovedyrke ifølge modellen fra oppgave a)? Vurder modellens gyldighetsområde.
---
## H2023 del 2 oppgave 5 — Avstand mellom to funksjoner
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Optimering, Funksjoner
- **Kompetansemål:** Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte (KM401); Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar (KM446)
- **Kort beskrivelse:** Beregne den vertikale avstanden mellom $f(x)=2x+8$ og $g(x)=x^3-x^2-4x+8$ ved gitt $x$ og bestemme eksakt $x$-verdi som gir størst avstand i $\langle 1, 3\rangle$ ved derivasjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/avstand-mellom-to-funksjoner/
### Oppgavetekst
Ovenfor har Sara tegnet grafene til funksjonene $f$ og $g$ gitt ved
$$
f(x) = 2x + 8
$$
$$
g(x) = x^3 - x^2 - 4x + 8
$$
Linjen $x = 1$ skjærer grafen til $f$ i punktet $P$ og grafen til $g$ i punktet $Q$.
a) Bestem avstanden fra $P$ til $Q$.
Sara skal tegne en ny linje $x = a$ der $a \in \langle 1, 3 \rangle$ i koordinatsystemet. Hun vil kalle skjæringspunktet mellom linjen og grafen til $f$ for $R$ og skjæringspunktet mellom linjen og grafen til $g$ for $S$.
b) Bestem $a$ slik at avstanden fra $R$ til $S$ blir størst mulig. Oppgi svaret eksakt.
---
## H2023 del 2 oppgave 6 — Linjestykker og geometrisk vekst
- **Fag:** 1P, 1T
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometrisk vekst, Rekker, Programmering
- **Kompetansemål:** Tolke og bruke funksjonar i matematisk modellering og problemløysing (KM322); Bruke digitale verktøy i utforsking og problemløysing knytt til eigenskapar ved funksjonar, og diskutere løysingane (KM372)
- **Kort beskrivelse:** Geometrisk rekke $L_n = 100 \cdot 0{,}9^{n-1}$; sum av $8$ første ledd, program for å finne minste $n$ med $s_n \geq 900$, og prosentvis endring fra $s_{50}$ til $s_{100}$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/linjestykker-og-geometrisk-vekst/
### Oppgavetekst
I denne oppgaven skal du arbeide med linjestykker som settes sammen til en figur.
Skissen nedenfor viser de 16 første linjestykkene i figuren. Lengden av et linjestykke er alltid 90 % av lengden av det forrige linjestykket. Det første linjestykket er 100 cm langt.
a) Bestem summen av lengdene av de 8 første linjestykkene i figuren.
b) Lag et program som du kan bruke til å bestemme summen av lengdene av linjestykkene dersom det er mange linjestykker i figuren.
Hvor mange linjestykker må vi ha med i figuren dersom summen av lengdene skal bli minst 9 meter?
c) Hvor mange prosent øker summen av lengdene dersom vi øker antall linjestykker i figuren fra 50 til 100?
---
## H2023 del 2 oppgave 6 — Tredjegradsfunksjon med ukjente koeffisienter
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Gjennomsnittlig vekstfart, Likningssystem
- **Kompetansemål:** Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte (KM401); Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar (KM446)
- **Kort beskrivelse:** Sett opp tre likninger fra $f(-8)=0$, $f'(-8)=0$ og gjennomsnittlig vekstfart $64/5$, og løs systemet i CAS for $a$, $b$, $c$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tredjegradsfunksjon-med-ukjente-koeffisienter/
### Oppgavetekst
En tredjegradsfunksjon $f$ er gitt ved
$$
f(x) = ax^3 + bx^2 + cx - 64
$$
- Punktet $(-8, 0)$ er et toppunkt på grafen til $f$.
- Den gjennomsnittlige vekstfarten til $f$ i intervallet $[0, 5]$ er $\dfrac{64}{5}$.
Bestem $a$, $b$ og $c$.
---
## H2023 del 2 oppgave 7 — Rektangel under graf
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Derivasjon, Funksjoner, CAS
- **Kompetansemål:** Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte (KM401); Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar (KM446)
- **Kort beskrivelse:** Maksimere arealet av rektangel under $f(x)=8/(x^2+20)$ via systematisk oversikt og derivasjon i CAS.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rektangel-under-graf/
### Oppgavetekst
Nedenfor ser du grafen til funksjonen $f$ gitt ved
$$
f(x) = \frac{8}{x^2 + 20}
$$
Rektangelet under grafen har hjørner i punktene $(0, 0)$, $(5, 0)$, $(5, f(5))$ og $(0, f(5))$.
a) Bestem arealet av rektangelet.
b) Lag en systematisk oversikt som viser arealet av rektanglene som har hjørner i punktene $(0, 0)$, $(n, 0)$, $(n, f(n))$ og $(0, f(n))$ for $n \in \{1, 2, 3, \ldots, 10\}$
c) Bestem $k$ slik at arealet av rektangelet som har hjørner i punktene $(0, 0)$, $(k, 0)$, $(k, f(k))$ og $(0, f(k))$, blir størst mulig.
---
## V2022 del 1 oppgave 1 — Andregradslikning og ulikhet med faktorisering 1T V22
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Faktorisering, Andregradslikninger, Ulikheter
- **Kompetansemål:** Utforske samanhengar mellom andregradslikningar og andregradsulikskapar, andregradsfunksjonar og kvadratsetningane og bruke samanhengane i problemløysing (KM400)
- **Kort beskrivelse:** Løse faktorisert andregradslikning og sette opp en ulikhet med gitt løsningsmengde.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/andregradslikning-og-ulikhet-med-faktorisering-1t-v22/
### Oppgavetekst
a) Løs likningen
$$
(x-2)(x+1)=0
$$
b) Sett opp en ulikhet som har løsning $x\in\langle\leftarrow,-1\rangle\cup\langle 2,\rightarrow\rangle$
Husk å begrunne svaret.
---
## V2022 del 1 oppgave 2 — Identitet med andre kvadratsetning
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Identiteter, Andregradsfunksjon, Faktorisering
- **Kompetansemål:** Forklare forskjellen mellom ein identitet, ei likning, eit algebraisk uttrykk og ein funksjon (KM396); Utforske samanhengar mellom andregradslikningar og andregradsulikskapar, andregradsfunksjonar og kvadratsetningane og bruke samanhengane i problemløysing (KM400)
- **Kort beskrivelse:** Bestemme $r$ og $s$ slik at $9x^2-30x+r=(3x-s)^2$ blir en identitet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/identitet-med-andre-kvadratsetning/
### Oppgavetekst
Bestem $r$ og $s$ slik at sammenhengen nedenfor blir en identitet
$$
9x^2-30x+r=(3x-s)^2
$$
---
## V2022 del 1 oppgave 3 — Rettvinklet trekant med tan B og tre tester
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Rettvinklet trekant, Pytagoras, Argumentasjon
- **Kompetansemål:** Gjere greie for definisjonane av sinus, cosinus og tangens og bruke trigonometri til å berekne lengder, vinklar og areal i vilkårlege trekantar (KM394)
- **Kort beskrivelse:** Begrunne tre påstander om rettvinklet trekant der $\tan\angle B=3/4$ (sinus, kateter, hypotenus).
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rettvinklet-trekant-med-tan-b-og-tre-tester/
### Oppgavetekst
Om en rettvinklet trekant $ABC$ får du vite at $\tan\angle B=\dfrac{3}{4}$.
- Kan det være riktig at $\sin\angle B=\dfrac{3}{10}$?
- Kan det være riktig at den ene kateten er 6 og den andre kateten er 8?
- Kan det være riktig at hypotenusen er kortere enn 4?
Husk å begrunne alle tre svarene.
---
## V2022 del 1 oppgave 4 — Python-program med kvadrater og while-løkke
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Programmering
- **Kompetansemål:** Formulere og løyse problem ved hjelp av algoritmisk tenking, ulike problemløysingsstrategiar, digitale verktøy og programmering (KM403)
- **Kort beskrivelse:** Forklare hva en while-løkke som skriver ut $f(x)=x^2$ gjør, og finne utskriften.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/python-program-med-kvadrater-og-while-lokke/
### Oppgavetekst
```python ln
def f(x):
return x ** 2 # Definerer funksjonen f gitt ved f(x) = x ^ 2
x = 1
while f(x) <= 400:
print(f(x))
x = x + 1
```
Forklar hva som skjer når programmet ovenfor kjøres.
Hva blir resultatet?
---
## V2022 del 1 oppgave 5 — Rasjonal funksjon fra asymptoter og to uttrykk
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rasjonale funksjoner, Asymptoter
- **Kompetansemål:** Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar (KM446)
- **Kort beskrivelse:** Foreslå to mulige funksjonsuttrykk for $f$ med vertikal asymptote $x=-2$ og horisontal asymptote $y=3$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rasjonal-funksjon-fra-asymptoter-og-to-uttrykk/
### Oppgavetekst
En rasjonal funksjon $f$ har vertikal asymptote $x=-2$ og horisontal asymptote $y=3$.
Bestem to mulige funksjonsuttrykk for $f$.
Husk å forklare hvordan du tenker.
---
## V2022 del 1 oppgave 6 — Polynomdivisjon og grafvalg for tredjegradsfunksjon
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Polynomdivisjon, Faktorisering, Tredjegradsfunksjon, Grafisk framstilling
- **Kompetansemål:** Forklare polynomdivisjon og bruke det til å omskrive algebraiske uttrykk, drøfte funksjonar og løyse likningar og ulikskapar (KM398); Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar (KM446)
- **Kort beskrivelse:** Vise at $(2x^3+x^2-18x-9):(x-3)$ går opp og velge riktig graf blant tre kandidater.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/polynomdivisjon-og-grafvalg-for-tredjegradsfunksjon/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x)=2x^3+x^2-18x-9
$$
a) Vis at divisjonen $f(x):(x-3)$ går opp.
b) Gjør beregninger, og vurder hvilken av grafene nedenfor som kan være grafen til $f$.
---
## V2022 del 2 oppgave 1 — Vanntank som tappes ut
- **Fag:** 1T, 1P
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 10
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Andregradsfunksjon, Modellering, Gjennomsnittlig vekstfart, Derivasjon
- **Kompetansemål:** Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte (KM401); Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige (KM402)
- **Kort beskrivelse:** Tolke modellen $V(x)=2000-2000(1-x/40)^2$ for vannmengde tappet ut og avgjøre om hastigheten passerer $105\mathrm{~L/min}$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vanntank-som-tappes-ut/
### Oppgavetekst
En fabrikk har en vanntank. Vannet i tanken skal tappes ut.
Anta at funksjonen $V$ gitt ved
$$
V(x)=2000-2000\cdot\left(1-\frac{x}{40}\right)^2,\quad 0\le x\le 40
$$
kan brukes som en modell for hvor mange liter vann $V(x)$ som er tappet ut av tanken $x$ minutter etter at tappingen startet.
a) Bestem $V(0)$. Gi en praktisk tolkning av svaret.
b) Bestem verdimengden til $V$.
c) Hvor lang tid vil det ta før halvparten av vannet er tappet ut av tanken?
d) Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(0,V(0))$ og $(30,V(30))$. Gi en praktisk tolkning av svaret.
e) Undersøk om det noen gang vil tappes ut mer enn 105 liter vann i løpet av ett minutt.
---
## V2022 del 2 oppgave 3 — Eksakt omkrets og arealforhold i firkant
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Arealsetningen, Cosinussetningen, Eksakte verdier
- **Kompetansemål:** Gjere greie for definisjonane av sinus, cosinus og tangens og bruke trigonometri til å berekne lengder, vinklar og areal i vilkårlege trekantar (KM394); Bruke trigonometri til å analysere og løyse samansette teoretiske og praktiske problem med lengder, vinklar og areal (KM409)
- **Kort beskrivelse:** Bestemme eksakt omkrets av firkant $ABCD$ og vise at arealforholdet $S_{ABD}/S_{BCD}=\frac{3}{2}(\sqrt 3+1)$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksakt-omkrets-og-arealforhold-i-firkant/
### Oppgavetekst
Gitt firkanten $ABCD$ ovenfor.
a) Bestem et eksakt uttrykk for omkretsen av firkanten.
b) Vis at forholdet mellom arealet av $\triangle ABD$ og arealet av $\triangle BCD$ er $\dfrac{3}{2}\left(\sqrt{3}+1\right)$.
---
## V2022 del 2 oppgave 5 — Andregradsfunksjon fra tangentstigninger
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Andregradsfunksjon, Derivasjon, Tangent
- **Kompetansemål:** Utforske samanhengar mellom andregradslikningar og andregradsulikskapar, andregradsfunksjonar og kvadratsetningane og bruke samanhengane i problemløysing (KM400); Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte (KM401)
- **Kort beskrivelse:** Bestemme $f'(x)$ og $f(x)$ for andregradsfunksjon fra to tangentstigninger og y-skjæring.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/andregradsfunksjon-fra-tangentstigninger/
### Oppgavetekst
Grafen til en andregradsfunksjon $f$ har
- en tangent i punktet $(1,f(1))$ med stigningstall 0
- en tangent i punktet $(4,f(4))$ med stigningstall 6
a) Bestem $f'(x)$.
Grafen til $f$ skjærer $y$-aksen i punktet $(0,4)$.
b) Bestem $f(x)$.
---
## V2022 del 2 oppgave 6 — Klossmønster i tre figurer
- **Fag:** 1T, 1P
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Mønstre, Figurtall, Rekker, Modellering
- **Kompetansemål:** Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige (KM402)
- **Kort beskrivelse:** Finne antall klosser i figur 5, sum av de 10 første og største antall figurer Roar kan lage av 10 000 klosser.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/klossmonster-i-tre-figurer/
### Oppgavetekst
Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små klosser. Roar vil fortsette å lage figurer etter samme mønster.
a) Hvor mange klosser trenger han for å lage figur 5?
b) Hvor mange klosser trenger han til sammen for å lage de 10 første figurene?
Roar har 10 000 klosser. Han vil starte med den minste figuren og lage én figur i hver størrelse.
c) Hvor mange figurer kan han lage?
Hvor mange klosser vil han ha igjen når han har laget figurene?
---
## V2022 del 2 oppgave 6 — Tredjegradsfunksjon med parameter b og tangenter
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Tredjegradsfunksjon, Derivasjon, Tangent, Argumentasjon
- **Kompetansemål:** Lese og forstå matematiske bevis og utforske og utvikle bevis i relevante matematiske emne (KM395); Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte (KM401)
- **Kort beskrivelse:** Vise at $f(x)=x^3-2bx^2+(b^2+3)x$ har ett nullpunkt, drøfte stasjonære punkt og finne tangenter med stigning 3.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tredjegradsfunksjon-med-parameter-b-og-tangenter/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x)=x^3-2b\cdot x^2+(b^2+3)\cdot x \quad\text{der}\quad b\in\mathbb{R}
$$
a) Vis at $f$ bare har ett nullpunkt uavhengig av verdien av $b$.
b) Løs likningen $f'(x)=0$.
For hvilke verdier av $b$ har grafen til $f$ bare ett stasjonært punkt?
Dersom $b\neq 0$ har grafen til $f$ to tangenter med stigningstall 3.
c) Bestem likningene for disse tangentene.
---
## V2022 del 2 oppgave 7 — Temperatur i hytte med potens- og eksponentialmodell
- **Fag:** 1T, 1P
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Potensfunksjon, Eksponentialfunksjon, Modellering
- **Kompetansemål:** Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige (KM402); Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar (KM446)
- **Kort beskrivelse:** Lage potensmodell $T_1$, eksponentialmodell $f$ for korrigert temperatur og bygge $T_2=f+20$ for hyttetemperatur over tid.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/temperatur-i-hytte-med-potens-og-eksponentialmodell/
### Oppgavetekst
Da Eline og Malene kom til hytta, var temperaturen i stua $2{,}0 \mathrm{~\degree C}$. De skrudde på varmen og stilte termostaten på $20 \mathrm{~\degree C}$. Tabell 1 viser temperaturen i stua $x$ minutter etter at de skrudde på varmen.
| Tid (minutter) | 1 | 5 | 10 | 20 | 30 | 50 | 80 | 120 |
|------------------|----:|----:|-----:|-----:|-----:|-----:|-----:|-----:|
| Temperatur (°C) | $2{,}0$ | $3{,}7$ | $5{,}3$ | $8{,}0$ | $10{,}2$ | $13{,}4$ | $16{,}4$ | $18{,}4$ |
*Tabell 1*
Eline og Malene vil lage en modell som viser temperaturen i stua $x$ minutter etter at de skrudde på varmen. De starter med å bruke tallene i tabell 1 til å lage en modell $T_1$ på formen $T_1(x)=a\cdot x^b$.
a) Bestem tallene $a$ og $b$.
b) Vurder gyldighetsområdet til modellen $T_1$.
Eline og Malene ønsker å forbedre modellen $T_1$. Eline foreslår at de skal trekke $20 \mathrm{~\degree C}$ fra hver temperatur de har målt, og heller bruke en eksponentialfunksjon som modell. Hun setter opp en ny tabell.
| Tid (minutter) | 1 | 5 | 10 | 20 | 30 | 50 | 80 | 120 |
|-----------------------------|------:|------:|------:|------:|------:|------:|------:|------:|
| Korrigert temperatur (°C) | $-18{,}0$ | $-16{,}3$ | $-14{,}7$ | $-12{,}0$ | $-9{,}8$ | $-6{,}6$ | $-3{,}6$ | $-1{,}6$ |
*Tabell 2*
c) Lag en eksponentialfunksjon $f$ som passer godt til tallene i tabell 2.
d) Tegn grafen til $T_1$ og grafen til $f$ i samme koordinatsystem.
Beskriv forskjeller mellom de to grafene.
Malene mener de kan bruke funksjonen $f$ til å lage en bedre modell enn $T_1$ for temperaturen i stua. «Vi løfter grafen til $f$ opp $20\mathrm{~\degree C}$, slik at den starter omtrent i punktet $(0,2)$», sier hun. «Da vil den passe perfekt.»
e) Bruk funksjonen $f$, og lag en modell $T_2$ ved å gjøre som Malene foreslår.
Hva vil temperaturen i stua være etter 4 timer ifølge modellen $T_2$?
---
## H2022 del 1 oppgave 1 — Vis at (sin u) / (cos u) = tan u
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri
- **Kompetansemål:** Gjere greie for definisjonane av sinus, cosinus og tangens og bruke trigonometri til å berekne lengder, vinklar og areal i vilkårlege trekantar (KM394); Lese og forstå matematiske bevis og utforske og utvikle bevis i relevante matematiske emne (KM395)
- **Kort beskrivelse:** Bevis av $\sin u/\cos u=\tan u$ ved å sette inn definisjonene i rettvinklet trekant.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vis-at-sin-u-delt-pa-cos-u-er-tan-u/
### Oppgavetekst
Gitt trekanten under.
Vis at
$$
\frac{\sin u}{\cos u}=\tan u
$$
---
## H2022 del 1 oppgave 2 — Tredjegradsfunksjon med tre nullpunkter og grafvalg
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Tredjegradsfunksjon, Faktorisering, Ulikheter, Grafisk framstilling
- **Kompetansemål:** Utforske samanhengar mellom andregradslikningar og andregradsulikskapar, andregradsfunksjonar og kvadratsetningane og bruke samanhengane i problemløysing (KM400); Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar (KM446)
- **Kort beskrivelse:** Velge riktig graf til $f(x)=(x-4)(x-2)(x+4)$ blant tre kandidater og løse ulikheten $f(x)>0$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tredjegradsfunksjon-med-tre-nullpunkter-og-grafvalg/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x)=(x-4)(x-2)(x+4)
$$
a) Hvilken av grafene nedenfor kan være grafen til $f$?
Husk å forklare hvordan du tenker.
b) Løs ulikheten
$$
(x-4)(x-2)(x+4)>0
$$
---
## H2022 del 1 oppgave 3 — Python-program med rasjonal funksjon og feilmelding
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Programmering, Rasjonale funksjoner, Asymptoter
- **Kompetansemål:** Formulere og løyse problem ved hjelp av algoritmisk tenking, ulike problemløysingsstrategiar, digitale verktøy og programmering (KM403); Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar (KM446)
- **Kort beskrivelse:** Tolke utskrift fra Python-program med $f(x)=(1-2x)/(x-2)$, forklare feilmelding (divisjon med null) og skissere grafen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/python-program-med-rasjonal-funksjon-og-feilmelding/
### Oppgavetekst
```python ln
def f(x):
return (1 - 2 * x) / (x - 2)
x = 8
while x >= -8:
print(x , f(x))
x = x - 1
```
```text
8 -2.5
7 -2.6
6 -2.75
5 -3.0
4 -3.5
3 -5.0
```
Lars har skrevet en programkode. Ovenfor ser du koden, og resultatet Lars får når han kjører programmet.
Når programmet har skrevet ut de seks linjene, kommer en feilmelding.
a) Hva ønsker Lars å bruke programmet til, og hvorfor får han en feilmelding?
b) Foreslå endringer Lars kan gjøre i koden for å unngå feilmeldingen.
c) Skisser grafen til funksjonen $f$ som Lars har definert i linje 1 og 2 i koden.
---
## H2022 del 1 oppgave 4 — Andregradsfunksjon fra to tangentlikninger
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Andregradsfunksjon, Derivasjon, Tangent
- **Kompetansemål:** Utforske samanhengar mellom andregradslikningar og andregradsulikskapar, andregradsfunksjonar og kvadratsetningane og bruke samanhengane i problemløysing (KM400); Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte (KM401)
- **Kort beskrivelse:** Bestemme $f'(x)$ for andregradsfunksjon når tangentene i $(-2,0)$ og $(8,-10)$ er kjent.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/andregradsfunksjon-fra-to-tangentlikninger/
### Oppgavetekst
Om grafen til en andregradsfunksjon $f$ får du vite at
- tangenten i punktet $(-2,0)$ har likningen $y=9x+18$
- tangenten i punktet $(8,-10)$ har likningen $y=-11x+78$
Bestem $f'(x)$.
---
## H2022 del 2 oppgave 1 — Hagebasseng som kjøles ned
- **Fag:** 1T, 1P
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 9
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Modellering, Derivasjon, Gjennomsnittlig vekstfart
- **Kompetansemål:** Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige (KM402); Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar (KM446)
- **Kort beskrivelse:** Drøfte modellen $T(x)=3{,}5+34{,}5\cdot 0{,}87^x$ for nedkjøling i hagebasseng — verdier, gjennomsnittlig avtak og om avtak per time noen gang er mer enn $5\degree$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/hagebasseng-som-kjoles-ned/
### Oppgavetekst
Strømmen som holder vannet i et hagebasseng varmt, blir slått av.
Anta at funksjonen $T$ gitt ved
$$
T(x)=3{,}5+34{,}5\cdot 0{,}87^x,\quad x\ge 0
$$
kan brukes som en modell for temperaturen $T(x)\degree$ i vannet $x$ timer etter at strømmen blir slått av.
a) Hva er temperaturen i vannet når strømmen blir slått av?
b) Hvor lang tid vil det ta før temperaturen i vannet er under $20\degree$?
c) Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(0,T(0))$ og $(4,T(4))$. Gi en praktisk tolkning av svaret.
d) Undersøk om temperaturen i vannet noen gang vil synke med mer enn $5\degree$ i løpet av en time.
e) Gi en praktisk tolkning av tallet $3{,}5$ i modellen.
---
## H2022 del 2 oppgave 2 — Leiligheter i bygård
- **Fag:** 1T, 1P
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem
- **Kompetansemål:** Utforske strategiar for å løyse likningar, likningssystem og ulikskapar og argumentere for tenkjemåtane sine (KM404)
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og løse et likningssystem fra en praktisk tekstoppgave for å finne antall to- og treroms leiligheter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/leiligheter-i-bygard/
### Oppgavetekst
I en bygård er det 40 leiligheter med til sammen 90 rom. Hver leilighet har enten to eller tre rom.
Hvor mange leiligheter har to rom, og hvor mange har tre rom?
---
## H2022 del 2 oppgave 3 — Sirkel med diameter og innskrevet trekant
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Trigonometri, Sirkel, Eksakte verdier, Arealsetningen
- **Kompetansemål:** Gjere greie for definisjonane av sinus, cosinus og tangens og bruke trigonometri til å berekne lengder, vinklar og areal i vilkårlege trekantar (KM394); Bruke trigonometri til å analysere og løyse samansette teoretiske og praktiske problem med lengder, vinklar og areal (KM409)
- **Kort beskrivelse:** Bestemme radius og areal av $\triangle ABC$ ved eksakte verdier når $AB$ er diameter og $S_{SBC}=3\sqrt 2$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sirkel-med-diameter-og-innskrevet-trekant/
### Oppgavetekst
En sirkel har sentrum i $S$. $AB$ er diameter, og $C$ ligger på sirkelperiferien. Arealet av $\triangle SBC$ er $3\cdot\sqrt{2}$.
a) Bestem sirkelens radius. Bruk eksakte verdier.
b) Bestem arealet av $\triangle ABC$. Bruk eksakte verdier.
---
## H2022 del 2 oppgave 4 — Cosinussetning med to løsninger
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Cosinussetningen, Andregradslikninger, Trigonometri, Argumentasjon
- **Kompetansemål:** Gjere greie for definisjonane av sinus, cosinus og tangens og bruke trigonometri til å berekne lengder, vinklar og areal i vilkårlege trekantar (KM394); Bruke trigonometri til å analysere og løyse samansette teoretiske og praktiske problem med lengder, vinklar og areal (KM409)
- **Kort beskrivelse:** Tolke $14^2=16^2+x^2-16x$ som cosinussetningen, finne to mulige trekanter og bestemme verdien som gir nøyaktig én løsning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/cosinussetning-med-to-losninger/
### Oppgavetekst
Nina og Edvard arbeider med å finne en ukjent side $x$ i en trekant.
De har brukt cosinussetningen og satt opp likningen
$$
14^2=16^2+x^2-16x
$$
a) Hvilke opplysninger kan Nina og Edvard ha fått om trekanten?
Siden likningen ovenfor er en andregradslikning, antar Nina at det er to ulike trekanter som passer med opplysningene de har fått.
b) Løs likningen og lag én skisse som viser at Ninas antakelse er riktig.
Sett mål på skissen.
Nina og Edvard vet at andregradslikninger kan ha to løsninger, én løsning eller ingen løsning. Edvard bytter ut $14^2$ med $5^2$. Da har likningen ovenfor ingen løsning.
«Det kunne vi sett om vi hadde laget en skisse», sier Nina. «Jeg lurer på hvilket tall vi måtte erstattet $14^2$ med for å få nøyaktig én løsning.»
c) Ta utgangspunkt i skissen du har laget. Gjør beregninger og bestem lengdene av sidene i det tilfellet der likningen har nøyaktig én løsning.
Bruk eksakte verdier.
---
## H2022 del 2 oppgave 5 — Pendel og potensregresjon med fysikkformel
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Potensfunksjon, Modellering, Formler
- **Kompetansemål:** Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige (KM402); Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar (KM446)
- **Kort beskrivelse:** Lage potensmodell $S(x)=a\cdot x^b$ for svingetid og sammenligne med formelen $T=2\pi\sqrt{L/g}$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pendel-og-potensregresjon-med-fysikkformel/
### Oppgavetekst
Figuren ovenfor viser en pendel. Tiden pendelen bruker på å svinge fra posisjon B til posisjon A og tilbake til posisjon A igjen, kalles svingetiden.
Klasse 1STA har utført et forsøk i naturfag. De har målt svingetiden til pendler med ulike snorlengder.
Tabellen nedenfor viser svingetiden til pendler med åtte ulike snorlengder.
| Snorlengde (meter) | $0{,}1$ | $0{,}3$ | $0{,}5$ | $0{,}8$ | $1{,}0$ | $1{,}3$ | $1{,}6$ | $2{,}0$ |
| ------------------ | ------: | ------: | ------: | ------: | ------: | ------: | ------: | ------: |
| Svingetid (sekund) | $0{,}69$ | $1{,}17$ | $1{,}44$ | $1{,}82$ | $2{,}08$ | $2{,}27$ | $2{,}53$ | $2{,}80$ |
a) Bruk tallene i tabellen, og lag en modell på formen
$$
S(x)=a\cdot x^b
$$
som viser svingetiden $S(x)$ sekunder til en pendel med snorlengde $x$ meter.
Formelen
$$
T=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}
$$
kan brukes for å regne ut svingetiden $T$ til en pendel, når vi ser bort fra friksjon og luftmotstand. $L$ er snorlengden gitt i meter, og $g$ er tyngdens akselerasjon. På jorden er $g=9{,}81 \mathrm{~m/s^2}$.
b) Gjør beregninger og sammenlikn uttrykket du fant for $S(x)$ i oppgave a) med formelen for $T$.
---
## H2022 del 2 oppgave 6 — Største areal i rektangel med omkrets 64
- **Fag:** 1T, 1P
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Andregradsfunksjon, Derivasjon, Argumentasjon
- **Kompetansemål:** Utforske samanhengar mellom andregradslikningar og andregradsulikskapar, andregradsfunksjonar og kvadratsetningane og bruke samanhengane i problemløysing (KM400); Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige (KM402)
- **Kort beskrivelse:** Vise at størst rektangulært areal med omkrets $64\mathrm{~m}$ er et kvadrat — først ved oversikt over rektangler, så ved funksjonsuttrykk og graf.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/storste-areal-i-rektangel-med-omkrets-64/
### Oppgavetekst
Per og Solveig har nok materialer til å lage et gjerde som er $64\mathrm{~m}$ langt.
De skal gjerde inn et område som skal ha form som et rektangel, og de ønsker at området skal få størst mulig areal.
Per påstår at arealet blir størst mulig dersom alle sidekantene er like lange.
a) Vis at Per sin påstand kan være riktig, ved å lage en oversikt som viser arealet av ulike rektangler med omkrets $64\mathrm{~m}$.
Solveig lurer på om de kan tegne en graf som viser at Per har rett. Hun prøver å sette opp et funksjonsuttrykk som hun kan bruke.
b) Sett opp funksjonsuttrykket for Solveig. Tegn grafen, og vis at Per sin påstand er riktig.
---
## H2022 del 2 oppgave 7 — Gardiner som parabler kuttet fra tøyrull
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Andregradsfunksjon, Integrasjon, Areal under graf, Modellering
- **Kompetansemål:** Utforske samanhengar mellom andregradslikningar og andregradsulikskapar, andregradsfunksjonar og kvadratsetningane og bruke samanhengane i problemløysing (KM400); Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige (KM402)
- **Kort beskrivelse:** Modellere parabelformet gardin og bestemme korteste tøystykke for åtte gardiner kuttet vekselvis fra en 140 cm bred rull.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gardiner-som-parabler-kuttet-fra-toyrull/
### Oppgavetekst
En bedrift produserer gardiner. Hvert gardin skal ha form som en parabel. Høyden skal være $70\mathrm{~cm}$. Lengden øverst skal være $150\mathrm{~cm}$. Se figuren nedenfor.
Bedriften vil klippe ut gardinene fra tøyruller som er $140\mathrm{~cm}$ brede. For å bruke så lite tøy som mulig vil en maskin klippe ut gardinene slik figuren nedenfor viser.
Gjør beregninger, og finn ut hvor langt tøystykke bedriften minst må bruke for å lage åtte gardiner.
---
## V2021 oppgave 1 — Stigningstall til ax pluss 8 gjennom punkt
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK20)
- **Del:** Eksamenen var ikke delt — hele eksamen med hjelpemidler
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Stigningstall
- **Kort beskrivelse:** Sette inn punktet $(4, 4)$ i $f(x)=ax+8$ og løse likningen for $a$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/stigningstall-til-ax-pluss-8-gjennom-punkt/
### Oppgavetekst
En funksjon $f$ er gitt ved
$$
f(x)=ax+8
$$
Bestem $a$ slik at grafen til $f$ går gjennom punktet $(4, 4)$.
$a =$
---
## V2021 oppgave 2 — Lengden BC fra sin A og hypotenus
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK20)
- **Del:** Eksamenen var ikke delt — hele eksamen med hjelpemidler
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Rettvinklet trekant
- **Kort beskrivelse:** Bruke $\sin A = \frac{BC}{AC}$ med $AC=10$ og $\sin A=\frac{3}{5}$ til å finne kateten $BC$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lengden-bc-fra-sin-a-og-hypotenus/
### Oppgavetekst
Du får vite følgende om trekanten $ABC$.
- $AC = 10$
- $\sin A = \dfrac{3}{5}$
Bestem lengden av $BC$.
$BC =$
---
## V2021 oppgave 3 — Polynomdivisjon som går opp bestem k
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK20)
- **Del:** Eksamenen var ikke delt — hele eksamen med hjelpemidler
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Polynomdivisjon, Faktorisering
- **Kort beskrivelse:** Finne et nullpunkt til $x^3+x^2-2x-8$ ved prøving, slik at $(x+k)$ blir en faktor.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/polynomdivisjon-som-gar-opp-bestem-k/
### Oppgavetekst
$$
\left(x^3+x^2-2x-8\right):(x+k)
$$
Bestem en verdi for $k$ slik at divisjonen går opp.
$k =$
---
## V2021 oppgave 4 — Andregradslikning med én løsning bestem k
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK20)
- **Del:** Eksamenen var ikke delt — hele eksamen med hjelpemidler
- **Oppgavenummer:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Andregradslikninger, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Sette diskriminanten til $x^2+2kx-2k-1=0$ lik null og løse for parameteren $k$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/andregradslikning-med-en-losning-bestem-k/
### Oppgavetekst
$$
x^2+2kx-2k-1=0
$$
Bestem $k$ slik at likningen har én løsning.
$k =$
---
## V2021 oppgave 5 — Lik pris hos firma A og firma B for bilutleie
- **Fag:** 1P, 1T
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK20)
- **Del:** Eksamenen var ikke delt — hele eksamen med hjelpemidler
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Graf, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Avlese skjæringspunktet mellom konstant graf $A=1200$ og lineær graf for firma B i koordinatsystemet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lik-pris-hos-firma-a-og-firma-b-for-bilutleie/
### Oppgavetekst
Ester skal leie bil. Hun kan velge å leie hos firma A eller hos firma B.
Modellene i diagrammet viser hvor mye hun må betale når hun kjører $x$ kilometer i løpet av et døgn.
Hvor langt må Ester kjøre i løpet av et døgn for at prisen skal være lik hos firma A og firma B? km
---
## V2021 oppgave 6 — Sammenlikne brøkene m over n og m pluss 2 over n pluss 2
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK20)
- **Del:** Eksamenen var ikke delt — hele eksamen med hjelpemidler
- **Oppgavenummer:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Brøk, Ulikheter, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Sammenlikne $\frac{m}{n}$ og $\frac{m+2}{n+2}$ for $n>m$, for eksempel ved å sette på felles nevner.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sammenlikne-brokene-m-over-n-og-m-pluss-2-over-n-pluss-2/
### Oppgavetekst
Gitt to brøker, $\dfrac{m}{n}$ og $\dfrac{m+2}{n+2}$, der $m, n \in \mathbb{N}$ og $n > m$.
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> Hvilken påstand er riktig?
> - [ ] $\dfrac{m}{n} = \dfrac{m+2}{n+2}$
> - [x] $\dfrac{m}{n} < \dfrac{m+2}{n+2}$
> - [ ] $\dfrac{m}{n} > \dfrac{m+2}{n+2}$
> - [ ] Hvilken brøk som har størst verdi, avhenger av verdien til $m$ og $n$.
---
## V2021 oppgave 7 — Toppunkt i x lik 2 gir koeffisienten a
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK20)
- **Del:** Eksamenen var ikke delt — hele eksamen med hjelpemidler
- **Oppgavenummer:** 7
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Andregradsfunksjon, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Bruke at den deriverte er null i toppunktet $x=2$ til å bestemme $a$ i $f(x)=-5x^2+ax+1$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/toppunkt-i-x-lik-2-gir-koeffisienten-a/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x)=-5x^2+ax+1$.
Grafen til $f$ har et toppunkt i $\left(2, f(2)\right)$.
Bestem $a$.
$a =$
---
## V2021 oppgave 8 — Identitet med fullstendig kvadrat bestem r s og t
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK20)
- **Del:** Eksamenen var ikke delt — hele eksamen med hjelpemidler
- **Oppgavenummer:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kvadratsetninger, Identiteter, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Utvide $(sx+t)^2$ med første kvadratsetning og sammenlikne koeffisientene med $4x^2+16x+r$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/identitet-med-fullstendig-kvadrat-bestem-r-s-og-t/
### Oppgavetekst
$$
4x^2+16x+r=(sx+t)^2
$$
Bestem $r$, $s$ og $t$ slik at sammenhengen blir en identitet.
$r =$
$s =$
$t =$
---
## V2021 oppgave 10 — Eksponentialmodell for avkjøling av blåbærgelé
- **Fag:** 1P, 1T
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK20)
- **Del:** Eksamenen var ikke delt — hele eksamen med hjelpemidler
- **Oppgavenummer:** 10
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Regresjon, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Bestemme $a$ og $b$ i $T(x)=a\cdot b^x$ ved regresjon fra tabell, og vurdere gyldighetsområdet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksponentialmodell-for-avkjoling-av-blabaergele/
### Oppgavetekst
En skål med blåbærgelé ble satt til avkjøling i et rom der temperaturen var $20 \, \degree\mathrm{C}$.
Tabellen viser temperaturen i blåbærgeleen $x$ minutter etter at geleen ble satt til avkjøling.
| Tid (minutter) | $4$ | $8$ | $16$ | $20$ | $40$ | $60$ | $75$ | $90$ |
| :---------------- | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| Temperatur ($\degree$C) | $90{,}6$ | $86{,}5$ | $78{,}9$ | $75{,}4$ | $61{,}0$ | $50{,}3$ | $44{,}1$ | $39{,}2$ |
a) Lag en modell $T$ på formen $T(x)=a\cdot b^x$ som viser temperaturen i geleen $x$ minutter etter at den ble satt til avkjøling.
b) Hvilket gyldighetsområde vil du si modellen kan ha?
---
## V2021 oppgave 10 — Løse andregradsulikhet med skisse av parabel
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK20)
- **Del:** Eksamenen var ikke delt — hele eksamen med hjelpemidler
- **Oppgavenummer:** 10
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Andregradsulikhet, Ulikheter, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Skrive ulikheten som $x^2-x-6>0$ og bruke nullpunktene $-2$ og $3$ i skissen til å lese av løsningen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lose-andregradsulikhet-med-skisse-av-parabel/
### Oppgavetekst
Vis og gjør rede for hvordan du kan bruke skissen til å løse ulikheten
$$
x^2-x>6
$$
---
## V2021 oppgave 12 — Kaniner som avtar lineært og eksponentielt
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK20)
- **Del:** Eksamenen var ikke delt — hele eksamen med hjelpemidler
- **Oppgavenummer:** 12
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Modellering, Lineære funksjoner, Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Sette opp en lineær og en eksponentiell modell for nedgang fra 280 til 40 kaniner på 20 måneder.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kaniner-som-avtar-lineaert-og-eksponentielt/
### Oppgavetekst
I dag er det $280$ kaniner innenfor et avgrenset område.
Anta at en sykdom brer seg blant kaninene, og at det om $20$ måneder bare vil være $40$ kaniner igjen i området.
a) Lag en modell som viser hvor mange kaniner det vil være i området om $x$ måneder dersom antallet avtar lineært.
b) Lag en modell som viser hvor mange kaniner det vil være i området dersom antallet avtar eksponentielt.
---
## V2021 oppgave 12 — Lage figurer av fyrstikker etter mønster
- **Fag:** 1P, 1T
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK20)
- **Del:** Eksamenen var ikke delt — hele eksamen med hjelpemidler
- **Oppgavenummer:** 12
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Mønstre, Tallfølger, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Sette opp formel for antall fyrstikker per figur og beregne hvor mange figurer 10 000 fyrstikker rekker til.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lage-figurer-av-fyrstikker-etter-monster/
### Oppgavetekst
De tre figurene er laget av fyrstikker.
Figur $1$ består av ett lite kvadrat, figur $2$ består av fire små kvadrater, og figur $3$ består av ni små kvadrater.
Tenk deg at du har $10 \, 000$ fyrstikker.
Du skal lage de tre figurene, og så fortsette å lage figurer etter samme mønster, én i hver størrelse.
a) Hvor mange figurer kan du lage?
b) Hvor mange fyrstikker vil du ha igjen når du har laget den siste figuren?
---
## V2021 oppgave 13 — Tangenter parallelle med linje og skjæring med x-aksen
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK20)
- **Del:** Eksamenen var ikke delt — hele eksamen med hjelpemidler
- **Oppgavenummer:** 13
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Tangent, Eksakte verdier
- **Kort beskrivelse:** Løse $f'(x)=\frac{1}{2}$ for $f(x)=x^3-x-1$, sette opp de to tangentene og finne nullpunktene deres eksakt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tangenter-parallelle-med-linje-og-skjaering-med-x-aksen/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x)=x^3-x-1
$$
Grafen til $f$ har to tangenter som er parallelle med linjen $y=\dfrac{1}{2}x+2$.
Bestem skjæringspunktet med $x$-aksen for hver av disse tangentene eksakt.
---
## V2021 oppgave 14 — Nullpunkter til polynomer med omvendt koeffisientrekkefølge
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK20)
- **Del:** Eksamenen var ikke delt — hele eksamen med hjelpemidler
- **Oppgavenummer:** 14
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Nullpunkter, Andregradslikninger, Bevis, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Finne og bevise at polynomer med omvendt rekkefølge på koeffisientene har inverse nullpunkter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/nullpunkter-til-polynomer-med-omvendt-koeffisientrekkefolge/
### Oppgavetekst
La $f$ og $g$ være to polynomer som har «omvendt rekkefølge» på koeffisientene.
For eksempel kan $f$ og $g$ være gitt ved
$$
f(x)=x^2-5x+6 \quad \text{og} \quad g(x)=6x^2-5x+1
$$
Det er en sammenheng mellom nullpunktene til slike polynomer.
a) Finn denne sammenhengen.
b) Bevis at sammenhengen gjelder for alle slike polynomer.
---
## V2021 oppgave 15 — Heltallige skjæringspunkter mellom ax og b delt på x
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK20)
- **Del:** Eksamenen var ikke delt — hele eksamen med hjelpemidler
- **Oppgavenummer:** 15
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Rasjonale funksjoner, Utforskning, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Løse $ax=\frac{b}{x}$ og systematisere hvilke $a, b \in \mathbb{N}$ som gir skjæringspunkt med positive heltallige koordinater.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/heltallige-skjaeringspunkter-mellom-ax-og-b-delt-pa-x/
### Oppgavetekst
Du skal utforske koordinatene til skjæringspunktene mellom funksjonene $f$ og $g$, gitt ved
$$
f(x)=ax \quad \text{og} \quad g(x)=\frac{b}{x}
$$
Koordinatene til skjæringspunktene skal være positive hele tall, for eksempel $(1, 1)$ og $(3, 9)$.
Utforsk hvilke verdier av $a, b \in \mathbb{N}$ som gir et skjæringspunkt der begge koordinatene er positive hele tall.
Begynn gjerne med å velge $a=1$. Ta deretter for deg $a=2$, $a=3$ osv.
---
## V2021 oppgave 16 — Trekanter fra cosinussetningen med ukjent side a
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK20)
- **Del:** Eksamenen var ikke delt — hele eksamen med hjelpemidler
- **Oppgavenummer:** 16
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Cosinussetningen, Trigonometri, Utforskning
- **Kort beskrivelse:** Tolke $a^2=8^2+x^2-8x$ som cosinussetningen med vinkel $60\degree$ og undersøke hvor mange trekanter som finnes for ulike $a$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trekanter-fra-cosinussetningen-med-ukjent-side-a/
### Oppgavetekst
Siri har brukt cosinussetningen og fått likningen
$$
a^2=8^2+x^2-8x
$$
Undersøk hvordan trekanter som tilfredsstiller denne likningen, kan se ut for ulike verdier av $a$.
---
## H2021 del 1 oppgave 1 — Parallell linje gjennom gitt punkt
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Geometri
- **Kompetansemål:** Identifisere variable storleikar i ulike situasjonar, setje opp formlar og utforske desse ved hjelp av digitale verktøy (KM397)
- **Kort beskrivelse:** Bestemme likningen for linje parallell med $y=-2x+9$ gjennom $(5,-6)$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/parallell-linje-gjennom-gitt-punkt/
### Oppgavetekst
Likningen for en linje $l$ er gitt ved $y=-2x+9$.
En annen linje $m$ er parallell med linjen $l$ og går gjennom punktet $(5,-6)$.
Bestem likningen for linjen $m$.
---
## H2021 del 1 oppgave 2 — AC i rettvinklet trekant med cos A og sin C
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Rettvinklet trekant, Eksakte verdier
- **Kompetansemål:** Gjere greie for definisjonane av sinus, cosinus og tangens og bruke trigonometri til å berekne lengder, vinklar og areal i vilkårlege trekantar (KM394)
- **Kort beskrivelse:** Bestemme $AC$ i en rettvinklet trekant der $\cos\angle A=1/2$, $\sin\angle C=1/2$ og $AB=4$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ac-i-rettvinklet-trekant-med-cos-a-og-sin-c/
### Oppgavetekst
Om en rettvinklet trekant $ABC$ får du vite at
- $\cos\angle A=\frac{1}{2}$
- $\sin\angle C=\frac{1}{2}$
- $AB=4$
Bestem $AC$.
---
## H2021 del 1 oppgave 3 — Tredjegradslikning ved gjetting og polynomdivisjon
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likninger, Polynomdivisjon, Faktorisering
- **Kompetansemål:** Forklare polynomdivisjon og bruke det til å omskrive algebraiske uttrykk, drøfte funksjonar og løyse likningar og ulikskapar (KM398)
- **Kort beskrivelse:** Løse $x^3+2x^2-7x+4=0$ ved gjette ett nullpunkt og polynomdividere ned til andregradslikning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tredjegradslikning-ved-gjetting-og-polynomdivisjon/
### Oppgavetekst
Løs likningen
$$
x^3+2x^2-7x+4=0
$$
---
## H2021 del 1 oppgave 4 — Vis at likningssystem ikke har løsning
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Andregradslikninger, Argumentasjon
- **Kompetansemål:** Lese og forstå matematiske bevis og utforske og utvikle bevis i relevante matematiske emne (KM395); Utforske strategiar for å løyse likningar, likningssystem og ulikskapar og argumentere for tenkjemåtane sine (KM404)
- **Kort beskrivelse:** Vise at likningssystemet $\{x^2+2x-y=-1;\ x+y=-2\}$ ikke har løsning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vis-at-likningssystem-ikke-har-losning/
### Oppgavetekst
Vis at likningssystemet ikke har løsning.
$$
\begin{cases}x^2+2x-y=-1 & \\x+y=-2\end{cases}
$$
---
## H2021 del 1 oppgave 5 — Skisser den deriverte til tredjegradsfunksjon
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Tredjegradsfunksjon, Grafisk framstilling
- **Kompetansemål:** Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte (KM401)
- **Kort beskrivelse:** Skissere $f'$ ut fra bunnpunkt $(-2,-11)$, toppunkt $(4,25)$ og tangent med stigning 9 i $(1,7)$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/skisser-den-deriverte-til-tredjegradsfunksjon/
### Oppgavetekst
Ovenfor ser du grafen til en tredjegradsfunksjon $f$. Grafen har bunnpunkt $(-2,-11)$ og toppunkt $(4,25)$. Likningen for tangenten til grafen i punktet $(1,7)$ er $y=9x-2$.
Skisser grafen til den deriverte funksjonen, $f'$.
---
## H2021 del 2 oppgave 1 — Skisalg med tredjegradsmodell
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Tredjegradsfunksjon, Modellering, Derivasjon, Momentan vekstfart
- **Kompetansemål:** Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte (KM401); Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige (KM402)
- **Kort beskrivelse:** Bestemme antall uker med salg over 5000 par ski og momentan vekstfart i uke 30 for $S(x)=0{,}75x^3-59{,}5x^2+1200x$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/skisalg-med-tredjegradsmodell/
### Oppgavetekst
En nettbutikk vil starte salg av en ny type ski 1. november 2022.
Anta at funksjonen $S$ gitt ved
$$
S(x)=0{,}75x^3-59{,}5x^2+1200x,\quad x\in[0,52]
$$
kan brukes som en modell for hvor mange par ski $S(x)$ butikken vil kunne selge per uke $x$ etter salgsstart.
a) Hvor mange uker vil butikken kunne selge mer enn 5 000 par ski, ifølge modellen?
b) Bestem den momentane vekstfarten til funksjonen $S$ når $x=30$.
Gi en praktisk tolkning av svaret.
---
## H2021 del 2 oppgave 2 — Dyrebestand lineær og eksponentiell modell
- **Fag:** 1T, 1P
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Eksponentialfunksjon, Modellering
- **Kompetansemål:** Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige (KM402)
- **Kort beskrivelse:** Sammenligne lineær $L(x)$ og eksponentiell $E(x)$ vekst for dyrebestand, og tolke toppunkt og skjæringer på differansegrafen $F=L-E$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/dyrebestand-lineaer-og-eksponentiell-modell/
### Oppgavetekst
En dyrebestand består i dag av 500 dyr. En forsker antar at bestanden vil doble seg i løpet av de ti neste årene.
a) Sett opp en modell $L(x)$ som viser hvor mange dyr det vil være i bestanden om $x$ år, dersom vi antar at bestanden øker lineært.
b) Sett opp en modell $E(x)$ som viser hvor mange dyr det vil være i bestanden om $x$ år, dersom vi antar at bestanden øker eksponentielt.
c) Tegn grafen til funksjonen $F$ gitt ved
$$
F(x)=L(x)-E(x),\quad 0\le x\le 13
$$
d) Bestem toppunktet på grafen til $F$ og skjæringspunktene mellom grafen til $F$ og hver av de rette linjene $x=12$ og $y=12$.
Gi en praktisk tolkning av svarene du får.
---
## H2021 del 2 oppgave 3 — Likningssystem uten løsning bestem s
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Lineære funksjoner, Geometri
- **Kompetansemål:** Utforske strategiar for å løyse likningar, likningssystem og ulikskapar og argumentere for tenkjemåtane sine (KM404)
- **Kort beskrivelse:** Bestemme verdien av $s$ slik at $\{4x+2y=3;\ sx+y=2\}$ ikke har løsning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/likningssystem-uten-losning-bestem-s/
### Oppgavetekst
$$
\begin{cases}4x+2y=3 & \\s\cdot x+y=2\end{cases}
$$
Hvilken verdi må $s$ ha for at likningssystemet ikke skal ha løsning?
---
## H2021 del 2 oppgave 4 — Monica og Sissel aldersoppgave
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Modellering
- **Kompetansemål:** Utforske strategiar for å løyse likningar, likningssystem og ulikskapar og argumentere for tenkjemåtane sine (KM404)
- **Kort beskrivelse:** Finne Monicas og Sissels alder fra opplysninger om aldersforskjell og forhold om fem år.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/monica-og-sissel-aldersoppgave/
### Oppgavetekst
I dag er Monica 72 år yngre enn Sissel.
Om fem år vil Sissel være fire ganger så gammel som Monica.
Hvor mange år er Monica og Sissel i dag?
---
## H2021 del 2 oppgave 5 — Firkant ABCD med BD lik rot tre ganger a
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Cosinussetningen, Arealsetningen, Eksakte verdier
- **Kompetansemål:** Gjere greie for definisjonane av sinus, cosinus og tangens og bruke trigonometri til å berekne lengder, vinklar og areal i vilkårlege trekantar (KM394); Bruke trigonometri til å analysere og løyse samansette teoretiske og praktiske problem med lengder, vinklar og areal (KM409)
- **Kort beskrivelse:** Vise $BD=\sqrt 3\cdot a$ med cosinussetningen, finne eksakt omkrets og bestemme $a$ slik at firkantens areal er $\sqrt 3$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/firkant-abcd-med-bd-lik-rot-tre-ganger-a/
### Oppgavetekst
Gitt firkanten $ABCD$.
a) Vis at $BD=\sqrt{3}\cdot a$.
b) Bestem et eksakt uttrykk for omkretsen av firkanten.
c) Bestem $a$ slik at arealet av firkanten blir lik $\sqrt{3}$.
---
## H2021 del 2 oppgave 6 — Tangent til 1 delt på x og arealet av OAB
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Rasjonale funksjoner, Tangent, Areal og omkrets
- **Kompetansemål:** Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte (KM401); Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar (KM446)
- **Kort beskrivelse:** Vise at tangenten til $f(x)=1/x$ i $(s,f(s))$ er $y=-x/s^2+2/s$ og bestemme arealet av $\triangle OAB$ uavhengig av $s$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tangent-til-1-delt-pa-x-og-arealet-av-oab/
### Oppgavetekst
Skissen ovenfor viser grafen til funksjonen $f$ gitt ved $f(x)=\dfrac{1}{x}$ og tangenten til grafen i punktet $(s,f(s))$.
a) Vis at likningen for tangenten er
$$
y=-\dfrac{1}{s^2}\cdot x+\dfrac{2}{s}
$$
Tangenten skjærer koordinataksene i punktene $A$ og $B$.
b) Bestem koordinatene til $A$ og $B$ uttrykt ved $s$.
c) Bestem arealet av $\triangle=OAB$.
---
## H2021 del 2 oppgave 7 — Stabling av erteboksbokser i to mønstre
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Rekker, Aritmetisk rekke, Modellering
- **Kompetansemål:** Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige (KM402)
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og bruke summodeller for to ulike bokstabler (pyramide og kubeforma) for å finne antall etasjer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/stabling-av-erteboksbokser-i-to-monstre/
### Oppgavetekst
Marius og Maria arbeider i en dagligvarebutikk. De skal stable bokser med erter.
Marius stabler boksene som vist i figur 1. I figur 1 har han laget et tårn med fire etasjer.
a) Hvor mange bokser trenger Marius for å lage et tårn med 20 etasjer dersom han stabler boksene på denne måten?
Marius har 400 bokser.
b) Hvor mange etasjer vil det være i det største tårnet han kan lage?
Maria vil stable boksene som vist i figur 2. I figur 2 har hun laget et tårn med tre etasjer.
c) Hvor mange bokser trenger Maria for å lage et tårn med 20 etasjer dersom hun stabler boksene på denne måten?
Maria har 4 000 bokser.
d) Hvor mange etasjer vil det være i det største tårnet hun kan lage?
---
## H2021 del 2 oppgave 8 — Største rektangel i likebeint rettvinklet trekant
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 12
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Andregradsfunksjon, Derivasjon, Argumentasjon, Modellering
- **Kompetansemål:** Lese og forstå matematiske bevis og utforske og utvikle bevis i relevante matematiske emne (KM395); Utforske samanhengar mellom andregradslikningar og andregradsulikskapar, andregradsfunksjonar og kvadratsetningane og bruke samanhengane i problemløysing (KM400); Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige (KM402)
- **Kort beskrivelse:** Drøfte strategier, undersøke arealet av innskrevet rektangel for $a=2,3,4$ og bevise generelt at maksimalt areal er $a^2/2$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/storste-rektangel-i-likebeint-rettvinklet-trekant/
### Oppgavetekst
Klassen til Andreas og Markus arbeider med oppgaven nedenfor.
Et rektangel er innskrevet i en likebeint, rettvinklet trekant $ABC$ som på figuren.
Hypotenusen $AB$ i trekanten $ABC$ har lengde $2a$.
Undersøk hvor stort areal rektangelet kan få.
Andreas og Markus diskuterer hvordan de skal komme i gang og vurderer ulike strategier.
> Andreas og Markus
> Skal vi først sette $a=2$ og tegne trekanten?
> Vinkel $A$ og vinkel $B$ er jo $45\degree$, så det klarer vi.
> Kan vi bruke datamaskinen til dette?
>
> Ja, og så tegner vi ulike rektangler som er innskrevet i trekanten og finner arealene av disse.
>
> Etterpå kan vi tegne trekanten når $a=3$.
>
> Vi må være litt systematiske. Her er en tabell vi kan bruke som utgangspunkt. Kanskje vi ser et mønster, en sammenheng mellom verdien av $a$ og det største arealet rektangelet kan få?
| Lengde rektangel | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|-------------------------------|----:|----:|----:|----:|----:|----:|----:|
| Areal rektangel når $a=2$ | | | | | | | |
| Areal rektangel når $a=3$ | | | | | | | |
| Areal rektangel når $a=4$ | | | | | | | |
> Andreas og Markus
> Etterpå må vi prøve å bevise at sammenhengen vi kommer fram til, gjelder generelt, altså for alle verdier av $a$.
>
> Trine og Nora sier de har funnet ut at den rette linja gjennom $B$ og $C$ er gitt ved $y=-x+a$. Kan det stemme?
>
> Arealet av rektangelet er jo lengde $\cdot$ bredde. Vil det da bli $2x\cdot y$?
Ta utgangspunkt i og kommenter det Andreas og Markus har funnet ut og løs oppgaven klassen har fått.
---
## E2021-1 oppgave 1 — Momentan vekstfart for 4x i andre pluss 3x pluss 8
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 1 — 2021 (LK20)
- **Del:** Eksamenen var ikke delt — hele eksamen med hjelpemidler
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Momentan vekstfart, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Derivere $f(x)=4x^2+3x+8$ og regne ut $f'(2)$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/momentan-vekstfart-for-4x-i-andre-pluss-3x-pluss-8/
### Oppgavetekst
Bestem den momentane vekstfarten til funksjonen $f$ gitt ved
$$
f(x) = 4x^2 + 3x + 8
$$
når $x = 2$.
Svar:
---
## E2021-1 oppgave 2 — Kan sinus til en vinkel være lik 2
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 1 — 2021 (LK20)
- **Del:** Eksamenen var ikke delt — hele eksamen med hjelpemidler
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Enhetssirkel
- **Kort beskrivelse:** Bruke at $-1 \le \sin v \le 1$ til å avgjøre at $\sin v = 2$ er umulig.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kan-sinus-til-en-vinkel-vaere-lik-2/
### Oppgavetekst
Kari skal bestemme hvor stor en vinkel $v$ er.
Hun har regnet ut at $\sin v$ er lik $2$.
Kan hun ha regnet riktig?
> **Flervalgsoppgave — velg riktig alternativ**
> - [ ] Ja
> - [x] Nei
> - [ ] Det kommer an på hvor stor vinkelen er
---
## E2021-1 oppgave 3 — Vinkler fra punkt på enhetssirkelen med lik cosinus
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 1 — 2021 (LK20)
- **Del:** Eksamenen var ikke delt — hele eksamen med hjelpemidler
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Enhetssirkel, Trigonometri
- **Kort beskrivelse:** Bestemme $u$ fra punktet $P(0{,}692,\ 0{,}722)$ på enhetssirkelen, og finne $v \in [180\degree, 360\degree]$ med $\cos v = \cos u$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vinkler-fra-punkt-pa-enhetssirkelen-med-lik-cosinus/
### Oppgavetekst
Hvor stor er $\angle u$?
$\angle u =$ $\degree$
$v \in [180\degree, 360\degree]$
$\cos v = \cos u$
Hvor stor er $\angle v$?
$\angle v =$ $\degree$
---
## E2021-1 oppgave 4 — Skjæringspunkt mellom ax pluss 4 og minus ax minus 4
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 1 — 2021 (LK20)
- **Del:** Eksamenen var ikke delt — hele eksamen med hjelpemidler
- **Oppgavenummer:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Likninger, Parametere
- **Kort beskrivelse:** Løse $ax + 4 = -ax - 4$ for å finne skjæringspunktet mellom to linjer med parameter $a \neq 0$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/skjaeringspunkt-mellom-ax-pluss-4-og-minus-ax-minus-4/
### Oppgavetekst
Funksjonene $f$ og $g$ er gitt ved $f(x) = ax + 4$ og $g(x) = -ax - 4$, der $a \neq 0$.
Bestem koordinatene til skjæringspunktet mellom grafen til $f$ og grafen til $g$.
$x =$
$y =$
---
## E2021-1 oppgave 5 — Fullstendig kvadrat for x i andre pluss 8x bestem r og s
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 1 — 2021 (LK20)
- **Del:** Eksamenen var ikke delt — hele eksamen med hjelpemidler
- **Oppgavenummer:** 5
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Fullstendig kvadrat, Identiteter, Kvadratsetninger
- **Kort beskrivelse:** Utvide $(x+s)^2$ med første kvadratsetning og sammenlikne koeffisienter med $x^2 + 8x + r$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fullstendig-kvadrat-for-x-i-andre-pluss-8x-bestem-r-og-s/
### Oppgavetekst
$$
x^2 + 8x + r = (x + s)^2
$$
Bestem $r$ og $s$ slik at sammenhengen blir en identitet.
$r =$ og $s =$
---
## E2021-1 oppgave 6 — Bestem k for timelønn 480 kroner som bokselger
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 1 — 2021 (LK20)
- **Del:** Eksamenen var ikke delt — hele eksamen med hjelpemidler
- **Oppgavenummer:** 6
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Stigningstall
- **Kort beskrivelse:** Bruke stigningstallet 15 kr per bok og punktet $(10, 300)$ til å finne $k$ der timelønnen er 480 kroner.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bestem-k-for-timelonn-480-kroner-som-bokselger/
### Oppgavetekst
Sarah har deltidsjobb som bokselger.
Modellen viser timelønnen hennes når hun selger $x$ bøker i løpet av en time.
Sarah tjener $15$ kroner for hver bok hun selger.
Bestem $k$.
$k =$
---
## E2021-1 oppgave 8 — To kvadrater med omkrets 16 og minst mulig areal
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 1 — 2021 (LK20)
- **Del:** Eksamenen var ikke delt — hele eksamen med hjelpemidler
- **Oppgavenummer:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Andregradsfunksjon, Areal og omkrets
- **Kort beskrivelse:** Uttrykke arealet $x^2 + (4-x)^2$ med én variabel ut fra omkretsen og finne bunnpunktet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/to-kvadrater-med-omkrets-16-og-minst-mulig-areal/
### Oppgavetekst
Figuren ovenfor er satt sammen av to kvadrater. Omkretsen av figuren er $16$.
Hvor lange må sidene i hvert kvadrat være for at arealet av figuren skal bli minst mulig?
---
## E2021-1 oppgave 9 — Vurdere Dannys løsning av tredjegradsulikhet
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 1 — 2021 (LK20)
- **Del:** Eksamenen var ikke delt — hele eksamen med hjelpemidler
- **Oppgavenummer:** 9
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Ulikheter, Faktorisering, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Oppdage at Danny har delt på $x$ uten å ta hensyn til fortegnet, og løse $x^3 > 3x^2 - 2x$ riktig med fortegnslinje.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vurdere-dannys-losning-av-tredjegradsulikhet/
### Oppgavetekst
Danny har løst ulikheten $x^3 > 3x^2 - 2x$
Han løste oppgaven slik:
> Danny
> $$
> \begin{aligned}
> x^3 &> 3x^2 - 2x \\
> x \cdot x^2 &> x(3x - 2) \\
> x^2 &> 3x - 2 \\
> x^2 - 3x + 2 &> 0 \\
> (x - 1)(x - 2) &> 0
> \end{aligned}
> $$
>
> Løsning: $x \in \langle \leftarrow, 1 \rangle \cup \langle 2, \rightarrow \rangle$
Vurder løsningen.
---
## E2021-1 oppgave 10 — Algoritme og program for kvadrater i de 100 første figurene
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 1 — 2021 (LK20)
- **Del:** Eksamenen var ikke delt — hele eksamen med hjelpemidler
- **Oppgavenummer:** 10
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Figurtall, Mønstre, Programmering
- **Kort beskrivelse:** Finne et uttrykk for antall kvadrater i figur $n$, beskrive en algoritme som summerer de 100 første figurene, og programmere den.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/algoritme-og-program-for-kvadrater-i-de-100-forste-figurene/
### Oppgavetekst
Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små kvadrater.
Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster.
a) Lag en algoritme som du kan bruke til å bestemme hvor mange små kvadrater du totalt trenger for å lage de $100$ første figurene.
b) Bruk et programmeringsspråk, og lag et program med utgangspunkt i algoritmen. Programmet skal beregne og skrive ut hvor mange kvadrater du trenger.
---
## E2021-1 oppgave 11 — Sammenheng mellom x-koordinater på parabel og skjæring med y-aksen
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 1 — 2021 (LK20)
- **Del:** Eksamenen var ikke delt — hele eksamen med hjelpemidler
- **Oppgavenummer:** 11
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Andregradsfunksjon, Lineære funksjoner, Bevis, Utforskning
- **Kort beskrivelse:** Finne at $y$-koordinaten til $S$ er $-x_A x_B$, og bevise det med stigningstallet $x_A + x_B$ til linja gjennom $A$ og $B$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sammenheng-mellom-x-koordinater-pa-parabel-og-skjaering-med-y-aksen/
### Oppgavetekst
Plasser to punkter $A$ og $B$ på parabelen gitt ved $f(x) = x^2$ og trekk en linje gjennom dem.
a) Finn en sammenheng mellom $x$-koordinatene til punktene $A$ og $B$ og $y$-koordinaten til skjæringspunktet $S$ mellom linjen og $y$-aksen.
b) Vis at sammenhengen gjelder for alle par av punkter $A$ og $B$ på parabelen.
---
## E2021-1 oppgave 11 — Tolke plantemodell og gyldighetsområde
- **Fag:** 1P, 1T
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 1 — 2021 (LK20)
- **Del:** Eksamenen var ikke delt — hele eksamen med hjelpemidler
- **Oppgavenummer:** 11
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Polynomfunksjoner, Modellering, Gyldighetsområde
- **Kort beskrivelse:** Vurdere $h(x)=-0{,}0005x^3+0{,}04x^2$ for å avgjøre om planten først vokser og deretter avtar, og bestemme gyldig $x$-område.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tolke-plantemodell-og-gyldighetsomrade/
### Oppgavetekst
Funksjonen $h$ gitt ved
$$
h(x) = -0{,}0005x^3 + 0{,}04x^2
$$
er en modell som viser høyden $h(x)$ cm til en plante, $x$ dager etter at planten begynte å spire.
a) Hva viser modellen om plantens vekst?
b) Hvilket gyldighetsområde vil du si modellen kan ha?
---
## E2021-1 oppgave 12 — Fortegnslinjer for f og f-derivert ut fra graf med to bunnpunkter
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 1 — 2021 (LK20)
- **Del:** Eksamenen var ikke delt — hele eksamen med hjelpemidler
- **Oppgavenummer:** 12
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Fortegnslinje, Derivasjon, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Lese nullpunkter og ekstremalpunkter fra grafen og tegne fortegnslinjer for $f$ og $f'$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fortegnslinjer-for-f-og-f-derivert-ut-fra-graf-med-to-bunnpunkter/
### Oppgavetekst
Figuren viser grafen til en funksjon $f$.
Nullpunktene til $f$ er $x = -4$, $x = 0$ og $x = 4$, og bunnpunktene har koordinater $(-2\sqrt{2}, -64)$ og $(2\sqrt{2}, -64)$.
Tegn en fortegnslinje for $f$ og en fortegnslinje for $f'$.
---
## E2021-1 oppgave 13 — Heltallige skjæringspunkter mellom ax i andre og roten av bx
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 1 — 2021 (LK20)
- **Del:** Eksamenen var ikke delt — hele eksamen med hjelpemidler
- **Oppgavenummer:** 13
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Utforskning, Likninger, Kvadratrøtter
- **Kort beskrivelse:** Løse $ax^2 = \sqrt{bx}$ og systematisere hvilke $a, b \in \mathbb{N}$ som gir skjæringspunkt med heltallige koordinater.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/heltallige-skjaeringspunkter-mellom-ax-i-andre-og-roten-av-bx/
### Oppgavetekst
I denne oppgaven skal du arbeide med skjæringspunkter mellom grafene til funksjonene $f$ og $g$ gitt ved
$$
f(x) = ax^2 \quad \text{og} \quad g(x) = \sqrt{bx}
$$
For eksempel vil $a = 2$ og $b = 32$ gi skjæringspunktet $(2, 8)$.
Utforsk hvilke verdier av $a, b \in \mathbb{N}$ som gir et skjæringspunkt der begge koordinatene er hele tall.
Start gjerne med å velge $a = 1$. Ta deretter for deg $a = 2$, $a = 3$ osv.
---
## E2021-1 oppgave 14 — Vurdere skistavmetoden for helningsvinkel med trigonometri
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 1 — 2021 (LK20)
- **Del:** Eksamenen var ikke delt — hele eksamen med hjelpemidler
- **Oppgavenummer:** 14
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Modellering, Rettvinklet trekant
- **Kort beskrivelse:** Modellere skistavmetoden med rettvinklede trekanter og vurdere om 30° + 3° per 10 cm gir riktig helningsvinkel.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vurdere-skistavmetoden-for-helningsvinkel-med-trigonometri/
### Oppgavetekst
Visste du at du kan bruke skistavene dine for å finne ut hvor bratt terrenget er der du befinner deg?
På nettstedet www.varsom.no beskriver Snøskredskolen en metode for å beregne helningsvinkelen.
1. Legg den ene staven ned i fallretningen slik at den lager et tydelig avtrykk i snøen.
2. Reis opp staven, og sett spissen ned i snøen i øvre kant av avtrykket.
3. Ta den andre staven. Hold stavene mot hverandre som på det andre bildet. La den nederste staven pendle fritt slik at den blir hengende loddrett.
4. Senk så stavene til den loddrette staven berører snøen. Merk deg hvor denne staven treffer avtrykket.
- Dersom staven treffer akkurat nederst i avtrykket, har terrenget en helning på $30\degree$.
- Dersom staven treffer utenfor (nedenfor) avtrykket, er terrenget brattere enn $30\degree$.
- Dersom staven treffer avtrykket, er terrenget slakere enn $30\degree$.
- For hver $10 \mathrm{~cm}$ kan du legge til eller trekke fra $3\degree$.
Hvis den loddrette staven treffer $10 \mathrm{~cm}$ nedenfor avtrykket er det altså en helning på $30\degree + 3\degree = 33\degree$.
Treffer den $20 \mathrm{~cm}$ inn i avtrykket er det en helning på $30\degree - 6\degree = 24\degree$.
Bruk trigonometri, gjør nødvendige forutsetninger og beregninger, og vurder denne metoden.
---
## E2021-2 del 1 oppgave 1 — Temperatur ved Lindesnes fyr og stigningstall
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2 — 2021 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Funksjoner, Stigningstall, Gjennomsnittlig vekstfart
- **Kort beskrivelse:** Regne ut stigningstallet til en sekant gjennom to punkter og tolke det praktisk.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/temperatur-ved-lindesnes-fyr-og-stigningstall/
### Oppgavetekst
Grafen ovenfor viser temperaturen ved Lindesnes fyr $x$ timer etter midnatt et døgn i januar.
a) Vis hvordan du kan regne ut stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(4, 4{,}7)$ og $(14, 7{,}3)$.
b) Gi en praktisk tolkning av dette stigningstallet.
---
## E2021-2 del 1 oppgave 2 — Katet i rettvinklet trekant fra tangens
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2 — 2021 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Bestemme motstående katet i rettvinklet trekant ved hjelp av tangens.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/katet-i-rettvinklet-trekant-fra-tangens/
### Oppgavetekst
Om en rettvinklet trekant $ABC$ får du vite at
- $AC$ er den lengste siden
- $AB = 4$
- $\tan \angle A = 1$
Bestem $BC$.
---
## E2021-2 del 1 oppgave 3 — To strategier for andregradsulikhet
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2 — 2021 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Ulikheter, Andregradsfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Vise to ulike strategier for å løse andregradsulikheten $x^2 - 4 < 2x - 1$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/to-strategier-for-andregradsulikhet/
### Oppgavetekst
Vis to ulike strategier du kan bruke for å løse ulikheten
$$
x^2 - 4 < 2x - 1
$$
---
## E2021-2 del 1 oppgave 4 — Tredjegradslikning ved faktorisering og gruppering
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2 — 2021 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Polynomdivisjon, Faktorisering, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Løse tredjegradslikningen $x^3 - 3x^2 - x + 3 = 0$ ved faktorisering eller polynomdivisjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tredjegradslikning-ved-faktorisering-og-gruppering/
### Oppgavetekst
Løs likningen
$$
x^3 - 3x^2 - x + 3 = 0
$$
---
## E2021-2 del 1 oppgave 5 — Programmering av diskriminant for andregradslikninger
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2 — 2021 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Programmering, Andregradslikninger
- **Kort beskrivelse:** Forklare og fullføre kode med if-elif-else for antall løsninger basert på diskriminanten.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/programmering-av-diskriminant-for-andregradslikninger/
### Oppgavetekst
Malin arbeider med andregradslikninger og har begynt med å skrive programkoden nedenfor. I linje 8, 10 og 12 vil hun legge inn kode som gjør at hun får skrevet ut passende tekster.
```python ln
a = 1
b = 2
c = 1
d = b ** 2 - 4 * a * c
if d < 0:
elif d == 0:
else:
```
a) Hva bør hun skrive i hver av linjene 8, 10 og 12?
b) Forklar hva som skjer når programmet kjøres.
---
## E2021-2 del 1 oppgave 6 — Eksakt verdi for sinus til 30 grader fra likesidet trekant
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2 — 2021 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Eksakte verdier, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Vise hvordan en likesidet trekant kan brukes til å bestemme eksakt verdi for $\sin 30^\circ$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksakt-verdi-for-sinus-til-30-grader-fra-likesidet-trekant/
### Oppgavetekst
Vis hvordan du kan bruke trekanten ovenfor til å bestemme en eksakt verdi for $\sin 30^\circ$.
---
## E2021-2 del 1 oppgave 7 — Parabel og forskyving av bunnpunkt
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2 — 2021 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Andregradsfunksjon, Funksjonsdrøfting
- **Kort beskrivelse:** Begrunne funksjonsuttrykk for parabel fra graf og bestemme uttrykk for forskjøvet graf.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/parabel-og-forskyving-av-bunnpunkt/
### Oppgavetekst
Nedenfor ser du grafen til en andregradsfunksjon $f$.
a) Begrunn ut fra grafen at $f(x) = x^2 + 4x + 3$
Vi forskyver grafen til $f$ slik at bunnpunktet blir $(-4, 1)$. Vi får da grafen til en ny andregradsfunksjon $g$.
b) Bestem funksjonsuttrykket $g(x)$.
---
## E2021-2 del 2 oppgave 1 — Identitet mellom andregradsuttrykk og fullstendig kvadrat
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2 — 2021 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kvadratsetninger, Identiteter, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Bestemme koeffisienter $r$, $s$ og $t$ slik at $4x^2 + 16x + r = (sx + t)^2$ er en identitet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/identitet-mellom-andregradsuttrykk-og-fullstendig-kvadrat/
### Oppgavetekst
$$
4x^2 + 16x + r = (sx + t)^2
$$
Bestem $r$, $s$ og $t$ slik at sammenhengen blir en identitet.
---
## E2021-2 del 2 oppgave 2 — Sidekant i kvadrat med lengre diagonal
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2 — 2021 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Pytagoras, Eksakte verdier
- **Kort beskrivelse:** Bestemme den eksakte sidelengden i et kvadrat der diagonalen er én enhet lengre enn siden.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sidekant-i-kvadrat-med-lengre-diagonal/
### Oppgavetekst
I et kvadrat er diagonalen én enhet lengre enn sidekanten.
Bestem den eksakte lengden til sidekanten i kvadratet.
---
## E2021-2 del 2 oppgave 3 — Halveringsmetoden med programmering og feilgrense
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2 — 2021 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Programmering, Nullpunkter
- **Kort beskrivelse:** Forklare programkode for nullpunktssøk med intervallmetode og utvide koden til fire desimalers nøyaktighet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/halveringsmetoden-med-programmering-og-feilgrense/
### Oppgavetekst
Monica har skrevet programkoden nedenfor.
```python ln
def f(x): # Definerer funksjonen f(x) = x^2 - 2
return x ** 2 - 2
a = -2
e = 0.01
while a < 2:
if f(a) * f(a + e) <= 0:
print("Jeg har funnet et nullpunkt.")
a = a + e
```
a) Forklar hva resultatet vil bli når Monica kjører programmet. Begrunn hvorfor resultatet vil bli slik.
b) Utvid programmet, og gjør eventuelle endringer slik at det skriver ut tilnærmede verdier for eventuelle nullpunkter med fire desimalers nøyaktighet.
---
## E2021-2 del 2 oppgave 4 — Tangenter til tredjegradsfunksjon med gitt stigningstall
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2 — 2021 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Tangent, Polynomfunksjoner
- **Kort beskrivelse:** Finne eksakte nullpunkter for to tangenter til $f(x) = x^3 - x - 1$ som er parallelle med $y = \frac{1}{2}x + 2$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tangenter-til-tredjegradsfunksjon-med-gitt-stigningstall/
### Oppgavetekst
En funksjon $f$ er gitt ved
$$
f(x) = x^3 - x - 1
$$
Grafen til $f$ har to tangenter som er parallelle med linjen $y = \frac{1}{2}x + 2$.
Bestem en eksakt verdi for nullpunktet til hver av disse tangentene.
---
## E2021-2 del 2 oppgave 5 — Eksponentiell modell for avkjøling av blåbærgelé
- **Fag:** 1P, 1T
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2 — 2021 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentiell vekst, Regresjon, Gyldighetsområde
- **Kompetansemål:** Modellere situasjonar knytte til tema frå samfunnsliv og arbeidsliv, presentere og argumentere for resultata og for når modellane er gyldige (KM330); Bruke digitale verktøy i utforsking og problemløysing knytt til eigenskapar ved funksjonar, og diskutere løysingane (KM372)
- **Kort beskrivelse:** Lage eksponentiell regresjonsmodell $T(x) = a \cdot b^x + 20$ og vurdere gyldighetsområdet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksponentiell-modell-for-avkjoling-av-blabaergele/
### Oppgavetekst
En skål med blåbærgelé ble satt til avkjøling i et rom der temperaturen var $20~\degree\text{C}$.
Tabellen viser temperaturen i blåbærgeléen $x$ minutter etter at den ble satt til avkjøling.
| Tid (minutter) | 4 | 8 | 16 | 20 | 40 | 60 | 75 | 90 |
| --------------- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| Temperatur (°C) | 90,6 | 86,5 | 78,9 | 75,4 | 61,0 | 50,3 | 44,1 | 39,2 |
Stine vil prøve å lage en modell som viser temperaturen i geléen $x$ minutter etter at den ble satt til avkjøling. Hun setter opp en ny tabell.
| Tid (minutter) | 4 | 8 | 16 | 20 | 40 | 60 | 75 | 90 |
| --------------- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| Temperatur − 20 | 70,6 | 66,5 | 58,9 | 55,4 | 41,0 | 30,3 | 24,1 | 19,2 |
a) Lag en modell $T$ på formen $T(x) = a \cdot b^x + 20$ som viser temperaturen i geléen $x$ minutter etter at den ble satt til avkjøling.
b) Hvilket gyldighetsområde vil du si modellen kan ha?
---
## E2021-2 del 2 oppgave 6 — Derivert funksjon ut fra tangenter til tredjegradsfunksjon
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2 — 2021 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Tangent, Polynomfunksjoner
- **Kort beskrivelse:** Bestemme funksjonsuttrykket for $f'(x)$ ut fra stigningstall og tangeringspunkter til tre tangenter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivert-funksjon-ut-fra-tangenter-til-tredjegradsfunksjon/
### Oppgavetekst
Figuren viser grafen til en tredjegradsfunksjon $f$.
Figuren viser også tangentene til grafen i tre ulike punkter.
Bruk tangentene til å bestemme et uttrykk for den deriverte funksjonen $f'$.
---
## E2021-2 del 2 oppgave 6 — Figurtall med fyrstikker og 10000 fyrstikker
- **Fag:** 1P, 1T
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2 — 2021 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Figurtall, Mønstre, Tekstoppgave
- **Kompetansemål:** Identifisere variable storleikar i ulike situasjonar og bruke dei til utforsking og generalisering (KM329)
- **Kort beskrivelse:** Finne mønster for antall fyrstikker i kvadratmønster og bestemme største figur som kan lages med 10000 fyrstikker.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/figurtall-med-fyrstikker-og-10000-fyrstikker/
### Oppgavetekst
Figur 1 Figur 2 Figur 3
De tre figurene er laget av fyrstikker.
Figur 1 består av ett lite kvadrat, figur 2 består av fire små kvadrater, og figur 3 består av ni små kvadrater.
Tenk deg at du har $10\,000$ fyrstikker.
Du skal lage de tre figurene, og så fortsette å lage figurer etter samme mønster, én i hver størrelse.
a) Hvor mange figurer kan du lage?
b) Hvor mange fyrstikker vil du ha igjen når du har laget den siste figuren?
---
## E2021-2 del 2 oppgave 8 — Snøskredskolen og helningsvinkel med skistaver
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2 — 2021 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Modellering, Utforskning
- **Kort beskrivelse:** Utforske og vurdere nøyaktigheten til Snøskredskolens metode for måling av terrenghelning med skistaver.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/snoskredskolen-og-helningsvinkel-med-skistaver/
### Oppgavetekst
Visste du at du kan bruke skistavene dine for å finne ut hvor bratt terrenget er der du befinner deg?
På nettstedet www.varsom.no beskriver Snøskredskolen en metode for å beregne helningsvinkelen.
1. Legg den ene staven ned i fallretningen slik at den lager et tydelig avtrykk i snøen.
2. Reis opp staven, og sett spissen ned i snøen i øvre kant av avtrykket.
3. Ta den andre staven. Hold stavene mot hverandre som på det andre bildet. La den nederste staven pendle fritt slik at den blir hengende loddrett.
4. Senk så stavene til den loddrette staven berører snøen. Merk deg hvor denne staven treffer avtrykket.
- Dersom staven treffer akkurat nederst i avtrykket, har terrenget en helning på $30^\circ$.
- Dersom staven treffer utenfor (nedenfor) avtrykket, er terrenget brattere enn $30^\circ$.
- Dersom staven treffer avtrykket, er terrenget slakere enn $30^\circ$.
- For hver $10 \mathrm{~cm}$ kan du legge til eller trekke fra $3^\circ$. Dersom den loddrette staven treffer $10 \mathrm{~cm}$ nedenfor avtrykket er det altså en helning på $30^\circ + 3^\circ = 33^\circ$. Treffer den $20 \mathrm{~cm}$ inn i avtrykket er det en helning på $30^\circ - 6^\circ = 24^\circ$.
De fleste som går toppturer på ski har skistaver som er mellom $1 \mathrm{~m}$ og $1{,}40 \mathrm{~m}$ lange.
Bruk trigonometri, gjør nødvendige beregninger, og lag en systematisk oversikt som viser hvor nøyaktig denne metoden er.
---
## V2020 del 1 oppgave 1 — Standardform med negative tierpotenser og desimalbrøk
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Tallregning, Standardform, Tierpotenser
- **Kort beskrivelse:** Regne ut en brøk med negative tierpotenser og desimaltall, og skrive svaret på standardform.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/standardform-med-negative-tierpotenser-og-desimalbrok/
### Oppgavetekst
Regn ut og skriv svaret på standardform:
$$
\frac{5{,}5 \cdot 10^{-7} + 0{,}4 \cdot 10^{-6}}{0{,}005}
$$
---
## V2020 del 1 oppgave 2 — Likning for linje gjennom punkter i koordinatsystem
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Lineære funksjoner, Stigningstall
- **Kort beskrivelse:** Bestemme likningen for en rett linje ut fra avleste punkter i et koordinatsystem.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/likning-for-linje-gjennom-punkter-i-koordinatsystem/
### Oppgavetekst
Bestem en likning for den rette linjen som er tegnet i koordinatsystemet ovenfor.
---
## V2020 del 1 oppgave 3 — Lineært likningssystem med to ukjente og motsatte koeffisienter
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Likningssystem
- **Kort beskrivelse:** Løse et lineært likningssystem med to ukjente ved innsettingsmetoden eller addisjonsmetoden.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaert-likningssystem-med-to-ukjente-og-motsatte-koeffisienter/
### Oppgavetekst
Løs likningssystemet:
$$
\begin{bmatrix} 2x + y = 3 \\ 8x - 2y = -12 \end{bmatrix}
$$
---
## V2020 del 1 oppgave 4 — Subtraksjon av rasjonale brøker med andregradsnevner
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Rasjonale uttrykk, Faktorisering, Fellesnevner
- **Kort beskrivelse:** Trekke sammen to rasjonale brøker ved å faktorisere andregradsnevneren og finne fellesnevner.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/subtraksjon-av-rasjonale-broker-med-andregradsnevner/
### Oppgavetekst
Trekk sammen og skriv så enkelt som mulig:
$$
\frac{2}{x - 2} - \frac{x - 4}{x^2 - 5x + 6}
$$
---
## V2020 del 1 oppgave 5 — Andregradsulikhet med fullstendig kvadrat og enkelt nullpunkt
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Ulikheter, Andregradsulikhet, Fullstendig kvadrat
- **Kort beskrivelse:** Løse en andregradsulikhet som kan skrives som et fullstendig kvadrat med kun én løsning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/andregradsulikhet-med-fullstendig-kvadrat-og-enkelt-nullpunkt/
### Oppgavetekst
Løs ulikheten:
$$
2x^2 + 12x + 18 \le 0
$$
---
## V2020 del 1 oppgave 6 — Forenkling av rotuttrykk med fem som felles faktor
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Tallregning, Kvadratrøtter
- **Kort beskrivelse:** Forenkle en brøk bestående av kvadratrøtter ved å faktorisere ut roten av fem.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkling-av-rotuttrykk-med-fem-som-felles-faktor/
### Oppgavetekst
Skriv så enkelt som mulig:
$$
\frac{\sqrt{45} + \sqrt{80}}{\sqrt{125}}
$$
---
## V2020 del 1 oppgave 7 — Forenkling av potensprodukt med grunntallene to og tre
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Tallregning, Potenser
- **Kort beskrivelse:** Forenkle et potensprodukt med rasjonale og negative eksponenter ved å skrive om til grunntall 2 og 3.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkling-av-potensprodukt-med-grunntallene-to-og-tre/
### Oppgavetekst
Skriv så enkelt som mulig:
$$
9^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{-3} \cdot 8^{\frac{1}{3}} \cdot 27^{-\frac{2}{3}}
$$
---
## V2020 del 1 oppgave 8 — Tierlogaritmer av tierpotenser og tredjerot
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Tallregning, Logaritmer
- **Kort beskrivelse:** Beregne en sum av tierlogaritmer av tierpotenser, brøk og tredjerot.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tierlogaritmer-av-tierpotenser-og-tredjerot/
### Oppgavetekst
Skriv så enkelt som mulig:
$$
\lg 10 + \lg 0{,}1 + \lg \frac{1}{100} + \lg \sqrt[3]{10}
$$
---
## V2020 del 1 oppgave 9 — Logaritmelikning og eksponentlikning med trepotenser
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Likninger, Logaritmer, Eksponentiallikning
- **Kort beskrivelse:** Løse en logaritmelikning og en eksponentlikning med trepotenser som leder til en andregradslikning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/logaritmelikning-og-eksponentlikning-med-trepotenser/
### Oppgavetekst
Løs likningene.
a)
$$
\lg\left(\frac{3x + 3}{3}\right) = 3
$$
b)
$$
3^{x^2} \cdot 3^{-4x} = 1
$$
---
## V2020 del 1 oppgave 10 — Geometrisk tolkning av andre kvadratsetning
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 10
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Algebra, Kvadratsetninger, Areal og omkrets
- **Kort beskrivelse:** Bestemme arealet av et skravert kvadrat på to ulike måter for å illustrere andre kvadratsetning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/geometrisk-tolkning-av-andre-kvadratsetning/
### Oppgavetekst
Gitt figuren ovenfor. Vis hvordan vi kan bestemme arealet av det skraverte området på to ulike måter. Hvilken matematisk setning illustrerer figuren?
---
## V2020 del 1 oppgave 11 — Rettvinklet likebeint trekant med tangens lik én
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 11
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Trigonometri, Rettvinklet trekant
- **Kort beskrivelse:** Skissere trekant og bestemme eksakte sidelengder ut fra oppgitt hypotenus og tangensverdi.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rettvinklet-likebeint-trekant-med-tangens-lik-en/
### Oppgavetekst
Du får vite dette om en trekant $ABC$:
- $\angle B = 90^\circ$
- $AC = 4\mathrm{~cm}$
- $\tan \angle A = 1$
Lag en skisse som viser hvordan trekanten ser ut. Bestem lengden av $AB$ og $BC$ eksakt.
---
## V2020 del 1 oppgave 12 — Hengelås med tresifret kode og to mulige åpninger
- **Fag:** 1T, 1P
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 12
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Kombinatorikk
- **Kort beskrivelse:** Beregne sannsynligheten for at en tresifret kode på en hengelås starter med bestemte tallkombinasjoner.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/hengelas-med-tresifret-kode-og-to-mulige-apninger/
### Oppgavetekst
Maria finner en gammel hengelås. Koden på hengelåsen består av tre tall. Hvert tall kan velges blant de hele tallene fra og med 0 til og med 9.
Bestem sannsynligheten for at koden begynner med 2 4 eller 4 2.
---
## V2020 del 1 oppgave 13 — Eksakt sinus til 30 grader og sidelengde med cosinussetningen
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 13
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Trigonometri, Cosinussetningen, Eksakte verdier
- **Kort beskrivelse:** Vise eksakt sinusverdi i en likesidet trekant og beregne ukjent side i en annen trekant med cosinussetningen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksakt-sinus-til-30-grader-og-sidelengde-med-cosinussetningen/
### Oppgavetekst
a) Bruk $\Delta ABC$ ovenfor til å vise at $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$.
b) Bestem lengden av siden $QR$ i $\Delta PQR$ ovenfor.
---
## V2020 del 1 oppgave 14 — Koble fire funksjoner til grafer for den deriverte
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 14
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Derivasjon, Stasjonære punkter, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Koble fire funksjonsgrafer til de tilhørende grafene for den deriverte funksjonen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/koble-fire-funksjoner-til-grafer-for-den-deriverte/
### Oppgavetekst
Ovenfor ser du grafene til fire funksjoner $p$, $q$, $r$ og $s$.
Hvilken av grafene ovenfor er grafen til den deriverte av $p$?
Hvilken av grafene ovenfor er grafen til den deriverte av $q$?
Hvilken av grafene ovenfor er grafen til den deriverte av $r$?
Hvilken av grafene ovenfor er grafen til den deriverte av $s$?
---
## V2020 del 1 oppgave 15 — Tegne grafen til den deriverte ut fra terrassepunkt og tangenter
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 15
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Derivasjon, Tangentlikning, Stasjonære punkter
- **Kort beskrivelse:** Tegne grafen til den deriverte av en tredjegradsfunksjon basert på oppgitte tangenter og terrassepunkt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tegne-grafen-til-den-deriverte-ut-fra-terrassepunkt-og-tangenter/
### Oppgavetekst
Ovenfor ser du grafen til en tredjegradsfunksjon $f$.
- Grafen har et terrassepunkt i $(2, 8)$.
- Likningen for tangenten til grafen i punktet $(1, 7)$ er $y = 3x + 4$.
- Likningen for tangenten til grafen i punktet $(4, 16)$ er $y = 12x - 32$.
Tegn grafen til den deriverte av funksjonen $f$.
---
## V2020 del 2 oppgave 1 — Avkjøling av metallstykke og tolkning av momentan vekstfart
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Modellering, Eksponentialfunksjon, Derivasjon, Vekstfart
- **Kort beskrivelse:** Modellere avkjøling med en eksponentialfunksjon, finne starttemperatur, tidsintervall og tolke momentan vekstfart.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/avkjoling-av-metallstykke-og-tolkning-av-momentan-vekstfart/
### Oppgavetekst
En smed skal bearbeide et metallstykke. Funksjonen $T$ gitt ved
$$
T(x) = 470 \cdot 0{,}95^x + 30, \quad x \in [0, 120]
$$
viser temperaturen $T(x)$ grader celsius ($^\circ\text{C}$) i metallstykket $x$ minutter etter at smeden har tatt det ut av ovnen.
a) Tegn grafen til $T$.
b) Hva er temperaturen i metallstykket når smeden tar det ut av ovnen?
Metallet lar seg bare bearbeide når temperaturen er $150\mathrm{~^\circ C}$ eller høyere.
c) Hvor lang tid har smeden på seg til å bearbeide metallstykket etter at han har tatt det ut av ovnen?
Smeden har utført noen beregninger. Se figuren nedenfor.
d) Hvilket tall skal stå under de svarte sirklene merket med A, B, C og D?
---
## V2020 del 2 oppgave 2 — Feilproduserte hengelåser fra to maskiner og betinget sannsynlighet
- **Fag:** 1T, 1P
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Krysstabell, Betinget sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Systematisere produksjonsdata i krysstabell og beregne total feilsannsynlighet og betinget sannsynlighet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/feilproduserte-hengelaser-fra-to-maskiner-og-betinget-sannsynlighet/
### Oppgavetekst
En fabrikk produserer hengelåser med to maskiner, maskin A og maskin B.
- Maskin A produserer dobbelt så mange hengelåser som maskin B.
- Det har vist seg at det er feil ved $5\,\%$ av hengelåsene fra maskin A og ved $2\,\%$ av hengelåsene fra maskin B.
En dag produserer bedriften 300 hengelåser.
a) Systematiser opplysningene ovenfor i en krysstabell.
Tenk deg at du tilfeldig tar en hengelås som er produsert denne dagen.
b) Bestem sannsynligheten for at det er feil ved hengelåsen.
Det viser seg at det er feil ved hengelåsen du har tatt.
c) Bestem sannsynligheten for at denne hengelåsen er produsert av maskin A.
---
## V2020 del 2 oppgave 3 — Tredjegradsfunksjon med parametere og oppgitt toppunkt
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Derivasjon, Stasjonære punkter, Likningssystem
- **Kort beskrivelse:** Bestemme koeffisientene a og b i en tredjegradsfunksjon ut fra et oppgitt toppunkt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tredjegradsfunksjon-med-parametere-og-oppgitt-toppunkt/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = ax^3 - bx - 2
$$
Grafen til $f$ har et toppunkt i $(2, 6)$.
a) Forklar at dette gir de to likningene
$$
\begin{aligned} 12a - b &= 0 \\ 8a - 2b - 2 &= 6 \end{aligned}
$$
b) Bestem $a$ og $b$.
---
## V2020 del 2 oppgave 4 — Trekant med kvadratrot-sider og eksakte trigonometriske verdier
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Trigonometri, Cosinussetningen, Sinussetningen, Eksakte verdier
- **Kort beskrivelse:** Beregne eksakte trigonometriske verdier for vinkler i en trekant med oppgitte kvadratrotsider ved cosinussetningen og sinussetningen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trekant-med-kvadratrot-sider-og-eksakte-trigonometriske-verdier/
### Oppgavetekst
Gitt trekanten ovenfor. $AB = 4\sqrt{5}$, $BC = 10\sqrt{2}$ og $AC = 6\sqrt{10}$.
Bestem eksakte verdier for $\cos A$ og $\sin C$.
---
## V2020 del 2 oppgave 5 — Pantheon oculus og solstråler med trigonometri
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Trigonometri, Rettvinklet trekant
- **Kort beskrivelse:** Beregne åpningen oculus og minste innfallsvinkel for solstråler i Pantheon ved hjelp av trigonometri.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pantheon-oculus-og-solstraler-med-trigonometri/
### Oppgavetekst
Pantheon er et tempel i Roma. En del av tempelet er formet som en sylinder med en halvkule på toppen. Høyden i sylinderen er lik radius i halvkulen. Skissen nedenfor viser et tverrsnitt av bygningen.
Øverst i Pantheon er en sirkelformet åpning som kalles oculus (øye). Oculus har diameter $AB$ og sentrum i $P$. Halvkulen har sentrum i $Q$ og radius $r = QA = QB = 21{,}65\mathrm{~m}$. $\angle PQA = \angle BQP = 12^\circ$.
a) Bruk trigonometriske beregninger til å vise at diameteren til oculus er $9\mathrm{~m}$.
Solstrålene slipper inn gjennom oculus. Se skissen nedenfor.
b) Bruk trigonometriske beregninger til å bestemme hvor stor vinkelen $v$ minst må være for at solstråler skal treffe gulvet i Pantheon.
---
## H2020 del 1 oppgave 1 — Likning for rett linje avlest fra rutenett
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Lineære funksjoner, Stigningstall
- **Kort beskrivelse:** Bestemme likningen for en rett linje ut fra avleste punkter i et rutenett.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/likning-for-rett-linje-avlest-fra-rutenett/
### Oppgavetekst
Bestem en likning for den rette linja.
---
## H2020 del 1 oppgave 2 — Standardform med produkt og brøk av tierpotenser
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Tallregning, Standardform, Tierpotenser
- **Kort beskrivelse:** Regne ut et uttrykk med produkt og brøk av tierpotenser og skrive svaret på standardform.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/standardform-med-produkt-og-brok-av-tierpotenser/
### Oppgavetekst
Regn ut og skriv svaret på standardform.
$$
\frac{6{,}2 \cdot 10^4 \cdot 2{,}5 \cdot 10^8}{0{,}0005}
$$
---
## H2020 del 1 oppgave 3 — Lineært likningssystem med positive heltallsløsninger
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Likningssystem
- **Kort beskrivelse:** Løse et lineært likningssystem med to ukjente ved innsetting eller addisjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaert-likningssystem-med-positive-heltallslosninger/
### Oppgavetekst
Løs likningssystemet.
$$
\begin{bmatrix} x + 2y = 16 \\ 3x - y = 6 \end{bmatrix}
$$
---
## H2020 del 1 oppgave 4 — Forenkling av brøkuttrykk ved første kvadratsetning og konjugatsetningen
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Rasjonale uttrykk, Kvadratsetninger, Faktorisering
- **Kort beskrivelse:** Forenkle et rasjonalt brøkuttrykk ved å utvide telleren med første kvadratsetning og faktorisere med konjugatsetningen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkling-av-brokuttrykk-ved-forste-kvadratsetning-og-konjugatsetningen/
### Oppgavetekst
Skriv så enkelt som mulig.
$$
\frac{(x + y)^2 - 4xy}{x - y}
$$
---
## H2020 del 1 oppgave 5 — Bestemme parameter k for fullstendig kvadrat
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Fullstendig kvadrat, Kvadratsetninger, Parametere
- **Kort beskrivelse:** Finne mulige verdier av parameteren k slik at et andregradsuttrykk blir et fullstendig kvadrat.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bestemme-parameter-k-for-fullstendig-kvadrat/
### Oppgavetekst
For hvilke verdier av $k$ blir uttrykket nedenfor et fullstendig kvadrat?
$$
4x^2 + kx + \frac{1}{4}
$$
---
## H2020 del 1 oppgave 6 — Forenkling av brøk med potenser og røtter
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Tallregning, Potenser, Kvadratrøtter
- **Kort beskrivelse:** Forenkle en brøk sammensatt av potenser med rasjonale og negative eksponenter og kvadratrøtter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkling-av-brok-med-potenser-og-rotter/
### Oppgavetekst
Skriv så enkelt som mulig.
$$
\frac{5^{\frac{1}{2}} \cdot 4^{-1} \cdot 8^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{20} \cdot 3^0}
$$
---
## H2020 del 1 oppgave 7 — Forenkling av logaritmisk brøk med tierlogaritmer
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Tallregning, Logaritmer
- **Kort beskrivelse:** Forenkle et uttrykk bestående av et produkt og en brøk av tierlogaritmer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkling-av-logaritmisk-brok-med-tierlogaritmer/
### Oppgavetekst
Skriv så enkelt som mulig.
$$
\frac{\lg 1000 \cdot \lg \frac{1}{10}}{\lg 0{,}01 \cdot \lg 10^{-\frac{1}{2}}}
$$
---
## H2020 del 1 oppgave 8 — Eksponentlikning med toerpotens og logaritmelikning med andregradsledd
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Likninger, Eksponentiallikning, Logaritmer
- **Kort beskrivelse:** Løse en eksponentlikning med toerpotenser og en logaritmelikning som leder til en andregradslikning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksponentlikning-med-toerpotens-og-logaritmelikning-med-andregradsledd/
### Oppgavetekst
Løs likningene.
a)
$$
\frac{2^{2+x}}{2^{1-2x}} = 64
$$
b)
$$
\lg\left(\frac{1}{x^2 - 3x}\right) = -1
$$
---
## H2020 del 1 oppgave 9 — Grafisk løsning av ulikhet mellom parabel og rett linje
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Ulikheter, Grafisk løsning, Andregradsfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Løse en ulikhet grafisk ved å sammenligne parabelen f(x) og den rette linjen y = 2x - 4.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/grafisk-losning-av-ulikhet-mellom-parabel-og-rett-linje/
### Oppgavetekst
I koordinatsystemet nedenfor ser du grafen til en funksjon $f$.
Løs ulikheten $f(x) < 2x - 4$. Husk å begrunne svaret.
---
## H2020 del 1 oppgave 10 — Tangenter med negativt stigningstall til en tredjegradsfunksjon
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 10
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Derivasjon, Tangentlikning, Andregradslikninger
- **Kort beskrivelse:** Undersøke antall tangenter med oppgitt stigningstall til en tredjegradsfunksjon ved derivasjon og bestemme tangentlikningen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tangenter-med-negativt-stigningstall-til-en-tredjegradsfunksjon/
### Oppgavetekst
En funksjon er gitt ved
$$
f(x) = x^3 + 3x^2 + 3
$$
Undersøk hvor mange tangenter med stigningstall $-3$ grafen til $f$ har, og bestem likningen for tangenten(e).
---
## H2020 del 1 oppgave 11 — Tilfeldig trekning av to elever til turneringskomité
- **Fag:** 1T, 1P
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 11
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Kombinatorikk, Hypergeometrisk fordeling
- **Kort beskrivelse:** Beregne sannsynlighet ved tilfeldig trekning av to elever uten tilbakelegging fra en gruppe på ti elever.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tilfeldig-trekning-av-to-elever-til-turneringskomite/
### Oppgavetekst
Charlotte og Gunnar er med i en gruppe på ti elever som skal arrangere en skoleturnering i volleyball. Fra denne gruppen skal to elever trekkes ut tilfeldig. De to skal lage kampoppsettet.
a) Bestem sannsynligheten for at verken Charlotte eller Gunnar blir trukket ut.
b) Bestem sannsynligheten for at det blir Charlotte og Gunnar som skal lage kampoppsettet.
---
## H2020 del 1 oppgave 12 — Eksakt trigonometri med 45 grader og beregning i trekant
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 12
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Trigonometri, Cosinussetningen, Arealsetningen, Eksakte verdier
- **Kort beskrivelse:** Vise eksakte verdier for sinus og cosinus til 45 grader og beregne areal og ukjent side i en trekant ved cosinussetningen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksakt-trigonometri-med-45-grader-og-beregning-i-trekant/
### Oppgavetekst
a) Bruk $\Delta ABC$ ovenfor til å vise at
$$
\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}
$$
Gitt $\Delta PQR$ nedenfor.
b) Bestem arealet av trekanten.
c) Bestem lengden av siden $QR$ eksakt.
---
## H2020 del 1 oppgave 13 — Maksimalt beiteareal for inngjerdet rektangel ved elv
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 13
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Algebra, Funksjoner, Optimering, Andregradsfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Finne dimensjonene som maksimerer arealet av et rektangel inngjerdet på tre sider med en gitt gjerdelengde.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/maksimalt-beiteareal-for-inngjerdet-rektangel-ved-elv/
### Oppgavetekst
En bonde vil gjerde inn et område til dyrene sine. Området skal ligge ved elva og ha form som et rektangel med lengde $x$ meter og bredde $y$ meter. Se skissen nedenfor.
Bonden skal til sammen bruke $1000$ meter gjerde. Han trenger ikke gjerde langs elva. Bonden ønsker at dyrene skal ha et så stort område som mulig å beite på.
Bestem $x$ og $y$ slik at arealet av området blir størst mulig.
---
## H2020 del 2 oppgave 1 — Puls i skirenn modellert med tredjegradsfunksjon
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Modellering, Derivasjon, Vekstfart, Tredjegradsfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Modellere pulsutvikling i skirenn med tredjegradsfunksjon, finne tidsintervall for høy puls og tolke momentan vekstfart.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/puls-i-skirenn-modellert-med-tredjegradsfunksjon/
### Oppgavetekst
Ole har deltatt i et skirenn. Funksjonen $P$ gitt ved
$$
P(x) = 0{,}001x^3 - 0{,}09x^2 + 2{,}4x + 74, \quad x \in [0, 50]
$$
viser pulsen hans som prosent av makspuls $x$ minutter etter starten av skirennet.
a) Tegn grafen til $P$.
b) Hvor mange minutter var pulsen til Ole høyere enn $92\,\%$ av makspuls?
c) Bestem den momentane vekstfarten til funksjonen $P$ når $x = 5$. Gi en praktisk tolkning av dette svaret.
---
## H2020 del 2 oppgave 2 — Deltakere i mosjonsløp med lineær regresjon
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Modellering, Regresjon, Lineære funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Bestemme lineær funksjon ved regresjon ut fra deltakerstatistikk og tolke stigningstallet praktisk.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/deltakere-i-mosjonslop-med-lineaer-regresjon/
### Oppgavetekst
I tabellen nedenfor ser du hvor mange personer som deltok i et mosjonsløp, i årene 2000, 2005, 2010, 2015 og 2020.
| År | 2000 | 2005 | 2010 | 2015 | 2020 |
| :--- | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| Antall deltakere | 35 | 152 | 240 | 338 | 475 |
a) La $x$ være antall år etter 2000, og bruk regresjon til å bestemme en lineær funksjon $M$ som kan beskrive utviklingen i perioden $2000 - 2020$.
b) Hva forteller stigningstallet til funksjonen $M$ om den praktiske situasjonen?
---
## H2020 del 2 oppgave 3 — Idrettslag og korps med mengdelære og sannsynlighet
- **Fag:** 1T, 1P
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Krysstabell, Venndiagram
- **Kort beskrivelse:** Beregne sannsynlighet for at en tilfeldig elev deltar i idrettslag men ikke korps ved venndiagram eller krysstabell.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/idrettslag-og-korps-med-mengdelaere-og-sannsynlighet/
### Oppgavetekst
I en klasse er det 20 elever.
- 14 av elevene er med i idrettslaget.
- 7 av elevene er med i korpset.
- 2 av elevene er verken med i idrettslaget eller i korpset.
Læreren skal trekke ut én elev tilfeldig fra klassen.
Bestem sannsynligheten for at eleven er med i idrettslaget, men ikke i korpset.
---
## H2020 del 2 oppgave 4 — Generell tredjegradsfunksjon med tre parametere i CAS
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, CAS, Derivasjon, Parametere, Tangentlikning
- **Kort beskrivelse:** Derivere generell tredjegradsfunksjon med CAS, finne punktet der grafen synker raskest og vise tangentegenskap.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/generell-tredjegradsfunksjon-med-tre-parametere-i-cas/
### Oppgavetekst
En funksjon $f$ er gitt ved
$$
f(x) = x(x - a)(x - b) + c \quad \text{der} \quad a > 0 \text{ og } b > 0
$$
a) Bruk CAS til å bestemme $f'(x)$.
b) Bruk den deriverte til å vise at grafen til $f$ synker raskest når $x = \frac{1}{3}(a + b)$.
c) Bruk CAS til å vise at tangenten til grafen til $f$ i punktet $\left(\frac{a}{2}, f\left(\frac{a}{2}\right)\right)$ skjærer grafen til $f$ i punktet $(b, c)$.
---
## H2020 del 2 oppgave 5 — Tre geometriske utledninger av arealformelen for et trapes
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Areal og omkrets, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Fullføre tre elevers ulike geometriske utledninger av arealformelen for et trapes ved oppdeling i figurer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tre-geometriske-utledninger-av-arealformelen-for-et-trapes/
### Oppgavetekst
Elevene i en 1T-klasse skal utlede formelen for arealet $A$ av et trapes.
Adrian begynner med å dele opp trapeset som vist på figur 2. Han ser på arealet av de to trekantene han får.
a) Fullfør utledningen for Adrian.
Iris begynner med å merke av midtpunktet på linjestykket med lengde $a$. Hun deler så inn trapeset som vist på figur 3. Hun ser på arealet av de tre trekantene hun får.
b) Fullfør utledningen for Iris.
Sanne begynner med å plassere en kopi av trapeset ved siden av det opprinnelige. Se figur 4. Hun påstår at den nye figuren er et parallellogram.
c) Begrunn at den nye figuren er et parallellogram, og fullfør utledningen for Sanne.
---
## E2020 oppgave 1 — Herons formel for trekant med sider 13, 14 og 15 cm
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2020 (LK20)
- **Del:** Eksamenen var ikke delt — hele eksamen med hjelpemidler
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Formler, Areal og omkrets, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Sette sidene 13, 14 og 15 cm inn i Herons formel og regne ut arealet av trekanten.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/herons-formel-for-trekant-med-sider-13-14-og-15-cm/
### Oppgavetekst
Matematikeren Heron fra Alexandria har fått en formel oppkalt etter seg.
Vi kan bruke Herons formel til å beregne arealet $T$ av en trekant med sider $a$, $b$ og $c$.
$$
T = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \quad \text{der} \quad s = \frac{a+b+c}{2}
$$
Trekanten $ABC$ har sider som er $13 \mathrm{~cm}$, $14 \mathrm{~cm}$ og $15 \mathrm{~cm}$.
Hvor stort areal har trekanten? $\mathrm{cm}^2$
---
## E2020 oppgave 2 — Lufttrykket på toppen av Mount Everest
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2020 (LK20)
- **Del:** Eksamenen var ikke delt — hele eksamen med hjelpemidler
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Vekstfaktor, Prosentvis endring
- **Kort beskrivelse:** Regne ut lufttrykket 8,848 km over havet med vekstfaktor $0{,}88$ per kilometer: $1013 \cdot 0{,}88^{8{,}848}$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lufttrykket-pa-toppen-av-mount-everest/
### Oppgavetekst
Det gjennomsnittlig lufttrykket ved havoverflaten er $1013$ millibar.
Toppen av fjellet Mount Everest er $8848$ meter over havet.
Når høyden over havet øker, avtar lufttrykket med 12 % per kilometer.
Hvor stort er lufttrykket på toppen av Mount Everest? millibar
---
## E2020 oppgave 3 — Sidekant i kvadrat med lengre diagonal 1T E20
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2020 (LK20)
- **Del:** Eksamenen var ikke delt — hele eksamen med hjelpemidler
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Pytagoras, Eksakte verdier
- **Kort beskrivelse:** Sette opp $s^2 + s^2 = (s+1)^2$ med Pytagoras og løse eksakt for sidekanten i kvadratet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sidekant-i-kvadrat-med-lengre-diagonal-1t-e20/
### Oppgavetekst
I et kvadrat er diagonalen én enhet lengre enn sidekanten.
Beregn den eksakte lengden til sidekantene i kvadratet. Vis utregning.
---
## E2020 oppgave 4 — Program med linspace som leter etter nullpunkter
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2020 (LK20)
- **Del:** Eksamenen var ikke delt — hele eksamen med hjelpemidler
- **Oppgavenummer:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Programmering, Nullpunkter, Funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Tolke et Python-program som sjekker fortegnsskifte i $f(x)=x^2-2$ med linspace, og utvide det til å skrive ut nullpunktene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/program-med-linspace-som-leter-etter-nullpunkter/
### Oppgavetekst
Monica har laget programmet nedenfor. Hun har lagt inn kommentarer som viser hva programmet vil gjøre i linje 1, i linje 3 og 4, i linje 6 og 7 og i linje 9.
```python ln
from numpy import linspace # Henter kommandoen linspace fra biblioteket numpy.
def f(x): # Definerer funksjonen f(x) = x² - 2
return x ** 2 - 2
X = linspace (-2, 2, 400) # Lager en liste med 400 x-verdier jevnt fordelt
# i intervallet [-2, 2].
Y = f(X) # Lager en liste med de 400 tilhørende y-verdiene.
for i in range(0,399):
if Y[i] * Y[i + 1] <= 0:
print("Jeg har funnet et nullpunkt.")
```
a) Forklar hva resultatet vil bli når Monica kjører programmet. Begrunn hvorfor resultatet vil bli slik.
b) Utvid programmet slik at det skriver ut tilnærmede verdier for eventuelle nullpunkter.
---
## E2020 oppgave 5 — Temperatur ved Lindesnes fyr og ukjent k
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2020 (LK20)
- **Del:** Eksamenen var ikke delt — hele eksamen med hjelpemidler
- **Oppgavenummer:** 5
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Stigningstall, Lineære funksjoner, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Tolke stigningstallet $0{,}26$ som temperaturendring per time og bestemme $k$ fra $\frac{k-4{,}7}{14-4} = 0{,}26$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/temperatur-ved-lindesnes-fyr-og-ukjent-k/
### Oppgavetekst
Grafen viser temperaturen ved Lindesnes fyr $x$ timer etter midnatt et døgn i januar.
Stigningstallet til den rette linja som går gjennom punktene $(4, 4{,}7)$ og $(14, k)$ er $0{,}26$.
a) Gi en praktisk tolkning av dette stigningstallet.
b) Bestem $k$. Vis utregning.
---
## E2020 oppgave 6 — Derivert funksjon ut fra tangenter til tredjegradsfunksjon 1T E20
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2020 (LK20)
- **Del:** Eksamenen var ikke delt — hele eksamen med hjelpemidler
- **Oppgavenummer:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Tangent, Polynomfunksjoner
- **Kort beskrivelse:** Bestemme funksjonsuttrykket for $f'(x)$ ut fra stigningstall og tangeringspunkter til tre tangenter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivert-funksjon-ut-fra-tangenter-til-tredjegradsfunksjon-1t-e20/
### Oppgavetekst
Figuren viser grafen til tredjegradsfunksjonen $f$.
Figuren viser også tangentene til grafen i tre ulike punkter.
Bruk tangentene til å bestemme et uttrykk for den deriverte funksjonen $f'$.
---
## E2020 oppgave 7 — Vurdere Robinas polynomdivisjon og faktorisering
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2020 (LK20)
- **Del:** Eksamenen var ikke delt — hele eksamen med hjelpemidler
- **Oppgavenummer:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Polynomdivisjon, Faktorisering, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Bruke at $P(\tfrac{1}{2}) = 0$ for delelighet, finne feil i en polynomdivisjon og vurdere en faktorisering mot nullpunktene på en skisse.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vurdere-robinas-polynomdivisjon-og-faktorisering/
### Oppgavetekst
a) Gjør rede for hvordan du kan avgjøre om polynomet $2x^3 + 5x^2 - 11x + 4$ er delelig med $(2x - 1)$, uten å utføre divisjonen.
Robina har utført følgende divisjon:
b) Vurder besvarelsen til Robina.
Robina mener at divisjonen hun har utført, viser at polynomet kan faktoriseres slik:
$$
2x^3 + 5x^2 - 11x + 4 = (2x - 1)(x + 2)(x - 2)
$$
Grete viser Robina en skisse av grafen til polynomet.
c) Hvordan kan Grete ut fra denne skissen vurdere faktoriseringen som Robina har gjort?
---
## E2020 oppgave 8 — Trekant mellom parallelle linjer og sinus til nabovinkel
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2020 (LK20)
- **Del:** Eksamenen var ikke delt — hele eksamen med hjelpemidler
- **Oppgavenummer:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Arealsetningen, Trigonometri, Areal og omkrets
- **Kort beskrivelse:** Forklare at nabovinkler har lik sinus, og regne arealet av trekanten med grunnlinje og høyde og med arealsetningen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trekant-mellom-parallelle-linjer-og-sinus-til-nabovinkel/
### Oppgavetekst
Punktene $A$, $B$ og $C$ ligger på de to parallelle linjene $m$ og $n$.
$AB = 7$, $AC = 5$ og avstanden mellom de parallelle linjene er $4$.
a) Forklar at $\sin v = \sin \angle BAC$.
b) Beregn arealet av $\triangle ABC$
- uten å bruke arealsetningen
- ved å bruke arealsetningen
---
## E2020 oppgave 9 — Hannes algoritme for største kvadrater som dekker et rektangel
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2020 (LK20)
- **Del:** Eksamenen var ikke delt — hele eksamen med hjelpemidler
- **Oppgavenummer:** 9
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Programmering, Utforskning, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Beskrive algoritmen som gjentatt legger på størst mulig kvadrat (Euklids algoritme), og programmere den for å finne største felles sidekant.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/hannes-algoritme-for-storste-kvadrater-som-dekker-et-rektangel/
### Oppgavetekst
Hanne er kunstner og arbeider med rektangler i ulike størrelser. Lengdene til sidene i rektanglene er hele tall.
Hun vil dekke et rektangel med små røde kvadrater. Kvadratene skal ligge tett inntil hverandre, og alle skal være like store. Hanne vil lage en algoritme som hun kan bruke for å finne ut hvor store kvadratene maksimalt kan være.
Hun har laget noen figurer som skal vise hvordan hun tenker.
a) Lag en algoritme som beskriver måten Hanne vil løse problemet på.
b) Bruk programmering til å lage et dataprogram med utgangspunkt i algoritmen. Når Hanne forteller programmet hvor lange sidene i rektangelet er, skal programmet bestemme hvor store sidekantene i kvadratene maksimalt kan være.
---
## E2020 oppgave 10 — Utforske rasjonal funksjon med parametere a og b
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2020 (LK20)
- **Del:** Eksamenen var ikke delt — hele eksamen med hjelpemidler
- **Oppgavenummer:** 10
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Rasjonale funksjoner, Asymptoter, Parametere, Utforskning
- **Kort beskrivelse:** Forkorte $f(x)=\frac{a(x-1)(x+b)}{x^2-1}$ og utforske asymptoter, hull i grafen og nullpunkter for ulike verdier av $a$ og $b$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/utforske-rasjonal-funksjon-med-parametere-a-og-b/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = \frac{a(x-1)(x+b)}{x^2-1}
$$
Utforsk og beskriv egenskapene til $f$ når $a$ og $b$ er reelle tall.
---
## V2019 del 1 oppgave 1 — Divisjon med tierpotens på standardform
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Tallregning, Standardform, Tierpotenser
- **Kort beskrivelse:** Beregne en brøk med tierpotenser og skrive svaret på standardform.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/divisjon-med-tierpotens-pa-standardform/
### Oppgavetekst
Regn ut og skriv svaret på standardform
$$
\frac{4{,}5 \cdot 10^{12}}{900}
$$
---
## V2019 del 1 oppgave 2 — Andregradsulikhet med negativt andregradsledd
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Ulikheter, Andregradsulikhet, Fortegnslinje
- **Kort beskrivelse:** Løse en andregradsulikhet med negativ koeffisient foran andregradsleddet ved faktorisering og fortegnslinje.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/andregradsulikhet-med-negativt-andregradsledd/
### Oppgavetekst
Løs ulikheten
$$
-x^2 - 2x + 3 > 0
$$
---
## V2019 del 1 oppgave 3 — Sum av tre rasjonale brøker med konjugatsetningen
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Rasjonale uttrykk, Fellesnevner, Konjugatsetningen
- **Kort beskrivelse:** Trekke sammen tre rasjonale brøker ved hjelp av fellesnevner og konjugatsetningen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sum-av-tre-rasjonale-broker-med-konjugatsetningen/
### Oppgavetekst
Trekk sammen og skriv så enkelt som mulig
$$
\frac{x^2}{x^2 - 4} + \frac{3}{x - 2} + \frac{1}{x + 2}
$$
---
## V2019 del 1 oppgave 4 — Forenkling av potensuttrykk med rasjonale eksponenter
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Tallregning, Potenser
- **Kort beskrivelse:** Forenkle et produkt av tall opphøyd i rasjonale og negative eksponenter ved å skrive om til grunntall 2 og 3.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkling-av-potensuttrykk-med-rasjonale-eksponenter/
### Oppgavetekst
Regn ut
$$
4^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{-3} \cdot 27^{-\frac{2}{3}} \cdot 64^{\frac{2}{3}}
$$
---
## V2019 del 1 oppgave 5 — Tangens i likebeint trekant
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Trigonometri, Rettvinklet trekant
- **Kort beskrivelse:** Finne tangens til en vinkel i en likebeint trekant ved å dele trekanten i to rettvinklede trekanter og bruke Pytagoras.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tangens-i-likebeint-trekant/
### Oppgavetekst
Bestem $\tan v$.
---
## V2019 del 1 oppgave 6 — Sum av fire enkle tierlogaritmer
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Tallregning, Logaritmer
- **Kort beskrivelse:** Beregne en sum av tierlogaritmer av heltall, kvadratrot og desimaltall.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sum-av-fire-enkle-tierlogaritmer/
### Oppgavetekst
Regn ut
$$
\lg 100 + \lg 1 + \lg \sqrt{10} + \lg 0{,}001
$$
---
## V2019 del 1 oppgave 7 — Logaritmelikning med tierpotenser
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Likninger, Logaritmer, Tierpotenser
- **Kort beskrivelse:** Løse en logaritmelikning med tierpotenser ved potensregler og logaritmeregler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/logaritmelikning-med-tierpotenser/
### Oppgavetekst
Løs likningen
$$
\lg\left(10^x \cdot 10^{2x}\right) = 6
$$
---
## V2019 del 1 oppgave 8 — Andregradsfunksjon som fullstendig kvadrat med parameter k
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Funksjoner, Andregradsfunksjon, Fullstendig kvadrat
- **Kort beskrivelse:** Finne koeffisienten k slik at et andregradspolynom er et fullstendig kvadrat, og bestemme nullpunktet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/andregradsfunksjon-som-fullstendig-kvadrat-med-parameter-k/
### Oppgavetekst
Om en funksjon $f$ får du vite at
- $f(x) = kx^2 + 12x + 9$
- $f(x)$ er et fullstendig kvadrat
a) Bestem $k$.
b) Bestem nullpunktet til $f$.
---
## V2019 del 1 oppgave 9 — Tog i rute og uavhengig sannsynlighet
- **Fag:** 1T, 1P
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Beregne sannsynligheten for at toget er i rute begge dager og nøyaktig én av to dager ved uavhengige hendelser.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tog-i-rute-og-uavhengig-sannsynlighet/
### Oppgavetekst
Sannsynligheten for at toget fra by A til by B er i rute en tilfeldig mandag, er $80\,\%$. Sannsynligheten for at toget er i rute en tilfeldig fredag, er $90\,\%$.
En uke skal Marit ta toget på mandag og på fredag.
a) Bestem sannsynligheten for at toget er i rute begge disse dagene.
b) Bestem sannsynligheten for at toget er i rute nøyaktig én av disse dagene.
---
## V2019 del 1 oppgave 10 — Sammenheng mellom celsius og fahrenheit lineær modell
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 10
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Modellering, Lineære funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Modellere sammenhengen mellom celsius og fahrenheit lineært, finne likevektspunkt og utlede omregningsformel.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sammenheng-mellom-celsius-og-fahrenheit-lineaer-modell/
### Oppgavetekst
I Norge måler vi temperatur i grader celsius ($^\circ\text{C}$). I USA måles temperatur i grader fahrenheit ($^\circ\text{F}$). I tabellen nedenfor ser du sammenhengen mellom grader celsius og grader fahrenheit.
| Grader celsius ($^\circ\text{C}$) | $-50$ | $-30$ | $0$ | $10$ |
| :--- | :---: | :---: | :---: | :---: |
| Grader fahrenheit ($^\circ\text{F}$) | $-58$ | $-22$ | $32$ | $50$ |
a) Tegn et koordinatsystem med grader celsius langs $x$-aksen og grader fahrenheit langs $y$-aksen. Marker verdiene fra tabellen som punkter i koordinatsystemet og tegn en rett linje som går gjennom punktene.
b) Hvor kaldt må det være ute for at de to gradestokkene skal vise samme verdi?
c) Bestem en formel som viser sammenhengen mellom grader celsius og grader fahrenheit.
d) Bruk formelen du fant i oppgave c), til å vise at $100\mathrm{~^\circ C}$ er det samme som $212\mathrm{~^\circ F}$.
---
## V2019 del 1 oppgave 11 — Trekant med cosinussetningen og eksakte rotuttrykk
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 11
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Trigonometri, Cosinussetningen, Kvadratrøtter
- **Kort beskrivelse:** Forenkle kvadratrøtter, begrunne eksakt cosinusverdi og beregne motstående side med cosinussetningen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trekant-med-cosinussetningen-og-eksakte-rotuttrykk/
### Oppgavetekst
a) Vis at $\sqrt{48} = 4\sqrt{3}$ og at $\sqrt{75} = 5\sqrt{3}$.
b) Vis eller forklar at $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$
Gitt trekanten $ABC$ ovenfor.
c) Bestem en eksakt verdi for lengden av siden $BC$.
---
## V2019 del 1 oppgave 12 — Arealsetningen og eksakt verdi for sinus til 120 grader
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 12
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Trigonometri, Arealsetningen, Eksakte verdier
- **Kort beskrivelse:** Bruke arealsetningen og oppgitt areal til å utlede eksakt verdi for sinus til 120 grader.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/arealsetningen-og-eksakt-verdi-for-sinus-til-120-grader/
### Oppgavetekst
Arealet av trekanten ovenfor er $12$.
Bruk dette til å vise at
$$
\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}
$$
---
## V2019 del 1 oppgave 13 — Omkrets av sammensatt figur på rutenett
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 13
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Sirkel, Areal og omkrets, Pytagoras
- **Kort beskrivelse:** Bestemme omkretsen av en sammensatt figur på et rutenett med ruteside a, bestående av sirkelbue og rette linjestykker.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/omkrets-av-sammensatt-figur-pa-rutenett/
### Oppgavetekst
Den blå figuren nedenfor er tegnet på et rutenett. Rutene er kvadratiske med sider $a$.
Bestem omkretsen av figuren uttrykt ved $a$.
---
## V2019 del 1 oppgave 14 — Koble funksjonsdrøfting og vekstfart til seks grafer
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 14
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Derivasjon, Vekstfart, Tangentlikning, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Koble fire funksjonsbeskrivelser (gitt ved derivert, vekstfart og tangenter) til riktige grafer blant seks alternativer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/koble-funksjonsdrofting-og-vekstfart-til-seks-grafer/
### Oppgavetekst
Du får vite følgende om fire funksjoner $p$, $q$, $r$ og $s$:
- $p'(0) = 0$ og $p'(-1) < 0$
- $q'(1) = -2$ og $q'(2) = -2$
- Den gjennomsnittlige vekstfarten til $r$ i intervallet $[-2, 0]$ er $3$.
- Tangentene til grafen til $s$ i punktene $(-2, s(-2))$ og $(2, s(2))$ har likningene $y = -8x - 16$ og $y = -8x + 16$.
Hvilken graf er grafen til $p$? Hvilken graf er grafen til $q$? Hvilken graf er grafen til $r$? Hvilken graf er grafen til $s$? Husk å begrunne svarene dine.
---
## V2019 del 2 oppgave 1 — Temperaturer ved Lindesnes og Nordkapp med polynommodeller
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Modellering, Derivasjon, Vekstfart, Polynomfunksjoner
- **Kort beskrivelse:** Modellere døgntemperaturer ved Lindesnes og Nordkapp med polynomfunksjoner, finne momentan vekstfart og maksimal differanse.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/temperaturer-ved-lindesnes-og-nordkapp-med-polynommodeller/
### Oppgavetekst
Funksjonene $L$ og $N$ er gitt ved
$$
L(x) = -0{,}0025x^3 + 0{,}089x^2 - 0{,}67x + 6{,}12, \quad 0 \le x \le 24
$$
$$
N(x) = -0{,}00016x^3 + 0{,}01x^2 - 0{,}31x + 1{,}15, \quad 0 \le x \le 24
$$
Funksjonene viser temperaturene $L(x)$ grader celsius ved Lindesnes og $N(x)$ grader celsius ved Nordkapp $x$ timer etter midnatt et døgn i januar 2019.
a) Bruk graftegner til å tegne grafene til $L$ og $N$.
b) Bestem den momentane vekstfarten til hver av funksjonene når $x = 8$. Gi en praktisk tolkning av disse svarene.
c) Bestem temperaturforskjellen mellom Lindesnes og Nordkapp klokka 12.00.
d) Når var temperaturforskjellen mellom Lindesnes og Nordkapp størst dette døgnet? Hvor stor var forskjellen da?
---
## V2019 del 2 oppgave 2 — Kildesortering av aluminium krysstabell og betinget sannsynlighet
- **Fag:** 1T, 1P
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Krysstabell, Betinget sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Lage krysstabell for kildesortering etter alder, beregne total sannsynlighet og betinget sannsynlighet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kildesortering-av-aluminium-krysstabell-og-betinget-sannsynlighet/
### Oppgavetekst
Fra nettstedet sortere.no: «Aluminium er et ressurskrevende metall å framstille, og det kan gjenvinnes i det uendelige. Dette gjør at aluminium er blant de råvarene som gir størst miljøeffekt når de kildesorteres.»
$1000$ personer deltar i en spørreundersøkelse. $25\,\%$ av disse personene er under 30 år. Undersøkelsen viser at $44\,\%$ av personene som er 30 år eller eldre, kildesorterer aluminiumsformer, mens bare $14\,\%$ av dem som er under 30 år, gjør dette.
a) Lag en krysstabell som illustrerer opplysningene som er gitt ovenfor.
Vi trekker tilfeldig en person som deltok i undersøkelsen.
b) Bestem sannsynligheten for at personen kildesorterer aluminiumsformer.
Du får vite at personen vi trakk i oppgave b), kildesorterer aluminiumsformer.
c) Bestem sannsynligheten for at personen er under 30 år.
---
## V2019 del 2 oppgave 3 — Geometrisk bevis for vinkelrette linjer og stigningstall
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Formlike trekanter, Bevis, Lineære funksjoner, Stigningstall
- **Kort beskrivelse:** Geometrisk bevis for at produktet av stigningstallene til to vinkelrette linjer er lik -1 ved formlike trekanter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/geometrisk-bevis-for-vinkelrette-linjer-og-stigningstall/
### Oppgavetekst
En funksjon $f$ er gitt ved $f(x) = ax + b$, $a > 0$. Nedenfor ser du en skisse av grafen til $f$. Her er $AD = 1$.
a) Forklar at $CD = a$.
Grafen til funksjonen $g$ er en rett linje som går gjennom punktet $A$ og står vinkelrett på grafen til $f$. Se skissen nedenfor.
b) Forklar at $\Delta ADC$ og $\Delta BDA$ er formlike. (Tips: Forklar at begge trekantene er formlike med $\Delta ABC$.)
c) Bruk resultatet fra oppgave b) til å vise at $BD = \frac{1}{a}$.
d) Vis at påstanden nedenfor er riktig:
**Påstand**
Dersom grafene til to lineære funksjoner står normalt på hverandre, vil produktet av stigningstallene være lik $-1$.
---
## V2019 del 2 oppgave 4 — Tredjegradsfunksjon toppunkt tangent og arealforhold i CAS
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, CAS, Tangentlikning, Areal og omkrets, Tredjegradsfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Drøfte tredjegradsfunksjon i CAS, finne nullpunkter, toppunkt, tangent og forhold mellom trekantarealer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tredjegradsfunksjon-toppunkt-tangent-og-arealforhold-i-cas/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = x(x^2 - 8)
$$
Skissen nedenfor viser grafen til $f$.
$A$ og $B$ er nullpunkt til $f$ og $C$ er toppunkt på grafen til $f$.
a) Bruk CAS til å bestemme eksakte verdier for koordinatene til $A$, $B$ og $C$.
b) Bruk CAS til å bestemme eksakt verdi for arealet av $\Delta ABC$.
Punktet $D$ er skjæringspunktet mellom tangenten til grafen til $f$ i punktet $B$ og den vertikale linjen gjennom punktet $A$.
c) Bruk CAS til å bestemme eksakt verdi for forholdet mellom arealet av $\Delta ABD$ og arealet av $\Delta ABC$.
---
## H2019 del 1 oppgave 1 — Standardform med desimaltall og store tall
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Tallregning, Standardform, Tierpotenser
- **Kort beskrivelse:** Regne ut et uttrykk med desimaltall og store tall, og skrive svaret på standardform.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/standardform-med-desimaltall-og-store-tall/
### Oppgavetekst
Regn ut og skriv svaret på standardform:
$$
\frac{0{,}00046 \cdot 25\,000\,000}{0{,}05}
$$
---
## H2019 del 1 oppgave 2 — Lineært likningssystem med addisjonsmetoden
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Likningssystem
- **Kort beskrivelse:** Løse et lineært likningssystem med to ukjente ved innsetting eller addisjonsmetoden.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaert-likningssystem-med-addisjonsmetoden/
### Oppgavetekst
Løs ligningssystemet
$$
\begin{bmatrix} 2x + 3y = 6 \\ 5x + 6y = 18 \end{bmatrix}
$$
---
## H2019 del 1 oppgave 3 — Faktorisert andregradsulikhet med negativ konstantfaktor
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Ulikheter, Andregradsulikhet, Fortegnslinje
- **Kort beskrivelse:** Løse en ferdig faktorisert andregradsulikhet med negativ konstantfaktor foran ved fortegnsskjema.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/faktorisert-andregradsulikhet-med-negativ-konstantfaktor/
### Oppgavetekst
Løs ulikheten
$$
-2(x + 2)(x - 4) > 0
$$
---
## H2019 del 1 oppgave 4 — Subtraksjon av rasjonale uttrykk med konjugatsetningen
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Rasjonale uttrykk, Fellesnevner, Konjugatsetningen
- **Kort beskrivelse:** Trekke sammen to rasjonale brøker ved hjelp av fellesnevner og konjugatsetningen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/subtraksjon-av-rasjonale-uttrykk-med-konjugatsetningen/
### Oppgavetekst
Trekk sammen, og skriv så enkelt som mulig:
$$
\frac{2x^2 + x + 3}{x^2 - 9} - \frac{x}{x + 3}
$$
---
## H2019 del 1 oppgave 5 — Logaritmelikninger og eksponentlikning med andregradsledd
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Likninger, Logaritmer, Eksponentiallikning
- **Kort beskrivelse:** Løse to logaritmelikninger og en eksponentlikning som leder til en andregradslikning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/logaritmelikninger-og-eksponentlikning-med-andregradsledd/
### Oppgavetekst
Løs likningene.
a)
$$
\lg(4x) = 0
$$
b)
$$
\lg\left(\frac{\sqrt{50}}{x}\right) = \frac{1}{2}
$$
c)
$$
2^{x^2} \cdot 2^{3x} = 16
$$
---
## H2019 del 1 oppgave 6 — Likning for rett linje gjennom to oppgitte punkter
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Lineære funksjoner, Stigningstall
- **Kort beskrivelse:** Finne stigningstall og likning for en rett linje gjennom to oppgitte punkter ved regning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/likning-for-rett-linje-gjennom-to-oppgitte-punkter/
### Oppgavetekst
En rett linje går gjennom punktene $(-7, -1)$ og $(5, 2)$.
Bestem en likning for linjen ved regning.
---
## H2019 del 1 oppgave 7 — Andregradslikning med parameter a og én løsning
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Likninger, Andregradslikninger, Diskriminant, Parametere
- **Kort beskrivelse:** Finne verdien av parameteren a slik at en andregradslikning har nøyaktig én reell løsning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/andregradslikning-med-parameter-a-og-en-losning/
### Oppgavetekst
Gitt likningen $ax^2 + 3x + 1 = x - 2$, der $a \ne 0$.
Bestem en verdi av $a$ slik at likningen bare har én løsning.
---
## H2019 del 1 oppgave 8 — Tredjegradspolynom med derivasjon og gjennomsnittlig vekstfart
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Derivasjon, Momentan vekstfart, Gjennomsnittlig vekstfart
- **Kort beskrivelse:** Derivere et tredjegradspolynom, beregne momentan vekstfart og finne gjennomsnittlig vekstfart i et intervall.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tredjegradspolynom-med-derivasjon-og-gjennomsnittlig-vekstfart/
### Oppgavetekst
En funksjon $f$ er gitt ved
$$
f(x) = x^3 + 4x^2 + x - 6
$$
a) Bestem $f'(x)$.
b) Bestem den momentane vekstfarten til $f$ i punktet $(-3, f(-3))$.
c) Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til $f$ i intervallet $[-1, 2]$.
---
## H2019 del 1 oppgave 9 — Valgtre og sannsynlighet for dessert på skoletur
- **Fag:** 1T, 1P
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Valgtre
- **Kort beskrivelse:** Illustrere middags- og dessertvalg med valgtre og beregne total sannsynlighet for dessert.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/valgtre-og-sannsynlighet-for-dessert-pa-skoletur/
### Oppgavetekst
På en skoletur fikk elevene servert middag. De kunne velge mellom en fiskerett og en kjøttrett. I tillegg fikk alle som ønsket det, dessert.
Det viste seg at $\frac{3}{5}$ av elevene valgte fiskeretten, mens resten valgte kjøttretten. Halvparten av de som valgte fiskeretten, ønsket dessert, mens $\frac{3}{4}$ av de som valgte kjøttretten, ønsket dessert.
a) Lag et valgtre som illustrerer situasjonen ovenfor.
Tenk deg at vi velger en tilfeldig elev som var med på turen.
b) Bestem sannsynligheten for at denne eleven ønsket dessert.
---
## H2019 del 1 oppgave 10 — Skissere graf ut fra fortegnslinjer for funksjon og derivert
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 10
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Fortegnslinje, Derivasjon, Graftegning
- **Kort beskrivelse:** Skissere grafen til en funksjon basert på fortegnslinjene til funksjonsuttrykket og den deriverte.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/skissere-graf-ut-fra-fortegnslinjer-for-funksjon-og-derivert/
### Oppgavetekst
Gitt en funksjon $f$. Fortegnet til funksjonsuttrykket $f(x)$ og til den deriverte av funksjonen $f'(x)$ varierer som vist i figuren nedenfor.
Lag en skisse som viser hvordan grafen til $f$ kan se ut.
---
## H2019 del 1 oppgave 11 — Eksakte trigonometriske verdier i rettvinklet likebeint trekant
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 11
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Trigonometri, Rettvinklet trekant, Eksakte verdier
- **Kort beskrivelse:** Bestemme kateter, tangens og vise eksakt sinusverdi i en rettvinklet likebeint trekant med oppgitt hypotenus.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksakte-trigonometriske-verdier-i-rettvinklet-likebeint-trekant/
### Oppgavetekst
Skissen nedenfor viser en rettvinklet, likebeint trekant med hypotenus $4\sqrt{2}$.
a) Bestem lengdene av katetene i trekanten.
b) Bruk trekanten til å bestemme $\tan v$.
c) Bruk trekanten til å vise at $\sin v = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
---
## H2019 del 1 oppgave 12 — Areal av trekant med arealsetningen og vinkel førtifem grader
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 12
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Trigonometri, Arealsetningen, Eksakte verdier
- **Kort beskrivelse:** Beregne eksakt areal av en trekant ved hjelp av arealsetningen med kjente sider og mellomliggende vinkel på 45 grader.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/areal-av-trekant-med-arealsetningen-og-vinkel-fortifem-grader/
### Oppgavetekst
Bestem arealet av trekanten ovenfor.
---
## H2019 del 1 oppgave 13 — Sinussetningen og to mulige trekanter med spiss og stump vinkel
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 13
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Trigonometri, Sinussetningen
- **Kort beskrivelse:** Finne supplementvinkelen ved sinussetningen og skissere de to tilhørende trekantene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sinussetningen-og-to-mulige-trekanter-med-spiss-og-stump-vinkel/
### Oppgavetekst
For å bestemme en ukjent vinkel i en trekant løser Stein likningen nedenfor.
$$
\frac{\sin x}{10} = \frac{\sin 40^\circ}{8}
$$
Han får to løsninger. Den ene løsningen er $x = 53{,}5^\circ$.
a) Bestem den andre løsningen.
De to løsningene svarer til to ulike trekanter.
b) Lag skisser som viser hvordan trekantene kan se ut.
---
## H2019 del 2 oppgave 1 — Symfyse-fundus vekstkurve for foster i svangerskap
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Modellering, Derivasjon, Vekstfart, Tredjegradsfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Modellere symfyse-fundus vekstkurve i svangerskapet med en tredjegradsfunksjon, finne momentan vekstfart og gjennomsnittlig vekst.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/symfyse-fundus-vekstkurve-for-foster-i-svangerskap/
### Oppgavetekst
For å vurdere om et foster vokser som forventet, utfører jordmor og lege regelmessige målinger av magen til den gravide fra uke 24 i svangerskapet. Disse målingene kalles symfyse–fundus-mål og måler avstanden fra øverste kant av underlivsbenet (symfysen) til toppen av livmoren (fundus). Ut fra målingene tegnes en vekstkurve for fosteret.
Funksjonen $G$ gitt ved
$$
G(x) = -0{,}0011x^3 + 0{,}097x^2 - 1{,}945x + 29{,}3, \quad x \in [23, 42]
$$
viser symfyse–fundus-målet $G(x)\mathrm{~cm}$ i uke $x$ av et bestemt svangerskap.
a) Bruk graftegner til å tegne vekstkurven $G$.
b) Bestem den momentane vekstfarten til funksjonen $G$ når $x = 29$. Gi en praktisk tolkning av dette svaret.
c) Hvor mye øker symfyse–fundus-målet i gjennomsnitt per uke fra uke 23 til uke 40 i dette svangerskapet, ifølge funksjonen $G$?
---
## H2019 del 2 oppgave 2 — Tysk og matematikk som fagvalg med krysstabell og sannsynlighet
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Krysstabell, Venndiagram, Betinget sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Systematisere fagvalg i krysstabell eller venndiagram og beregne sannsynlighet og betinget sannsynlighet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tysk-og-matematikk-som-fagvalg-med-krysstabell-og-sannsynlighet/
### Oppgavetekst
I en klasse er det 30 elever. 12 av elevene har tysk som fremmedspråk. 14 av elevene har matematikk 1T. 10 elever har verken tysk eller 1T.
a) Systematiser opplysningene ovenfor i en krysstabell eller i et venndiagram.
Tenk deg at du trekker en elev fra klassen tilfeldig.
b) Bestem sannsynligheten for at eleven har tysk, men ikke 1T.
Tenk deg at du har trukket en elev som ikke har 1T.
c) Bestem sannsynligheten for at eleven har tysk.
---
## H2019 del 2 oppgave 3 — Formlike rettvinklede trekanter og ukjent sidelengde
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Formlike trekanter, Rettvinklet trekant, Pytagoras
- **Kort beskrivelse:** Finne ukjent sidelengde i to formlike rettvinklede trekanter ved Pytagoras' setning og forholdstall.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/formlike-rettvinklede-trekanter-og-ukjent-sidelengde/
### Oppgavetekst
Gitt $\Delta ABC$ og $\Delta ADE$ ovenfor. $AB = 13$, $AC = 12$ og $AD = 9{,}6$.
Bestem lengden $ED$.
---
## H2019 del 2 oppgave 4 — Firkant med rett vinkel og sider uttrykt ved a
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Trigonometri, Cosinussetningen, Pytagoras
- **Kort beskrivelse:** Beregne ukjente sider i en firkant uttrykt ved parameteren a ved Pytagoras, vinkelberegninger og cosinussetningen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/firkant-med-rett-vinkel-og-sider-uttrykt-ved-a/
### Oppgavetekst
Gitt firkanten ovenfor. $AD = a$, $AC = 2a$, $BC = \sqrt{3} \cdot a$, $\angle ADC = 90^\circ$ og $\angle BCD = 165^\circ$.
a) Bestem lengden av siden $CD$ uttrykt ved $a$.
b) Bestem lengden av siden $AB$ uttrykt ved $a$.
---
## H2019 del 2 oppgave 5 — Tredjegradsfunksjon med parameter k og analyse av ekstremalpunkter
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, CAS, Derivasjon, Parametere, Tangentlikning
- **Kort beskrivelse:** Drøfte en tredjegradsfunksjon med parameter k, koble til riktig graf, finne sekantstigning og tangent i CAS.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tredjegradsfunksjon-med-parameter-k-og-analyse-av-ekstremalpunkter/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = x^3 - 2kx^2 + k^2x, \quad k > 0
$$
a) Bestem nullpunktene til $f$.
b) Bestem $f'(x)$.
c) Bruk svarene fra oppgave a) og oppgave b) til å argumentere for og avgjøre hvilken av grafene nedenfor som er grafen til $f$.
d) Bruk CAS til å bestemme stigningstallet til den rette linjen som går gjennom toppunktet og bunnpunktet på grafen til $f$.
e) Vis at grafen til $f$ bare har én tangent med stigningstall $-\frac{1}{3}k^2$. Bestem koordinatene til tangeringspunktet $T$ mellom denne tangenten og grafen til $f$.
---
## V2018 del 1 oppgave 1 — Lineært likningssystem med substitusjon eller addisjon
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Løse et lineært likningssystem med to ukjente ved innsetting eller addisjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaert-likningssystem-med-substitusjon-eller-addisjon/
### Oppgavetekst
Løs likningssystemet
$$
\begin{cases}
& 5x + 2y = 4 \\
& 3x + 4y = -6
\end{cases}
$$
---
## V2018 del 1 oppgave 2 — Eksponentlikning med tierpotens
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Likninger, Logaritmer, Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Løse en enkel eksponentlikning med tierpotens ved isolering og logaritmering.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksponentlikning-med-tierpotens/
### Oppgavetekst
Løs likningen
$$
3 \cdot 10^x = 3000
$$
---
## V2018 del 1 oppgave 3 — Brøkuttrykk på standardform med tierpotenser
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Potensregning, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Forenkle et brøkuttrykk med tierpotenser og skrive svaret på standardform.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/brokuttrykk-pa-standardform-med-tierpotenser/
### Oppgavetekst
Regn ut og skriv svaret på standardform:
$$
\frac{(0{,}5 \cdot 10^6)^2}{0{,}2 \cdot 10^{-4} + 3 \cdot 10^{-5}}
$$
---
## V2018 del 1 oppgave 4 — Forenkling av kvadratrotuttrykk
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Potenser, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Vise en identitet ved regneregler for kvadratrøtter og faktorisering av grunntall.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkling-av-kvadratrotuttrykk/
### Oppgavetekst
Vis at
$$
\sqrt{15} \cdot \sqrt{5} - \sqrt{48} = \sqrt{3}
$$
---
## V2018 del 1 oppgave 5 — Produkt av tierlogaritmer
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Logaritmer, Potenser
- **Kort beskrivelse:** Forenkle et produkt av logaritmer med tierpotenser og røtter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/produkt-av-tierlogaritmer/
### Oppgavetekst
Regn ut og skriv svaret så enkelt som mulig:
$$
\lg 1000 \cdot \lg \sqrt[3]{10} \cdot \lg \sqrt[5]{10^2} \cdot \lg 0{,}00001
$$
---
## V2018 del 1 oppgave 6 — Tredjegradslikning ved utbryting av felles faktor
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Likninger, Faktorisering, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Vise en polynomidentitet og løse en tredjegradslikning ved nullproduktsetningen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tredjegradslikning-ved-utbryting-av-felles-faktor/
### Oppgavetekst
a) Vis at
$$
x(x+2)(x-4) = x^3 - 2x^2 - 8x
$$
b) Løs likningen
$$
x^3 - 2x^2 - 8x = 0
$$
---
## V2018 del 1 oppgave 7 — Andregradsulikhet med to positive røtter
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Andregradsulikhet, Faktorisering
- **Kort beskrivelse:** Løse en andregradsulikhet ved faktorisering og fortegnsskjema.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/andregradsulikhet-med-to-positive-rotter/
### Oppgavetekst
Løs ulikheten
$$
x^2 - 2x - 8 \ge 0
$$
---
## V2018 del 1 oppgave 8 — Andregradsfunksjon og antall skjæringspunkter med parameter k
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Andregradslikninger
- **Kort beskrivelse:** Bestemme verdier for en parameter k ut fra diskriminanten til en andregradsfunksjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/andregradsfunksjon-og-antall-skjaeringspunkter-med-parameter-k/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = x^2 + kx + 4
$$
For hvilke verdier av $k$ har grafen til $f$
- ingen skjæringspunkter med $x$-aksen
- ett skjæringspunkt med $x$-aksen
- to skjæringspunkter med $x$-aksen
---
## V2018 del 1 oppgave 9 — Brøkuttrykk med brudden brøk og faktorisering
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Brøk, Faktorisering
- **Kort beskrivelse:** Forenkle en brudden brøk ved fellesnevner og faktorisering av kvadratsetninger.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/brokuttrykk-med-brudden-brok-og-faktorisering/
### Oppgavetekst
a) Vis at
$$
\frac{x + 2 + \dfrac{1}{x}}{\dfrac{x}{3} - \dfrac{1}{3x}} = \frac{3x^2 + 6x + 3}{x^2 - 1}
$$
b) Skriv så enkelt som mulig
$$
\frac{x + 2 + \dfrac{1}{x}}{\dfrac{x}{3} - \dfrac{1}{3x}}
$$
---
## V2018 del 1 oppgave 10 — Tredjegradsfunksjon med vekstfart og tangentlikning
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 10
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Derivasjon, Gjennomsnittlig vekstfart
- **Kort beskrivelse:** Finne gjennomsnittlig vekstfart og likning for tangent til en tredjegradsfunksjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tredjegradsfunksjon-med-vekstfart-og-tangentlikning/
### Oppgavetekst
En funksjon $f$ er gitt ved
$$
f(x) = x^3 + 2x^2 + 1
$$
a) Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til $f$ i intervallet $[-2, 2]$.
b) Bestem likningen for tangenten til grafen til $f$ i punktet $(1, f(1))$.
---
## V2018 del 1 oppgave 11 — Kast med to terninger og sannsynlighet for sum
- **Fag:** 1T, 1P
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 11
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Kombinatorikk
- **Kort beskrivelse:** Sammenlikne sannsynligheten for like mange øyne mot sum 5 eller mindre ved to terningkast.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kast-med-to-terninger-og-sannsynlighet-for-sum/
### Oppgavetekst
Tenk deg at du kaster en rød og en blå terning.
Avgjør hvilket av de to alternativene nedenfor som er mest sannsynlig.
- Terningene viser samme antall øyne.
- Summen av antall øyne er 5 eller mindre.
---
## V2018 del 1 oppgave 12 — Eksakte trigonometriske verdier og trekantberegninger
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 12
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Geometri, Bevis, Areal og omkrets
- **Kort beskrivelse:** Utlede eksakte verdier for sinus og tangens ved 30-60-90-trekant og beregne areal.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksakte-trigonometriske-verdier-og-trekantberegninger/
### Oppgavetekst
Ovenfor ser du to avsnitt fra en lærebok for 10. klasse.
a) Vis at $DC = \dfrac{s\sqrt{3}}{2}$.
b) Bruk $\Delta ADC$ til å vise at $\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
I trekanten $PQR$ er $PQ = 8$ og $PR = 2\sqrt{3}$. Se skissen nedenfor.
c) Bestem arealet av $\Delta PQR$.
d) Vis at $\tan Q = \dfrac{3}{8 - \sqrt{3}}$.
---
## V2018 del 1 oppgave 13 — Koble fire andregradsfunksjoner til parabler
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 13
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Begrunne tilordning mellom fire andregradsfunksjoner og seks parabler ut fra nullpunkter og topp-/bunnpunkt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/koble-fire-andregradsfunksjoner-til-parabler/
### Oppgavetekst
Fire andregradsfunksjoner $p, q, r$ og $s$ er gitt ved
$$
p(x) = x^2 - 2x
$$
$$
q(x) = x^2 + 2x - 2
$$
$$
r(x) = 4 - x^2
$$
$$
s(x) = x^2 - 2x - 2
$$
Nedenfor ser du seks grafer.
Hvilken graf er grafen til $p$?
Hvilken graf er grafen til $q$?
Hvilken graf er grafen til $r$?
Hvilken graf er grafen til $s$?
Husk å begrunne svarene dine.
---
## V2018 del 2 oppgave 1 — Prisutvikling for kroneis med andregradsmodell
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Modellering, Gjennomsnittlig vekstfart
- **Kort beskrivelse:** Modellere prisutvikling med en andregradsfunksjon, plotte punkter og beregne gjennomsnittlig vekstfart.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/prisutvikling-for-kroneis-med-andregradsmodell/
### Oppgavetekst
| År | Pris (kroner) |
| :---: | :---: |
| 1970 | 1 |
| 1980 | 4 |
| 1990 | 8 |
| 2000 | 14 |
| 2010 | 20 |
| 2017 | 25 |
Tabellen ovenfor viser hvor mye en kroneis kostet noen utvalgte år i perioden fra 1970 til 2017.
a) Legg opplysningene i tabellen ovenfor inn som punkter i et koordinatsystem der $x$-aksen viser antall år etter 1970 og $y$-aksen viser pris (kroner).
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = 0{,}0054x^2 + 0{,}26x + 0{,}9 \quad , \quad x \in [0, 50]
$$
b) Tegn grafen til $f$ i samme koordinatsystem som du brukte i oppgave a).
I resten av denne oppgaven skal du bruke funksjonen $f$ som en modell som viser prisen $f(x)$ kroner for en kroneis $x$ år etter 1970.
c) Når var prisen for en kroneis 16 kroner, ifølge modellen?
d) Hvor mye har prisen for en kroneis i gjennomsnitt steget med per år fra 1975 til 2015?
---
## V2018 del 2 oppgave 2 — Leggetid og karaktersnitt med krysstabell og betinget sannsynlighet
- **Fag:** 1T, 1P
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Sette opp en krysstabell og beregne total og betinget sannsynlighet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/leggetid-og-karaktersnitt-med-krysstabell-og-betinget-sannsynlighet/
### Oppgavetekst
Ved en videregående skole er det 640 elever. I en undersøkelse ble elevene spurt om når de legger seg kvelden før en skoledag.
- $\dfrac{1}{4}$ av elevene svarte at de legger seg før klokka 23.
Det viser seg at
- $\dfrac{4}{5}$ av elevene som legger seg før klokka 23, har et karaktersnitt over fire
- $\dfrac{1}{3}$ av elevene som legger seg etter klokka 23, har et karaktersnitt over fire
a) Lag en krysstabell som illustrerer opplysningene som er gitt ovenfor.
Tenk deg at vi trekker ut en elev ved skolen tilfeldig.
b) Bestem sannsynligheten for at eleven har et karaktersnitt over fire.
Tenk deg at den eleven vi trakk i oppgave b), har et karaktersnitt over fire.
c) Bestem sannsynligheten for at denne eleven legger seg før klokka 23 kvelden før en skoledag.
---
## V2018 del 2 oppgave 3 — Trekant med sinussetningen og CAS
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, CAS, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Bruke sinussetningen i CAS til å bestemme en ukjent sidelengde i en trekant.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trekant-med-sinussetningen-og-cas/
### Oppgavetekst
Gitt trekanten ovenfor.
Bruk CAS til å bestemme $s$.
---
## V2018 del 2 oppgave 4 — Geometrisk bevis for addisjonssetningen for sinus
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Geometri, Bevis, Areal og omkrets
- **Kort beskrivelse:** Bevise addisjonssetningen for sinus geometrisk ved rettvinklede trekanter og arealsetningen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/geometrisk-bevis-for-addisjonssetningen-for-sinus/
### Oppgavetekst
Figuren ovenfor viser to rettvinklede trekanter, $\Delta ADC$ og $\Delta DBC$. $AC = a$, $BC = b$, $AD = c_1$, $DB = c_2$ og $CD = h$ er høyden fra $C$ på $AB$.
Maria påstår at høyden $h$ kan uttrykkes på to ulike måter:
1) $h = a \cdot \cos u$
2) $h = b \cdot \cos v$
a) Vis at Maria har rett.
For å bestemme arealet $T$ av $\Delta ABC$ vil Maria regne slik: $T = \dfrac{c_1 \cdot h}{2} + \dfrac{c_2 \cdot h}{2}$
b) Bruk blant annet resultatet fra oppgave a), og vis at dette uttrykket for arealet kan skrives som
$$
T = \frac{a \cdot \sin u \cdot b \cdot \cos v}{2} + \frac{b \cdot \sin v \cdot a \cdot \cos u}{2}
$$
Mats bruker arealsetningen og får at arealet av trekanten også kan skrives slik:
$$
T = \frac{1}{2} a \cdot b \cdot \sin(u + v)
$$
c) Bruk dette uttrykket og uttrykket du har for arealet fra oppgave b), til å vise at
$$
\sin(u + v) = \sin u \cdot \cos v + \sin v \cdot \cos u
$$
---
## V2018 del 2 oppgave 5 — Parabel korde og parallell tangent i midtpunktet
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Derivasjon, Bevis, CAS
- **Kort beskrivelse:** Bevise at tangenten i midtpunktet mellom to punkter på en parabel er parallell med korden.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/parabel-korde-og-parallell-tangent-i-midtpunktet/
### Oppgavetekst
En funksjon $f$ er gitt ved
$$
f(x) = x^2 - 6x + 8
$$
a) Vis at tangenten til grafen til $f$ i punktet $(4, f(4))$ er parallell med linjen som går gjennom punktene $(2, f(2))$ og $(6, f(6))$.
Nedenfor ser du grafen til en funksjon $g$ gitt ved
$$
g(x) = ax^2 + bx + c \quad , \quad a \ne 0
$$
b) Bruk CAS til å bestemme stigningstallet til tangenten til grafen til $g$ i punktet
$$
M\left(\frac{p+q}{2}, g\left(\frac{p+q}{2}\right)\right)
$$
c) Vis at linjen gjennom punktene $P(p, g(p))$ og $Q(q, g(q))$ er parallell med tangenten i oppgave b).
---
## H2018 del 1 oppgave 1 — Trigonometri i rettvinklet trekant med sinus
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Trigonometri, Rettvinklet trekant
- **Kort beskrivelse:** Bestemme sinus til en vinkel i en rettvinklet trekant med kjente kateter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trigonometri-i-rettvinklet-trekant-med-sinus/
### Oppgavetekst
Bruk trekanten ovenfor til å bestemme $\sin v$.
---
## H2018 del 1 oppgave 2 — Forenkling av rasjonalt brøkuttrykk ved faktorisering
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Rasjonale uttrykk, Faktorisering, Kvadratsetninger
- **Kort beskrivelse:** Forenkle et rasjonalt brøkuttrykk ved å faktorisere teller og nevner med konjugatsetningen og første kvadratsetning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkling-av-rasjonalt-brokuttrykk-ved-faktorisering/
### Oppgavetekst
Skriv så enkelt som mulig
$$
\frac{4x^2 - 4}{x^2 - 2x + 1}
$$
---
## H2018 del 1 oppgave 3 — Andregradsulikhet med røttene minus to og seks
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Ulikheter, Andregradsulikhet, Fortegnslinje
- **Kort beskrivelse:** Løse en andregradsulikhet ved faktorisering og fortegnsskjema.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/andregradsulikhet-med-rottene-minus-to-og-seks/
### Oppgavetekst
Løs ulikheten
$$
x^2 - 4x - 12 < 0
$$
---
## H2018 del 1 oppgave 4 — Likningssystem med andregradsfunksjon og linje
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Likningssystem, Andregradslikninger, Grafisk løsning
- **Kort beskrivelse:** Løse et ulineært likningssystem bestående av en parabel og en rett linje, både grafisk og ved regning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/likningssystem-med-andregradsfunksjon-og-linje/
### Oppgavetekst
Gitt likningssystemet
$$
\begin{bmatrix} y = -x^2 + 4 \\ y = x + 2 \end{bmatrix}
$$
Løs likningssystemet
a) grafisk
b) ved regning
---
## H2018 del 1 oppgave 5 — Forenkling av rotuttrykk med sjette- og fjerderot
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Tallregning, Potenser, Kvadratrøtter
- **Kort beskrivelse:** Forenkle et uttrykk med kvadratrøtter og høyere røtter ved å skrive om til potenser.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkling-av-rotuttrykk-med-sjette-og-fjerderot/
### Oppgavetekst
Regn ut
$$
\sqrt{12} - \sqrt[6]{3^3} - \sqrt[4]{9}
$$
---
## H2018 del 1 oppgave 6 — Eksponentlikning med toerpotens
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Likninger, Eksponentiallikning, Potenser
- **Kort beskrivelse:** Løse en eksponentlikning med toerpotenser ved potensregler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksponentlikning-med-toerpotens/
### Oppgavetekst
Løs likningen
$$
2^x \cdot 2^{\frac{x}{2}} = \frac{1}{8}
$$
---
## H2018 del 1 oppgave 7 — Areal og omkrets av to sirkler
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Sirkel, Areal og omkrets
- **Kort beskrivelse:** Bestemme radius i en sirkel hvis areal er fire ganger så stort som en sirkel med oppgitt omkrets.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/areal-og-omkrets-av-to-sirkler/
### Oppgavetekst
En sirkel $S_1$ har omkrets $5\pi$.
En annen sirkel $S_2$ har et areal som er fire ganger så stort som arealet av $S_1$.
Bestem radius i sirkelen $S_2$.
---
## H2018 del 1 oppgave 8 — Funksjonsdrøfting med derivert terrassepunkt og bunnpunkt
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Derivasjon, Tangentlikning, Stasjonære punkter, Fortegnslinje
- **Kort beskrivelse:** Drøfte en funksjon ut fra graf og faktorisert derivert, finne tangentlikning og vise bunnpunkt og terrassepunkt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/funksjonsdrofting-med-derivert-terrassepunkt-og-bunnpunkt/
### Oppgavetekst
I koordinatsystemet ovenfor ser du grafen til en funksjon $f$.
Du får vite dette om funksjonen:
- Grafen går gjennom de tre punktene $(-2, -6)$, $(0, 0)$ og $\left(1, \frac{3}{4}\right)$
- $f'(x) = (x - 1)(x - 1)(x + 2)$
a) Bestem $f'(0)$
b) Bestem likningen for tangenten til grafen til $f$ i punktet $(0, 0)$.
c) Vis ved regning at punktet $(-2, -6)$ er et bunnpunkt, og at punktet $\left(1, \frac{3}{4}\right)$ er et terrassepunkt på grafen til $f$.
---
## H2018 del 1 oppgave 9 — Kast med to terninger og betinget sannsynlighet
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Betinget sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Beregne sannsynlighet for nøyaktig én toer ved kast med to terninger, og betinget sannsynlighet gitt sum lik 8.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kast-med-to-terninger-og-betinget-sannsynlighet/
### Oppgavetekst
Tenk deg at du skal kaste to terninger én gang.
a) Bestem sannsynligheten for at du vil få nøyaktig én toer.
Anta at summen av antall øyne blir åtte når du kaster terningene.
b) Bestem sannsynligheten for at ingen av terningene da viser en toer.
---
## H2018 del 1 oppgave 10 — Trekant med vinkel 30 grader og to løsninger
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 10
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Trigonometri, Sinussetningen, Konstruksjon
- **Kort beskrivelse:** Undersøke trekant med vinkel 30 grader og sidelengder, finne minste motstående katet/side, bruke sinussetningen og finne to vinkelløsninger.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trekant-med-vinkel-30-grader-og-to-losninger/
### Oppgavetekst
Du får vite dette om en trekant $ABC$:
- $\angle A = 30^\circ$
- $AC = 10$
a) Hva er den minste lengden $BC$ kan ha? Lag en skisse som viser hvordan trekanten ser ut dersom $BC$ har denne lengden.
Tenk deg at vi flytter punktet $B$ slik at vi får en trekant $ABC$ der $\angle A = 30^\circ$, $AC = 10$ og $BC = 8$.
b) Bruk sinussetningen til å bestemme sinus til $\angle B$ ($\sin B$).
Sinussetningen gir oss to løsninger. Den ene er $\angle B = 38{,}7^\circ$.
c) Bestem den andre løsningen, og lag skisser som viser hvordan trekanten $ABC$ kan se ut dersom $BC = 8$.
---
## H2018 del 1 oppgave 11 — Maksimalt areal av rektangel innskrevet i rettvinklet trekant
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 11
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Formlike trekanter, Algebra, Funksjoner, Optimering
- **Kort beskrivelse:** Vise formlikhet, utlede uttrykk for høyde og areal av et rektangel innskrevet i en rettvinklet trekant, og finne maksimalt areal.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/maksimalt-areal-av-rektangel-innskrevet-i-rettvinklet-trekant/
### Oppgavetekst
Gitt en rettvinklet trekant $ABC$ med sider $AB = 6$, $AC = 8$ og $BC = 10$. Et rektangel $ADEF$ med sider $x$ og $h$ er innskrevet i trekanten. Se figuren ovenfor.
a) Forklar at $\Delta DBE$ og $\Delta FEC$ er formlike.
b) Vis at $h = -\frac{4}{3}x + 8$
c) Forklar at $x \in \langle 0, 6 \rangle$, og vis at arealet av rektangelet $ADEF$ er gitt ved
$$
g(x) = -\frac{4}{3}x^2 + 8x
$$
d) Bestem $x$ slik at arealet av rektangelet blir størst mulig.
---
## H2018 del 2 oppgave 1 — Volleyballbane og andregradsfunksjon for ballbane
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Modellering, Andregradsfunksjon, Graftegner
- **Kort beskrivelse:** Modellere ballbane i volleyball med en andregradsfunksjon og vurdere om ballen passerer over nettet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/volleyballbane-og-andregradsfunksjon-for-ballbane/
### Oppgavetekst
Skissen ovenfor viser en volleyballbane. Nettet står midt på banen. Når kvinner spiller kamper, skal høyden på nettet være $2{,}24\mathrm{~m}$, og når menn spiller kamper, skal høyden på nettet være $2{,}43\mathrm{~m}$.
En spiller slår en ball fra enden av sin banehalvdel og rett over mot den andre siden. Vi antar at ballen beveger seg parallelt med langsidene på volleyballbanen. Funksjonen $h$ gitt ved
$$
h(x) = -0{,}07x^2 + 0{,}67x + 2{,}04, \quad 0 \le x \le 12
$$
viser hvor mange meter $h(x)$ ballen vil være over bakken når den har beveget seg $x$ meter horisontalt, dersom den ikke treffer på noen hindringer.
a) Bruk graftegner til å tegne grafen til $h$ for $x \in [0, 12]$.
b) Vil ballen gå over nettet? Begrunn svaret ditt.
---
## H2018 del 2 oppgave 2 — Tredjegradsfunksjon med parameter k og CAS-drøfting
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, CAS, Derivasjon, Tangentlikning, Vekstfart, Parametere
- **Kort beskrivelse:** Drøfte tredjegradsfunksjon med parameter k i CAS, finne nullpunkter, ekstremalpunkter, tangentlikning og sammenligne vekstfart.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tredjegradsfunksjon-med-parameter-k-og-cas-drofting/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = -x^3 + k \cdot x^2, \quad k \ge 1
$$
a) Bestem nullpunktene til $f$.
b) Bruk CAS til å vise at grafen til $f$ har et bunnpunkt i $(0, 0)$ og et toppunkt i $\left(\frac{2}{3}k, \frac{4}{27}k^3\right)$.
c) Bruk CAS til å bestemme likningen for tangenten til grafen til $f$ i punktet $(1, f(1))$. Skriv likningen på formen $y = ax + b$.
d) Bruk CAS og vis at den momentane vekstfarten til $f$ når $x = 1$, alltid er større enn den gjennomsnittlige vekstfarten til $f$ fra $x = 0$ til $x = 2$.
---
## H2018 del 2 oppgave 3 — Kinokiosken krysstabell og betinget sannsynlighet
- **Fag:** 1T, 1P
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Krysstabell, Venndiagram, Betinget sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Sette opp krysstabell eller venndiagram for kinokunder og regne ut sannsynlighet og betinget sannsynlighet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kinokiosken-krysstabell-og-betinget-sannsynlighet/
### Oppgavetekst
En kveld var 450 kunder innom Kinokiosken. 280 kjøpte popcorn, og 220 kjøpte smågodt. 30 kjøpte verken popcorn eller smågodt.
a) Systematiser opplysningene ovenfor i en krysstabell eller i et venndiagram.
b) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt kunde kjøpte både popcorn og smågodt.
En kunde kjøpte smågodt.
c) Bestem sannsynligheten for at kunden ikke kjøpte popcorn.
---
## H2018 del 2 oppgave 4 — Trekant med sider uttrykt ved s og cosinussetningen
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Trigonometri, Cosinussetningen, Arealsetningen
- **Kort beskrivelse:** Bestemme eksakt areal og motstående side i en trekant ved arealsetningen og cosinussetningen, og vise at den ikke kan være rettvinklet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trekant-med-sider-uttrykt-ved-s-og-cosinussetningen/
### Oppgavetekst
Gitt $\Delta ABC$ ovenfor.
a) Bestem et eksakt uttrykk for arealet av trekanten uttrykt ved $s$.
b) Bestem et eksakt uttrykk for lengden $BC$ uttrykt ved $s$.
c) Vis at trekanten ikke er rettvinklet for noen verdi av $s$.
---
## H2018 del 2 oppgave 5 — Herons formel og likebeint trekant i CAS
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometri, CAS, Likningssystem
- **Kort beskrivelse:** Bruke Herons formel og CAS til å vise at det finnes to likebeinte trekanter med oppgitt omkrets og areal, og bestemme sidene eksakt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/herons-formel-og-likebeint-trekant-i-cas/
### Oppgavetekst
Heron fra Alexandria levde i det første århundret av vår tidsregning. Han har fått en formel oppkalt etter seg.
Vi kan bruke Herons formel til å regne ut arealet $T$ av en trekant med sider $a$, $b$ og $c$. Arealet er
$$
T = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} \quad \text{der} \quad s = \frac{a + b + c}{2}
$$
Du får vite dette om en trekant:
- Omkretsen av trekanten er 18.
- Arealet av trekanten er 12.
- To av sidene i trekanten er like lange.
Bruk CAS til å vise at det finnes to ulike trekanter som tilfredsstiller kravene ovenfor. Bestem lengden av sidene i trekantene eksakt.
---
## V2017 del 1 oppgave 1 — Standardform for brøk med tierpotenser og negative eksponenter
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Potenser, Brøk
- **Kort beskrivelse:** Regn ut en brøk med tierpotenser og negative eksponenter og skriv svaret på standardform.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/standardform-for-brok-med-tierpotenser-og-negative-eksponenter/
### Oppgavetekst
Regn ut og skriv svaret på standardform
$$
\frac{0{,}72 \cdot 10^8}{60 \cdot 10^{-8}}
$$
---
## V2017 del 1 oppgave 2 — Forenkling av potensuttrykk med grunntall 2 og 4
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Potenser, Potensregning, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Regn ut et potensuttrykk med nullte potens, negative eksponenter og potens av potens.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkling-av-potensuttrykk-med-grunntall-2-og-4/
### Oppgavetekst
Regn ut
$$
4^0 + 2^{-3} \cdot (2^3)^2
$$
---
## V2017 del 1 oppgave 3 — Forenkling av rotuttrykk med kvadratrøtter og brøk
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Røtter, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Trekk sammen og forenkle et uttrykk med kvadratrøtter og brøk.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkling-av-rotuttrykk-med-kvadratrotter-og-brok/
### Oppgavetekst
Regn ut og skriv svaret så enkelt som mulig
$$
\sqrt{20} + \sqrt{5} - \frac{\sqrt{160}}{\sqrt{2}}
$$
---
## V2017 del 1 oppgave 4 — Ikke-lineært likningssystem med andregradsledd og sirkellikning
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Andregradslikninger, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Løs et ikke-lineært likningssystem ved innsettingsmetoden.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ikke-lineaert-likningssystem-med-andregradsledd-og-sirkellikning/
### Oppgavetekst
Løs likningssystemet
$$
\begin{aligned}
x^2 + y^2 &= 4 \\[4pt]
x + 2 &= y
\end{aligned}
$$
---
## V2017 del 1 oppgave 5 — Logaritmelikning med tierlogaritme og andregradsuttrykk
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Logaritmer, Logaritmelikning, Andregradslikninger
- **Kort beskrivelse:** Løs en logaritmelikning med tierlogaritme der argumentet er et andregradsuttrykk.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/logaritmelikning-med-tierlogaritme-og-andregradsuttrykk/
### Oppgavetekst
Løs likningen
$$
\lg\left(x^2 + \frac{3}{4}\right) = 0
$$
---
## V2017 del 1 oppgave 6 — Sammentrekning av rasjonale brøker med faktorisering
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rasjonale uttrykk, Fellesnevner, Brøk, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Trekk sammen og forenkle rasjonale brøker ved å finne fellesnevner.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sammentrekning-av-rasjonale-broker-med-faktorisering/
### Oppgavetekst
Skriv så enkelt som mulig
$$
\frac{1}{x} + \frac{x-5}{x-1} - \frac{2x-6}{x^2-x}
$$
---
## V2017 del 1 oppgave 7 — Sannsynlighet for avislesing med krysstabell og betinget sannsynlighet
- **Fag:** 1T, 1P
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Krysstabell, Venndiagram, Betinget sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Systematiser opplysninger om avislesing i et venndiagram eller en krysstabell, og regn ut sannsynlighet og betinget sannsynlighet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sannsynlighet-for-avislesing-med-krysstabell-og-betinget-sannsynlighet/
### Oppgavetekst
Ved en skole leser $80\ \%$ av elevene aviser på nett, $50\ \%$ leser papiraviser, og $2\ \%$ leser ikke aviser.
a) Systematiser opplysningene gitt i teksten ovenfor i et venndiagram eller i en krysstabell.
b) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev ved skolen leser både aviser på nett og papiraviser.
c) En elev ved skolen leser aviser på nett. Bestem sannsynligheten for at denne eleven ikke leser papiraviser.
---
## V2017 del 1 oppgave 8 — Sidelengder i rettvinklet trekant med Pytagoras og differanse
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Pytagoras, Rettvinklet trekant, Andregradslikninger
- **Kort beskrivelse:** Bestem hypotenusen i en rettvinklet trekant der korteste side er 20 og differansen mellom de to andre sidene er 2.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sidelengder-i-rettvinklet-trekant-med-pytagoras-og-differanse/
### Oppgavetekst
Om en rettvinklet trekant får du vite:
- Lengden av den korteste siden er 20
- Differansen mellom lengdene av de to andre sidene er 2
Hvor lang er den lengste siden i denne trekanten?
---
## V2017 del 1 oppgave 9 — Gjennomsnittlig og momentan vekstfart for tredjegradsfunksjon
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Polynomfunksjoner, Derivasjon, Vekstfart
- **Kort beskrivelse:** Bestem gjennomsnittlig vekstfart i et intervall og momentan vekstfart ved derivasjon for en tredjegradsfunksjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gjennomsnittlig-og-momentan-vekstfart-for-tredjegradsfunksjon/
### Oppgavetekst
En funksjon $f$ er gitt ved
$$
f(x) = x^3 + 3x^2 - 2x - 3
$$
a) Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til $f$ i intervallet $[-2, 0]$.
b) Bestem den momentane vekstfarten til $f$ når $x = -2$.
---
## V2017 del 1 oppgave 10 — Grafisk løsning av ulikheter for funksjon og derivert
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 10
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Graftolkning, Ulikheter, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Løs ulikheter for funksjonsverdi og den deriverte grafisk ut fra en tegnet tredjegradsfunksjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/grafisk-losning-av-ulikheter-for-funksjon-og-derivert/
### Oppgavetekst
I koordinatsystemet ovenfor har vi tegnet grafen til en tredjegradsfunksjon $f$.
Bruk den grafiske framstillingen til å løse ulikhetene
a)
$$
f(x) > 0
$$
b)
$$
f'(x) > 0
$$
---
## V2017 del 1 oppgave 11 — Andregradsfunksjon med nullpunkter, symmetrilinje og parallelle tangenter
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 11
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Andregradsfunksjon, Tangent, Derivasjon, Skjæringspunkt
- **Kort beskrivelse:** Full drøfting av andregradsfunksjon: nullpunkter, symmetrilinje, tangent med gitt stigningstall, skjæringspunkt og andre tangent.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/andregradsfunksjon-med-nullpunkter-symmetrilinje-og-parallelle-tangenter/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = x^2 - 4x + 3
$$
a) Bestem nullpunktene til $f$.
b) Grafen til $f$ er symmetrisk om en linje $\ell$. Tegn grafen til $f$ sammen med linjen $\ell$ i et koordinatsystem.
c) Grafen til $f$ har en tangent med stigningstall 2. Bestem likningen for denne tangenten. Tegn tangenten i det samme koordinatsystemet som du brukte i oppgave b).
d) Tangenten fra oppgave c) skjærer linjen $\ell$ i punktet $P$. Grafen til $f$ har en annen tangent som også går gjennom punktet $P$. Skisser denne tangenten i samme koordinatsystem som du har brukt tidligere i oppgaven. Bestem likningen for tangenten grafisk.
e) Gjør beregninger og avgjør om likningen du fant i oppgave d), er riktig.
---
## V2017 del 1 oppgave 12 — Eksakte trigonometriske verdier og trekantberegning med cosinussetningen
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 12
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Rettvinklet trekant, Arealsetningen, Cosinussetningen, Eksakte verdier
- **Kort beskrivelse:** Vis eksakte verdier for 30 graders vinkel fra rettvinklet trekant, og bruk dem til areal og cosinussetningen i vilkårlig trekant.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksakte-trigonometriske-verdier-og-trekantberegning-med-cosinussetningen/
### Oppgavetekst
a) Bruk $\triangle PQR$ ovenfor til å vise at
$$
\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}, \quad \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}
$$
Videre i oppgaven kan du få bruk for noen av disse trigonometriske verdiene.
b) I $\triangle ABC$ er $AB = 2$, $AC = 4$ og $\angle A = 30^\circ$. Bestem arealet av $\triangle ABC$.
c) Vis at
$$
BC = 2\sqrt{5 - 2\sqrt{3}}
$$
---
## V2017 del 2 oppgave 1 — Tredjegradsmodell for fyllingsgrad i vannmagasin
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Polynomfunksjoner, Graftegner, Derivasjon, Tangent, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Tredjegradsmodell for fyllingsgrad i vannmagasin: graftegner, ulikhet f(x)>60, bunnpunkt og tangent med tolkning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tredjegradsmodell-for-fyllingsgrad-i-vannmagasin/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ gitt ved
$$
f(x) = -0{,}0047x^3 + 0{,}40x^2 - 8{,}3x + 86, \quad x \in [0, 52]
$$
viser fyllingsgraden $f(x)$ prosent i et vannmagasin $x$ uker etter 1. januar 2016.
a) Bruk graftegner til å tegne grafen til $f$.
b) I hvor mange uker var fyllingsgraden høyere enn 60 %?
c) I hvilken uke var fyllingsgraden lavest?
Hvor stor del av vannmagasinet var fylt da?
d) Bestem likningen for tangenten til grafen til $f$ i punktet $(22, f(22))$.
Hva forteller stigningstallet til denne tangenten om fyllingsgraden i vannmagasinet?
---
## V2017 del 2 oppgave 2 — Lineært likningssett for pris på kinobilletter
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Modellering, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Bestem prisen på barnebillett og voksenbillett ved å sette opp og løse et lineært likningssett.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaert-likningssett-for-pris-pa-kinobilletter/
### Oppgavetekst
To voksne og tre barn betaler til sammen 520 kroner for billetter til en kinoforestilling. En voksenbillett koster 40 kroner mer enn en barnebillett.
Hvor mye koster en barnebillett, og hvor mye koster en voksenbillett?
---
## V2017 del 2 oppgave 3 — Lineær modell for andel dagligrøykere fra linjediagram
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Modellering, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Bestem lineær modell for utvikling i dagligrøykere fra et linjediagram og finn når andelen når 5 prosent.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-modell-for-andel-dagligroykere-fra-linjediagram/
### Oppgavetekst
Linjediagrammet ovenfor viser hvordan andelen dagligrøykere ved en bedrift har avtatt i perioden 2000–2017.
a) Bestem en lineær modell som tilnærmet beskriver utviklingen.
b) Når vil andelen dagligrøykere ved bedriften være 5 % ifølge modellen i oppgave a)?
---
## V2017 del 2 oppgave 4 — Sannsynlighet for defekte melkekartonger og Bayes setning
- **Fag:** 1T, 1P
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Betinget sannsynlighet, Krysstabell
- **Kort beskrivelse:** Beregn total sannsynlighet for defekt kartong og betinget sannsynlighet for lettmelk gitt feil på kork.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sannsynlighet-for-defekte-melkekartonger-og-bayes-setning/
### Oppgavetekst
Ved et meieri blir det oppdaget en feil ved en av maskinene som skrur korker på kartongene. På kjølelageret er det 200 kartonger med lettmelk og 100 kartonger med helmelk. $\frac{2}{5}$ av kartongene med lettmelk og $\frac{1}{4}$ av kartongene med helmelk har ikke tett kork.
Tenk deg at du skal ta en kartong tilfeldig fra kjølelageret.
a) Bestem sannsynligheten for at kartongen ikke har tett kork.
b) Anta at du tar en kartong som ikke har tett kork. Bestem sannsynligheten for at kartongen inneholder lettmelk.
---
## V2017 del 2 oppgave 5 — Trekantberegning med cosinussetningen og CAS for parameter s
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Cosinussetningen, CAS, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Bruk cosinussetningen og CAS til å bestemme parameteren s i en trekant.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trekantberegning-med-cosinussetningen-og-cas-for-parameter-s/
### Oppgavetekst
Gitt trekanten ovenfor.
Bruk CAS til å bestemme $s$.
---
## V2017 del 2 oppgave 6 — Undersøkelse av stasjonært punkt med parameter i CAS
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** CAS, Polynomfunksjoner, Derivasjon, Stasjonære punkter
- **Kort beskrivelse:** Bruk CAS til å undersøke nullpunkt og stasjonært punkt for en polynomfunksjon med parameter a, og klassifiser punktet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/undersokelse-av-stasjonaert-punkt-med-parameter-i-cas/
### Oppgavetekst
En funksjon $f$ er gitt ved
$$
f(x) = x^3 - 2ax^2 + a^2 x, \quad a > 0
$$
Bruk CAS til å
- vise at grafen til $f$ har et nullpunkt og et stasjonært punkt i $P(a, 0)$
- avgjøre om $P$ er et toppunkt, et bunnpunkt eller et terrassepunkt
---
## V2017 del 2 oppgave 7 — Geometrisk bevis og arealberegning for sirkelbuer med CAS
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Sirkel, Pytagoras, Areal og omkrets, CAS, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Vis radiusforholdet r = 2/3 R i en sammensatt sirkelfigur med Pytagoras, og bestem det fargede arealet med CAS.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/geometrisk-bevis-og-arealberegning-for-sirkelbuer-med-cas/
### Oppgavetekst
Figuren ovenfor viser
- en halvsirkel med sentrum i $B$ og radius $R$
- en halvsirkel med sentrum i $C$ og radius $r$
- en kvart sirkel med sentrum i $A$ og radius $2R$
De to halvsirklene tangerer hverandre i punktet $D$. Punktet $D$ ligger på linjen gjennom $B$ og $C$.
a) Bruk Pytagoras' setning til å vise at
$$
r = \frac{2}{3}R
$$
b) Bruk CAS til å bestemme arealet av det blå området på figuren uttrykt ved $R$.
---
## H2017 del 1 oppgave 1 — Standardform for brøk med store tall og desimaltall
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Potenser, Brøk
- **Kort beskrivelse:** Regn ut en brøk med store tall og desimaltall og skriv svaret på standardform.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/standardform-for-brok-med-store-tall-og-desimaltall/
### Oppgavetekst
Regn ut og skriv svaret på standardform
$$
\frac{120 \cdot 25000}{0{,}15}
$$
---
## H2017 del 1 oppgave 2 — Grafisk løsning av lineær likning med to rette linjer
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Likninger, Grafisk løsning
- **Kort beskrivelse:** Løs en lineær likning grafisk ved å finne skjæringspunktet mellom to rette linjer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/grafisk-losning-av-lineaer-likning-med-to-rette-linjer/
### Oppgavetekst
Løs likningen grafisk
$$
\frac{1}{2}x - 1 = 9 - 2x
$$
---
## H2017 del 1 oppgave 3 — Andregradsulikhet løst med faktorisering og fortegnsskjema
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Andregradsulikhet, Fortegnslinje, Ulikheter
- **Kort beskrivelse:** Løs en andregradsulikhet ved faktorisering og fortegnsskjema.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/andregradsulikhet-lost-med-faktorisering-og-fortegnsskjema/
### Oppgavetekst
Løs ulikheten
$$
x^2 - x - 12 \le 0
$$
---
## H2017 del 1 oppgave 4 — Sortering av trigonometriske verdier og logaritmer i stigende rekkefølge
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Logaritmer, Trigonometri
- **Kort beskrivelse:** Sorter trigonometriske verdier og logaritmer i stigende rekkefølge med begrunnelse.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sortering-av-trigonometriske-verdier-og-logaritmer-i-stigende-rekkefolge/
### Oppgavetekst
Sorter tallene i stigende rekkefølge. Vis eller forklar hvordan du har tenkt.
$$
\sin 73^\circ, \quad \tan 45^\circ, \quad \lg 1, \quad \lg\left(10^{-\frac{1}{4}}\right)
$$
---
## H2017 del 1 oppgave 5 — Logaritmelikning med tierlogaritme og brøkledd
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Logaritmelikning, Logaritmer, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Løs en logaritmelikning med tierlogaritme og brøk.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/logaritmelikning-med-tierlogaritme-og-brokledd/
### Oppgavetekst
Løs likningen
$$
\lg\left(x + \frac{1}{25}\right) = -2
$$
---
## H2017 del 1 oppgave 6 — Forenkling av brøkuttrykk med kvadratrøtter i teller og nevner
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Røtter, Brøk
- **Kort beskrivelse:** Forenkle en brøk sammensatt av summer og produkter av kvadratrøtter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkling-av-brokuttrykk-med-kvadratrotter-i-teller-og-nevner/
### Oppgavetekst
Skriv så enkelt som mulig
$$
\frac{\sqrt{x} + \sqrt{x} + \sqrt{x}}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}
$$
---
## H2017 del 1 oppgave 7 — Forenkling av uttrykk med røtter og rasjonale eksponenter
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Røtter, Potenser, Potensregning
- **Kort beskrivelse:** Forenkle et uttrykk med røtter, brøkekponenter og negative potenser.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkling-av-uttrykk-med-rotter-og-rasjonale-eksponenter/
### Oppgavetekst
Skriv så enkelt som mulig
$$
\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{30}} \cdot 5^{-1} \cdot 10^{\frac{1}{2}} + 8^{\frac{1}{3}}
$$
---
## H2017 del 1 oppgave 8 — Bestemmelse av lineær funksjon ut fra funksjonsverdi og derivert
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Derivasjon, Stigningstall
- **Kort beskrivelse:** Bestem funksjonsuttrykket for en lineær funksjon ut fra funksjonsverdi og derivert i et punkt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bestemmelse-av-lineaer-funksjon-ut-fra-funksjonsverdi-og-derivert/
### Oppgavetekst
Om en lineær funksjon $f$ får du vite at
- $f(2) = 4$
- $f'(2) = 3$
Bestem funksjonsuttrykket $f(x)$.
---
## H2017 del 1 oppgave 9 — Faktorisering og sammentrekning av rasjonale uttrykk
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Faktorisering, Rasjonale funksjoner, Brøk, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Faktoriser et andregradsuttrykk og bruk resultatet til å forenkle en sum av rasjonale brøker.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/faktorisering-og-sammentrekning-av-rasjonale-uttrykk/
### Oppgavetekst
a) Faktoriser uttrykket
$$
3x^2 - 9x
$$
b) Skriv så enkelt som mulig
$$
\frac{x}{x-2} + \frac{2x}{x-3} - \frac{2x}{x^2 - 5x + 6}
$$
---
## H2017 del 1 oppgave 10 — Betinget sannsynlighet for fagvalg i parallelle klasser
- **Fag:** 1T, 1P
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 10
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Betinget sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Beregn sannsynlighet og betinget sannsynlighet for fagvalg i to skoleklasser.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/betinget-sannsynlighet-for-fagvalg-i-parallelle-klasser/
### Oppgavetekst
Ved en skole er det to Vg2-klasser, 2A og 2B. Det er like mange elever i hver klasse. Alle elevene i 2A har valgt biologi. Halvparten av elevene i 2B har valgt biologi.
a) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev i Vg2 har valgt biologi.
b) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev i Vg2 som har valgt biologi, går i klasse 2A.
---
## H2017 del 1 oppgave 11 — Gjennomsnittlig vekstfart og terrassepunkt for fjerdegradsfunksjon
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 11
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vekstfart, Derivasjon, Stasjonære punkter, Polynomfunksjoner
- **Kort beskrivelse:** Bestem gjennomsnittlig vekstfart og vis at et punkt er et terrassepunkt for en fjerdegradsfunksjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gjennomsnittlig-vekstfart-og-terrassepunkt-for-fjerdegradsfunksjon/
### Oppgavetekst
En funksjon $f$ er gitt ved
$$
f(x) = x^4 - 2x^3 + 2
$$
a) Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til $f$ i intervallet $[-1, 1]$.
b) Vis at $(0, 2)$ er et terrassepunkt på grafen til $f$.
---
## H2017 del 1 oppgave 12 — Tangent og parallelle tangenter for tredjegradsfunksjon
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 12
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Polynomfunksjoner, Derivasjon, Tangent, Vekstfart
- **Kort beskrivelse:** Deriver en tredjegradsfunksjon, finn tangentlikningen og undersøk eksistensen av parallelle tangenter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tangent-og-parallelle-tangenter-for-tredjegradsfunksjon/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 8
$$
a) Bestem $f'(x)$.
b) Bestem likningen for tangenten til $f$ i punktet $(1, f(1))$.
c) Har grafen til $f$ én eller flere andre tangenter som er parallelle med tangenten du fant i oppgave b)? Begrunn svaret ditt.
---
## H2017 del 1 oppgave 13 — Konstruksjon og skisse av formlike rettvinklede trekanter med tangens
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 13
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Formlike trekanter, Rettvinklet trekant, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Skisser to formlike rettvinklede trekanter basert på tangensverdier og forhold mellom hypotenuser.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/konstruksjon-og-skisse-av-formlike-rettvinklede-trekanter-med-tangens/
### Oppgavetekst
Om trekantene $ABC$ og $DEF$ får du vite dette:
- $\angle B = \angle E = 90^\circ$
- $\tan A = \tan D = \frac{5}{12}$
- $AC = 2DF$
Lag en skisse som viser hvordan trekantene kan se ut. Sett mål på skissen.
---
## H2017 del 1 oppgave 14 — Omkrets og areal for sammensatt sirkelfigur på rutenett
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 14
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Sirkel, Areal og omkrets, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Bestem omkrets og areal for en sammensatt figur av sirkelbuer på et rutenett uttrykt ved a.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/omkrets-og-areal-for-sammensatt-sirkelfigur-pa-rutenett/
### Oppgavetekst
Den blå figuren ovenfor er tegnet på et rutenett. Rutene er kvadratiske med sider $a$.
a) Bestem omkretsen av figuren uttrykt ved $a$.
b) Bestem arealet av figuren uttrykt ved $a$.
---
## H2017 del 2 oppgave 1 — Tredjegradsmodell for vekst i Wikipedia-artikler med graftegner og derivasjon
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Polynomfunksjoner, Regresjon, Derivasjon, Vekstfart, Graftegner
- **Kort beskrivelse:** Analyser en tredjegradsmodell for veksten i antall Wikipedia-artikler med graftegner, vekstfart og toppunkt for den deriverte.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tredjegradsmodell-for-vekst-i-wikipedia-artikler-med-graftegner-og-derivasjon/
### Oppgavetekst
Antall tusen artikler i den engelske utgaven av Wikipedia $x$ år etter 1. januar 2002 er tilnærmet gitt ved funksjonen $f$ der
$$
f(x) = -2{,}34x^3 + 50x^2 + 129x + 19{,}7 \quad , \quad x \in [0, 15]
$$
a) Bruk graftegner til å tegne grafen til $f$ for $x \in [0, 15]$.
b) Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til funksjonen $f$ i intervallet $[0, 15]$.
c) Bestem $f'(x)$ og tegn grafen til den deriverte for $x \in \langle 0, 15 \rangle$.
d) Bestem toppunktet til grafen du tegnet i oppgave c).
Hvilken praktisk informasjon gir grafen til $f'$ og koordinatene til toppunktet på denne grafen oss?
---
## H2017 del 2 oppgave 2 — Sannsynlighet for feilfrie og defekte julekuler uten tilbakelegging
- **Fag:** 1T, 1P
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Hypergeometrisk fordeling
- **Kort beskrivelse:** Beregn sannsynlighet for å trekke ødelagte julekuler uten tilbakelegging.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sannsynlighet-for-feilfrie-og-defekte-julekuler-uten-tilbakelegging/
### Oppgavetekst
I en eske ligger det tre hvite og ni røde julekuler. Én av de hvite og fire av de røde kulene er ødelagt.
Tenk deg at du skal ta to kuler tilfeldig fra esken.
a) Bestem sannsynligheten for at du kommer til å ta to kuler som ikke er ødelagt.
b) Bestem sannsynligheten for at minst én av kulene du kommer til å ta, er ødelagt.
---
## H2017 del 2 oppgave 3 — Beregning av fjellhøyde med vinkelmålinger og tangens
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Rettvinklet trekant, Likningssystem
- **Kort beskrivelse:** Bestem høyden til et fjell ved hjelp av to vinkelmålinger og tangens i rettvinklede trekanter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/beregning-av-fjellhoyde-med-vinkelmalinger-og-tangens/
### Oppgavetekst
Magnus og Monika står på en horisontal slette 100 m og 240 m fra foten av et fjell. De måler vinklene som er gitt på figuren ovenfor.
Bestem høyden $h$ av fjellet.
---
## H2017 del 2 oppgave 4 — Eksakt omkrets og areal til firkant ved cosinussetningen og trekantoppdeling
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Cosinussetningen, Sinussetningen, Trigonometri, Areal og omkrets
- **Kort beskrivelse:** Bestem eksakt omkrets og areal til en firkant ved hjelp av cosinussetningen og oppdeling i trekanter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksakt-omkrets-og-areal-til-firkant-ved-cosinussetningen-og-trekantoppdeling/
### Oppgavetekst
Gitt firkanten $ABCD$ ovenfor. $AB = 8$, $BC = 12$ og $CD = 8\sqrt{3}$.
a) Bestem omkretsen av firkanten $ABCD$ eksakt.
b) Bestem arealet av firkanten $ABCD$ eksakt.
---
## H2017 del 2 oppgave 5 — Bunnpunkt og tangenters skjæringspunkt for generell parabel med CAS
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Andregradsfunksjon, Derivasjon, Tangent, CAS, Stasjonære punkter
- **Kort beskrivelse:** Bestem bunnpunkt for andregradsfunksjoner og vis med CAS at tangenters skjæringspunkt har x-koordinat midt mellom tangeringspunktene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bunnpunkt-og-tangenters-skjaeringspunkt-for-generell-parabel-med-cas/
### Oppgavetekst
En funksjon $f$ er gitt ved
$$
f(x) = 2x^2 - 7x + 3
$$
a) Forklar at grafen til $f$ har et bunnpunkt, og bestem koordinatene til bunnpunktet.
b) En funksjon $g$ er gitt ved
$$
g(x) = ax^2 + bx + c \quad , \quad a > 0
$$
Bruk CAS til å vise at bunnpunktet på grafen til $g$ har koordinater
$$
\left(-\frac{b}{2a}, \frac{-b^2 + 4ac}{4a}\right)
$$
c) 
En linje tangerer grafen til $g$ i punktet $S(s, g(s))$. En annen linje tangerer grafen til $g$ i punktet $T(t, g(t))$. De to linjene skjærer hverandre i punktet $P$. Se figuren ovenfor.
Bruk CAS til å vise at $x$-koordinaten til $P$ ligger midt mellom $s$ og $t$.
---
## V2016 del 1 oppgave 1 — Standardform for produkt av tierpotens og lite desimaltall
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Potenser
- **Kort beskrivelse:** Regn ut kvotienten mellom en tierpotens og et lite desimaltall og skriv svaret på standardform.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/standardform-for-produkt-av-tierpotens-og-lite-desimaltall/
### Oppgavetekst
Regn ut og skriv svaret på standardform:
$$
\frac{1{,}8 \cdot 10^{12}}{0{,}0005}
$$
---
## V2016 del 1 oppgave 2 — Plassere tall og potenser på tallinje
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Potenser, Logaritmer, Trigonometri, Røtter
- **Kort beskrivelse:** Regn ut eller forklar plasseringen til seks ulike tall og potenser på en tallinje.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/plassere-tall-og-potenser-pa-tallinje/
### Oppgavetekst
På tallinjen ovenfor er det merket av 12 punkter. Hvert av tallene nedenfor tilsvarer ett av punktene $A\text{–}L$ på tallinjen.
Regn ut eller forklar hvor hvert av tallene skal plasseres.
1\) $4^{-1}$
2\) $4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^0$
3\) $\lg 0{,}001$
4\) $5^{\frac{1}{2}}$
5\) $\tan 45^\circ$
6\) $\sqrt[3]{27}$
---
## V2016 del 1 oppgave 3 — Ikke-lineært likningssystem med andregradsledd
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Andregradslikninger, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Løs et ikke-lineært likningssystem der den ene likningen er en sirkellikning, ved innsetting.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ikke-lineaert-likningssystem-med-andregradsledd/
### Oppgavetekst
Løs likningssystemet
$$
\begin{aligned}
x^2 + y^2 &= 2x + 3 \\
-x + y &= 1
\end{aligned}
$$
---
## V2016 del 1 oppgave 4 — Rasjonell ulikhet med førstegradsledd
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Ulikheter, Andregradsulikhet, Fortegnslinje
- **Kort beskrivelse:** Løs en andregradsulikhet ved å faktorisere og bruke fortegnsskjema.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rasjonell-ulikhet-med-forstegradsledd/
### Oppgavetekst
Løs ulikheten
$$
2x^2 + 3x > 2
$$
---
## V2016 del 1 oppgave 5 — Forenkling av rotuttrykk med konjugatsetningen og faktorisering
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kvadratrøtter, Konjugatsetningen, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Regn ut og forenkle rotuttrykk ved konjugatsetningen og faktorisering under rottegn.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkling-av-rotuttrykk-med-konjugatsetningen-og-faktorisering/
### Oppgavetekst
Regn ut og skriv svaret så enkelt som mulig.
a)
$$
(\sqrt{6} - \sqrt{3})(\sqrt{6} + \sqrt{3})
$$
b)
$$
\sqrt{45} + \sqrt{20} - \sqrt{10} \cdot \sqrt{8}
$$
---
## V2016 del 1 oppgave 6 — Forkorting av rasjonal brøk med første kvadratsetning
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Rasjonale funksjoner, Rasjonale uttrykk, Faktorisering
- **Kort beskrivelse:** Forkort en rasjonal brøk ved faktorisering med første kvadratsetning og konjugatsetningen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forkorting-av-rasjonal-brok-med-forste-kvadratsetning/
### Oppgavetekst
Skriv så enkelt som mulig:
$$
\frac{x^2 + 10x + 25}{2x^2 - 50}
$$
---
## V2016 del 1 oppgave 7 — Logaritmelikning med tierlogaritmer og konstantledd
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Logaritmer, Logaritmelikning
- **Kort beskrivelse:** Løs en førstegradslikning med tierlogaritmer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/logaritmelikning-med-tierlogaritmer-og-konstantledd/
### Oppgavetekst
Løs likningen
$$
2\lg x + 8 = 2 - \lg x
$$
---
## V2016 del 1 oppgave 8 — Addisjon og subtraksjon av rasjonale brøker med fellesnevner
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rasjonale funksjoner, Rasjonale uttrykk, Fellesnevner, Faktorisering
- **Kort beskrivelse:** Trekk sammen og forenkle rasjonale brøker ved faktorisering av nevnere og fellesnevner.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/addisjon-og-subtraksjon-av-rasjonale-broker-med-fellesnevner/
### Oppgavetekst
Trekk sammen og skriv så enkelt som mulig:
$$
\frac{x}{4x+8} + \frac{1}{12} - \frac{4x+5}{6x+12}
$$
---
## V2016 del 1 oppgave 9 — Trekking av fargede ballonger uten tilbakelegging
- **Fag:** 1T, 1P
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Kombinatorikk
- **Kort beskrivelse:** Beregn sannsynligheter ved tilfeldig trekning av tre ballonger uten tilbakelegging.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trekking-av-fargede-ballonger-uten-tilbakelegging/
### Oppgavetekst
Snorre har seks blå og fire rosa ballonger. Han tar tilfeldig tre ballonger.
a) Bestem sannsynligheten for at han tar tre blå ballonger.
b) Bestem sannsynligheten for at han tar minst én rosa ballong.
c) Bestem sannsynligheten for at han tar én rosa og to blå ballonger.
---
## V2016 del 1 oppgave 10 — Koble tre andregradsfunksjoner til parabler i koordinatsystem
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 10
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Andregradsfunksjon, Funksjonsdrøfting, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Koble tre andregradsfunksjoner med felles konstantledd til parabler i et koordinatsystem og begrunn svarene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/koble-tre-andregradsfunksjoner-til-parabler-i-koordinatsystem/
### Oppgavetekst
Funksjonene $f$, $g$ og $h$ er gitt ved
$$
\begin{aligned}
f(x) &= x^2 - 2x + 9 \\
g(x) &= x^2 - 10x + 9 \\
h(x) &= x^2 + 6x + 9
\end{aligned}
$$
I koordinatsystemet ovenfor ser du grafene til $f$, $g$ og $h$.
Hvilken graf er grafen til $f$, hvilken graf er grafen til $g$, og hvilken graf er grafen til $h$? Begrunn svarene dine.
---
## V2016 del 1 oppgave 11 — Momentan og gjennomsnittlig vekstfart for tredjegradsfunksjon
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 11
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Polynomfunksjoner, Vekstfart
- **Kort beskrivelse:** Bestem momentan vekstfart ved derivasjon og gjennomsnittlig vekstfart i et intervall for et tredjegradspolynom.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/momentan-og-gjennomsnittlig-vekstfart-for-tredjegradsfunksjon/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = x^3 - 5x^2 + 3x + 4
$$
a) Bestem den momentane vekstfarten til $f$ når $x = 2$.
b) Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til $f$ i intervallet $[1, 3]$.
---
## V2016 del 1 oppgave 12 — Likesidede trekanter på sidene i rettvinklet trekant
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 12
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Pytagoras, Areal og omkrets, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Vis arealforhold for tre likesidede trekanter konstruert på sidene av en rettvinklet trekant.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/likesidede-trekanter-pa-sidene-i-rettvinklet-trekant/
### Oppgavetekst
Figuren ovenfor er satt sammen av en rettvinklet trekant $ABC$ og tre likesidede trekanter. $AB = 8$ og $BC = 10$.
a) Vis at arealet av den grå trekanten er $25\sqrt{3}$.
b) Vis at arealet av den grønne og den blå trekanten til sammen er like stort som arealet av den grå trekanten.
---
## V2016 del 1 oppgave 13 — Avlesing av trigonometriske verdier fra enhetssirkelkvadrant
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 13
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Enhetssirkel
- **Kort beskrivelse:** Bestem tilnærmede verdier for sinus, cosinus og tangens til 53 grader ved grafisk avlesing i en enhetssirkelkvadrant.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/avlesing-av-trigonometriske-verdier-fra-enhetssirkelkvadrant/
### Oppgavetekst
I koordinatsystemet ovenfor er det lagt inn en vinkel på $53^\circ$ med toppunkt i origo og en kvart sirkel med sentrum i origo og radius $r = 1$.
Bruk koordinatsystemet til å bestemme tilnærmede verdier for $\sin 53^\circ$, $\cos 53^\circ$ og $\tan 53^\circ$.
---
## V2016 del 1 oppgave 14 — Drøfting av funksjon og tangent fra grafen til den deriverte
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 14
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Funksjonsdrøfting, Tangent, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Bestem topp- og bunnpunkt samt tangentlikning for en funksjon ut fra grafen til den deriverte funksjonen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/drofting-av-funksjon-og-tangent-fra-grafen-til-den-deriverte/
### Oppgavetekst
Gitt en funksjon $f$. Ovenfor ser du grafen til den deriverte av funksjonen.
a) For hvilken verdi av $x$ har grafen til $f$ et toppunkt?
For hvilken verdi av $x$ har grafen til $f$ et bunnpunkt?
b) Punktet $(2, -3)$ ligger på grafen til $f$.
Bestem likningen for tangenten til grafen i dette punktet.
---
## V2016 del 2 oppgave 1 — Tredjegradsmodell for antall elbiler med vekstfart
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Polynomfunksjoner, Modellering, Vekstfart, Graftegner
- **Kort beskrivelse:** Tegn graf og tolk funksjonsverdi og momentan vekstfart for en tredjegradsmodell over elbiler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tredjegradsmodell-for-antall-elbiler-med-vekstfart/
### Oppgavetekst
Anta at antall registrerte elbiler i Norge $x$ år etter 2010 tilnærmet er gitt ved funksjonen $g$ der
$$
g(x) = 560x^3 - 1767x^2 + 2501x + 2577, \quad x \in [0, 8]
$$
a) Bruk graftegner til å tegne grafen til $g$.
b) Bestem $g(4)$ og $g'(4)$. Hva forteller disse verdiene om antall elbiler?
---
## V2016 del 2 oppgave 2 — Lineær modell for andel dagligrøykere
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Modellering, Regresjon
- **Kort beskrivelse:** Bestem en lineær regresjonsmodell for andel dagligrøykere og vurder modellens gyldighet framover i tid.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-modell-for-andel-dagligroykere/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser hvor mange prosent av den norske befolkningen i aldersgruppen 16–74 år som røykte daglig i 2002, 2004, 2006, 2009 og 2012.
| Årstall | 2002 | 2004 | 2006 | 2009 | 2012 |
| :--- | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| Prosent røykere i aldersgruppen 16–74 år | 29 | 26 | 24 | 20 | 16 |
La $x$ være antall år etter 2002 (la $x = 0$ svare til år 2002, $x = 1$ til år 2003, osv.).
a) Bruk opplysningene i tabellen til å bestemme en lineær funksjon som viser utviklingen fra 2002 til 2012.
b) Vurder om funksjonen kan brukes til å beskrive en videre utvikling fram mot år 2025.
---
## V2016 del 2 oppgave 3 — Valg av fagkombinasjoner med krysstabell og betinget sannsynlighet
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Krysstabell, Venndiagram, Betinget sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Systematiser fagvalg for elever i krysstabell eller venndiagram og regn ut betingede sannsynligheter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/valg-av-fagkombinasjoner-med-krysstabell-og-betinget-sannsynlighet/
### Oppgavetekst
I en 1T-gruppe er det 26 elever. Elevene har valgt fag for neste skoleår.
- 20 elever har valgt faget R1.
- 16 elever har valgt faget Fysikk 1.
- 6 elever har verken valgt R1 eller Fysikk 1.
a) Systematiser opplysningene i teksten ovenfor i en krysstabell eller i et venndiagram.
b) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev fra gruppen har valgt R1, men ikke Fysikk 1.
c) Det viser seg at eleven som er trukket ut, har valgt Fysikk 1.
Bestem sannsynligheten for at denne eleven også har valgt R1.
---
## V2016 del 2 oppgave 4 — To mulige rettvinklede trekanter med gitt vinkel og side
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Rettvinklet trekant, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Forklar hvorfor det finnes to mulige rettvinklede trekanter når rett vinkel ikke er spesifisert, og beregn ukjent katet/hypotenus.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/to-mulige-rettvinklede-trekanter-med-gitt-vinkel-og-side/
### Oppgavetekst
I en rettvinklet trekant $ABC$ er $\angle A = 53^\circ$ og $AB = 10$.
a) Forklar at det fins to trekanter $ABC$ som oppfyller disse betingelsene.
b) Bestem $BC$ for hver av de to trekantene.
---
## V2016 del 2 oppgave 5 — Bestem parametere i tredjegradsfunksjon med CAS ut fra bunnpunkt og nullpunkt
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Polynomfunksjoner, CAS, Derivasjon, Stasjonære punkter
- **Kort beskrivelse:** Bestem ukjente koeffisienter i et tredjegradspolynom med CAS gitt et bunnpunkt og et nullpunkt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bestem-parametere-i-tredjegradsfunksjon-med-cas-ut-fra-bunnpunkt-og-nullpunkt/
### Oppgavetekst
En funksjon $f$ er gitt ved
$$
f(x) = x^3 + bx^2 + cx + d
$$
Funksjonen har bunnpunkt $(3, -5)$ og et nullpunkt for $x = 4$.
Bruk CAS til å bestemme $b$, $c$ og $d$.
---
## V2016 del 2 oppgave 6 — Minimere samlet areal av to kvadrater med fast omkrets
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Geometri, Funksjonsdrøfting, Andregradsfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Bestem sidelengdene i to sammensatte kvadrater med gitt samlet omkrets slik at det samlede arealet minimeres.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/minimere-samlet-areal-av-to-kvadrater-med-fast-omkrets/
### Oppgavetekst
Figuren ovenfor er satt sammen av to kvadrater. I det ene kvadratet har hver side lengde $x$, og i det andre kvadratet har hver side lengde $y$. Omkretsen av hele figuren er 16.
Bestem $x$ og $y$ slik at det samlede arealet av figuren blir minst mulig.
---
## V2016 del 2 oppgave 7 — Eksakt areal av firkant med CAS og trigonometri
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Trigonometri, CAS, Arealsetningen, Cosinussetningen
- **Kort beskrivelse:** Bestem det eksakte arealet av en sammensatt firkant med CAS ved å dele den i to trekanter og bruke trigonometriske setninger.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksakt-areal-av-firkant-med-cas-og-trigonometri/
### Oppgavetekst
Gitt firkanten $ABCD$ ovenfor. $AB = 2\sqrt{5}$, $BD = 5\sqrt{2}$ og $CD = 3$.
Bruk CAS til å bestemme arealet av firkanten eksakt.
---
## H2016 del 1 oppgave 1 — Lineært likningssystem med to ukjente og brøker
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Løs et lineært likningssystem med to ukjente ved innsettingsmetoden eller addisjonsmetoden.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaert-likningssystem-med-to-ukjente-og-broker/
### Oppgavetekst
Løs likningssystemet
$$
\begin{aligned}
5x &= -2y \\[4pt]
2x - y &= -9
\end{aligned}
$$
---
## H2016 del 1 oppgave 2 — Forkorting av rasjonalt uttrykk med kvadratsetninger
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rasjonale uttrykk, Faktorisering, Kvadratsetninger, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Forenkle et rasjonalt uttrykk ved å faktorisere teller og nevner ved konjugatsetningen og andre kvadratsetning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forkorting-av-rasjonalt-uttrykk-med-kvadratsetninger/
### Oppgavetekst
Skriv så enkelt som mulig
$$
\frac{2x^2 - 2}{x^2 - 2x + 1}
$$
---
## H2016 del 1 oppgave 3 — Andregradsulikhet løst ved faktorisering
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Ulikheter, Andregradsulikhet, Fortegnslinje
- **Kort beskrivelse:** Løs en andregradsulikhet ved å samle alle ledd på én side og faktorisere.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/andregradsulikhet-lost-ved-faktorisering/
### Oppgavetekst
Løs ulikheten
$$
-x^2 + 3x > -10
$$
---
## H2016 del 1 oppgave 4 — Logaritmelikning med tierlogaritme og brøk
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Logaritmer, Logaritmelikning
- **Kort beskrivelse:** Løs en logaritmelikning med tierlogaritme.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/logaritmelikning-med-tierlogaritme-og-brok/
### Oppgavetekst
Løs likningen
$$
\lg\left(2x + \frac{3}{5}\right) = -1
$$
---
## H2016 del 1 oppgave 5 — Eksponentiallikning med toerpotenser
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Eksponentiallikning, Potensregning, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Løs en eksponentiallikning ved å bruke potensregler for produkter med like grunntall.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksponentiallikning-med-toerpotenser/
### Oppgavetekst
Løs likningen
$$
2^3 \cdot 2^x = 2^{2x}
$$
---
## H2016 del 1 oppgave 6 — Forenkling av rotuttrykk med kvadratrøtter
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Røtter, Potenser, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Skriv et uttrykk med kvadratrøtter og rasjonale eksponenter så enkelt som mulig.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkling-av-rotuttrykk-med-kvadratrotter/
### Oppgavetekst
Skriv så enkelt som mulig
$$
\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{54}} + 2^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{-1}
$$
---
## H2016 del 1 oppgave 7 — Subtraksjon av rasjonale brøkuttrykk med fellesnevner
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rasjonale uttrykk, Fellesnevner, Brøk, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Trekk sammen rasjonale brøker ved å finne fellesnevner.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/subtraksjon-av-rasjonale-brokuttrykk-med-fellesnevner/
### Oppgavetekst
Skriv så enkelt som mulig
$$
\frac{x+2}{x-3} - \frac{7x+14}{x^2-x-6}
$$
---
## H2016 del 1 oppgave 8 — Bestemme andregradsfunksjon ut fra parabelgraf
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Andregradsfunksjon, Funksjoner, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Bestem funksjonsuttrykket til en parabel ut fra avleste punkter i koordinatsystemet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bestemme-andregradsfunksjon-ut-fra-parabelgraf/
### Oppgavetekst
I koordinatsystemet ovenfor har vi tegnet grafen til en andregradsfunksjon $f$.
Bestem funksjonsuttrykket $f(x)$.
---
## H2016 del 1 oppgave 9 — Tredjegradsfunksjon med nullpunkter, ekstremalpunkter og tangenter
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Polynomfunksjoner, Derivasjon, Tangent, Nullpunkter, Stasjonære punkter
- **Kort beskrivelse:** Analyse av tredjegradsfunksjon: nullpunkter, utregning av uttrykk, derivasjon, topp- og bunnpunkter, tangent og parallelle tangenter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tredjegradsfunksjon-med-nullpunkter-ekstremalpunkter-og-tangenter/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = (x-1)(x-1)(x+2)
$$
a) Bestem nullpunktene til $f$.
b) Vis at
$$
f(x) = x^3 - 3x + 2
$$
c) Bestem $f'(x)$ og bruk den deriverte til å bestemme eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$.
d) Bestem likningen for tangenten til $f$ i punktet $(0, 2)$.
e) Vis at grafen til $f$ ikke har andre tangenter som er parallelle med tangenten du fant i oppgave d).
---
## H2016 del 1 oppgave 10 — Areal av likesidet trekant med gitt omkrets
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 10
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Areal og omkrets, Pytagoras
- **Kort beskrivelse:** Vis at arealet av en likesidet trekant med omkrets 24 er lik 16*sqrt(3).
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/areal-av-likesidet-trekant-med-gitt-omkrets/
### Oppgavetekst
En likesidet trekant har omkrets 24.
Vis at arealet av trekanten er $16\sqrt{3}$.
---
## H2016 del 1 oppgave 11 — Bestemme tangens fra sinus og cosinus
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 11
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri
- **Kort beskrivelse:** Bestem tangens til en vinkel gitt sinus og cosinus til vinkelen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bestemme-tangens-fra-sinus-og-cosinus/
### Oppgavetekst
Om en vinkel $u$ får du vite følgende
- $\sin u = \frac{8}{17}$
- $\cos u = \frac{15}{17}$
Bestem $\tan u$.
---
## H2016 del 1 oppgave 12 — Bevis for trigonometrisk enhetsformel i rettvinklet trekant
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 12
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Identiteter, Rettvinklet trekant, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Vis enhetsformelen sin^2(v) + cos^2(v) = 1 først for en konkret 3-4-5-trekant og deretter generelt for spisse vinkler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bevis-for-trigonometrisk-enhetsformel-i-rettvinklet-trekant/
### Oppgavetekst
a) Gitt trekanten ovenfor.
Vis at
$$
(\sin u)^2 + (\cos u)^2 = 1
$$
b) Bruk trekanten ovenfor til å vise at $(\sin v)^2 + (\cos v)^2 = 1$ for alle $v \in \langle 0^\circ, 90^\circ \rangle$.
---
## H2016 del 1 oppgave 13 — Sannsynlighet ved trekning av nisser uten tilbakelegging
- **Fag:** 1T, 1P
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 13
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Kombinatorikk
- **Kort beskrivelse:** Trekning av tre nisser fra en eske med fire blå og fire røde nisser uten tilbakelegging.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sannsynlighet-ved-trekning-av-nisser-uten-tilbakelegging/
### Oppgavetekst
I en eske er det fire blå og fire røde nisser. Tenk deg at du skal ta tre nisser tilfeldig fra esken. Du skal ta én nisse av gangen, og du skal sette dem på en rekke fra venstre mot høyre.
a) Bestem sannsynligheten for at rekken vil bli som vist på bildet nedenfor.
b) Bestem sannsynligheten for at det vil bli én blå og to røde nisser i rekken.
c) Bestem sannsynligheten for at det vil bli minst én blå nisse i rekken.
---
## H2016 del 1 oppgave 14 — Omkrets og areal av område avgrenset av tre halvsirkler
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 14
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Sirkel, Areal og omkrets
- **Kort beskrivelse:** Bestem omkrets og areal uttrykt ved a for et område avgrenset av tre halvsirkler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/omkrets-og-areal-av-omrade-avgrenset-av-tre-halvsirkler/
### Oppgavetekst
Sirkelbuene på figuren ovenfor er halvsirkler. Linjestykket $AB$ har lengde $a$ og linjestykket $BC$ har lengde $4a$.
a) Bestem omkretsen av det blå området på figuren uttrykt ved $a$.
b) Bestem arealet av det blå området på figuren uttrykt ved $a$.
---
## H2016 del 2 oppgave 1 — Eksponentialmodell for antall settefisk med vekstfart
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Graftegner, Vekstfart, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Eksponentialmodell for settefisk i en innsjø: graftegner, tolkning av parametere, momentan vekstfart og gjennomsnittlig vekstfart.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksponentialmodell-for-antall-settefisk-med-vekstfart/
### Oppgavetekst
En jakt- og fiskeforening vil sette ut fisk i en innsjø. Fisk som settes ut, kaller vi settefisk. Foreningen antar at funksjonen $f$ gitt ved
$$
f(x) = 35\,400 \cdot 0{,}996^x, \quad x \in [0, 400]
$$
viser hvor mange settefisk $f(x)$ det vil være igjen i innsjøen $x$ døgn etter utsettingen.
a) Bruk graftegner til å tegne grafen til $f$.
b) Hva forteller tallene $35\,400$ og $0{,}996$ i funksjonsuttrykket om antall settefisk i innsjøen?
c) Bestem $f'(100)$ ved å tegne en tangent til grafen til $f$. Hva forteller denne verdien om antall settefisk i innsjøen?
d) Bestem gjennomsnittlig vekstfart for antall settefisk det første året etter utsettingen.
---
## H2016 del 2 oppgave 2 — Lineær regresjon for sjokoladeforbruk per person
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Modellering, Statistikk
- **Kort beskrivelse:** Bruk regresjon til å finne lineær modell for gjennomsnittlig sjokoladeforbruk per person i perioden 1970–2010 og ekstrapoler til 2020.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-regresjon-for-sjokoladeforbruk-per-person/
### Oppgavetekst
| År | 1970 | 1980 | 1990 | 2000 | 2010 |
| :--- | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| Kilogram sjokolade per person | 4,6 | 6,2 | 7,6 | 8,2 | 9,5 |
Tabellen ovenfor viser hvor mange kilogram sjokolade hver person i Norge i gjennomsnitt spiste i årene 1970, 1980, 1990, 2000 og 2010.
a) La $x$ være antall år etter 1970, og bruk regresjon til å bestemme en lineær funksjon $S$ som kan beskrive utviklingen i perioden 1970–2010.
b) Hva forteller stigningstallet til funksjonen $S$?
c) Hvor mange gram sjokolade vil hver person i Norge i gjennomsnitt spise i 2020 ifølge funksjonen $S$?
---
## H2016 del 2 oppgave 3 — Sekant for parabel og aksekjæring med CAS
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Andregradsfunksjon, CAS, Stigningstall, Skjæringspunkt
- **Kort beskrivelse:** Undersøk sekant til f(x)=x^2 gjennom to punkter P og Q, vis stigningstallet p+q og finn aksekjæringspunkter med CAS.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sekant-for-parabel-og-aksekjaering-med-cas/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = x^2
$$
Linjen $l$ skjærer grafen til $f$ i punktene $P(p, f(p))$ og $Q(q, f(q))$. Se koordinatsystemet ovenfor.
a) Vis at linjen $l$ har stigningstall $p+q$.
b) Bruk CAS til å bestemme skjæringspunktene mellom linjen $l$ og koordinataksene.
---
## H2016 del 2 oppgave 4 — Venndiagram og betinget sannsynlighet for idrettsklubb
- **Fag:** 1T, 1P
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Venndiagram, Betinget sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Fyll ut et venndiagram for tre aktiviteter og beregn sannsynlighet og betinget sannsynlighet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/venndiagram-og-betinget-sannsynlighet-for-idrettsklubb/
### Oppgavetekst
En idrettsklubb har tre aktiviteter: fotball, håndball og basketball. Noen av medlemmene deltar i én aktivitet, noen i to aktiviteter og noen i alle tre aktivitetene. Idrettsklubben har totalt 250 medlemmer.
Tabellen nedenfor viser hvor mange medlemmer som deltar i hver aktivitet.
| Aktivitet | Antall medlemmer |
| :--- | :---: |
| Fotball | 200 |
| Håndball | 90 |
| Basketball | 40 |
a) Tegn et venndiagram som vist nedenfor. Gjør beregninger, og sett inn tallene som mangler.
Vi skal velge et medlem tilfeldig fra klubben.
b) Bestem sannsynligheten for at vi kommer til å velge et medlem som deltar i alle tre aktivitetene.
c) Anta at vi har valgt et medlem som spiller håndball. Bestem sannsynligheten for at dette medlemmet også spiller fotball.
---
## H2016 del 2 oppgave 5 — Terrassepunkt for tredjegradsfunksjon med CAS og parameter
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** CAS, Polynomfunksjoner, Stasjonære punkter, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Bruk CAS til å vise at en tredjegradsfunksjon med parameter a har et terrassepunkt og bestem dets koordinater.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/terrassepunkt-for-tredjegradsfunksjon-med-cas-og-parameter/
### Oppgavetekst
En funksjon $f$ er gitt ved
$$
f(x) = \frac{1}{3}x^3 - ax^2 + a^2 x
$$
Bruk CAS til å vise at grafen til $f$ har et terrassepunkt.
Bestem koordinatene til terrassepunktet uttrykt ved $a$.
---
## H2016 del 2 oppgave 6 — Sidelengde og areal i firkant med trigonometri
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Trigonometri, Areal og omkrets, Sinussetningen
- **Kort beskrivelse:** Vis sidelengde og samlet areal for firkanten ABCD ved hjelp av trigonometri og arealsetningen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sidelengde-og-areal-i-firkant-med-trigonometri/
### Oppgavetekst
Gitt firkant $ABCD$ ovenfor.
a) Vis at
$$
CD = \frac{\sqrt{3}}{2}a
$$
b) Vis at arealet av firkant $ABCD$ er
$$
\frac{1}{8}a^2\left(2\sqrt{3}+1\right)
$$
---
## V2015 del 1 oppgave 1 — Standardform for brøk med tierpotenser
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Potenser, Brøk
- **Kort beskrivelse:** Regn ut brøk med potenser og skriv svaret på standardform.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/standardform-for-brok-med-tierpotenser/
### Oppgavetekst
Skriv tallet på standardform:
$$
\frac{7{,}5 \cdot 10^{15}}{0{,}003}
$$
---
## V2015 del 1 oppgave 2 — Løsning av lineært likningssett med to ukjente
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Løs et lineært likningssett med to ukjente.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/losning-av-lineaert-likningssett-med-to-ukjente/
### Oppgavetekst
Løs likningssettet
$$
\begin{aligned}
x + 6y &= 1 \\
2x + 4y &= -6
\end{aligned}
$$
---
## V2015 del 1 oppgave 3 — Løsning av andregradsulikhet med fortegnsskjema
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Ulikheter, Andregradsulikhet, Fortegnslinje
- **Kort beskrivelse:** Løs en andregradsulikhet ved hjelp av fortegnsskjema eller faktorisering.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/losning-av-andregradsulikhet-med-fortegnsskjema/
### Oppgavetekst
Løs ulikheten
$$
x^2 - 3x - 10 > 0
$$
---
## V2015 del 1 oppgave 4 — Forenkling av potens- og rotuttrykk
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Potenser, Kvadratrøtter, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Forenkle uttrykk med potenser og røtter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkling-av-potens-og-rotuttrykk/
### Oppgavetekst
Regn ut og skriv svaret så enkelt som mulig.
a)
$$
4^{\frac{1}{2}} \cdot 8^0 \cdot 2^{-1} \cdot \sqrt[4]{16}
$$
b)
$$
\sqrt{18}\cdot\sqrt{2} + \frac{\sqrt{72}}{\sqrt{8}}
$$
---
## V2015 del 1 oppgave 5 — Logaritmelikning med tierlogaritme
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Logaritmer, Logaritmelikning
- **Kort beskrivelse:** Løs en logaritmelikning med tierlogaritme.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/logaritmelikning-med-tierlogaritme/
### Oppgavetekst
Løs likningen
$$
\lg(x^2 - 0{,}9) = -1
$$
---
## V2015 del 1 oppgave 6 — Bestem parameter for fullstendig kvadrat
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Fullstendig kvadrat, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Bestem koeffisienten i et andregradsuttrykk for at det skal bli et fullstendig kvadrat.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bestem-parameter-for-fullstendig-kvadrat/
### Oppgavetekst
Bestem $b$ slik at $x^2 + bx + 16$ blir et fullstendig kvadrat.
---
## V2015 del 1 oppgave 7 — Sammentrekning og faktorisering av algebraisk uttrykk
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Faktorisering
- **Kort beskrivelse:** Trekk sammen og forkort et algebraisk produktuttrykk.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sammentrekning-og-faktorisering-av-algebraisk-uttrykk/
### Oppgavetekst
Trekk sammen og forkort uttrykket
$$
2x(x - 2) - (x - 2)(2x + 1)
$$
---
## V2015 del 1 oppgave 8 — Forkorting av rasjonal brøk med andregradsuttrykk
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rasjonale funksjoner, Rasjonale uttrykk, Faktorisering
- **Kort beskrivelse:** Forkort en rasjonal brøk ved faktorisering med kvadratsetninger og felles faktor.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forkorting-av-rasjonal-brok-med-andregradsuttrykk/
### Oppgavetekst
Forkort brøken
$$
\frac{x^2 - 12x + 36}{2x^2 - 72}
$$
---
## V2015 del 1 oppgave 9 — Likning for rett linje gjennom to punkter
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Stigningstall
- **Kort beskrivelse:** Finn likningen for en rett linje gjennom to gitte punkter ved regning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/likning-for-rett-linje-gjennom-to-punkter/
### Oppgavetekst
En rett linje går gjennom punktene $(-1, 2)$ og $(3, 4)$.
Finn likningen for linjen ved regning.
---
## V2015 del 1 oppgave 10 — Eksakte trigonometriske verdier for 30, 45 og 60 grader
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 10
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Eksakte verdier, Rettvinklet trekant
- **Kort beskrivelse:** Bestem eksakte trigonometriske verdier for 30, 45 og 60 grader fra rettvinklede trekanter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksakte-trigonometriske-verdier-for-30-45-og-60-grader/
### Oppgavetekst
$\Delta ABC$ og $\Delta DEF$ er gitt nedenfor.
a) Bestem eksakte verdier for $AB$ og $DF$.
b) Skriv av tabellen nedenfor. Bruk $\Delta ABC$ og $\Delta DEF$, gjør beregninger og fyll ut det som mangler i tabellen. Bruk eksakte verdier.
| $u$ | $\sin u$ | $\cos u$ | $\tan u$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| $30^\circ$ | | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | |
| $45^\circ$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | | |
| $60^\circ$ | | | $\sqrt{3}$ |
---
## V2015 del 1 oppgave 11 — Sannsynlighet for trekking av smoothieflasker
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 11
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Kombinatorikk
- **Kort beskrivelse:** Beregn sannsynligheter ved trekking uten tilbakelegging av tre typer smoothieflasker.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sannsynlighet-for-trekking-av-smoothieflasker/
### Oppgavetekst
Tenk deg at du har ni flasker med smoothie i kjøleskapet, to «Surf», tre «Jump» og fire «Catch». Du tar tilfeldig to flasker.
a) Bestem sannsynligheten for at du ikke tar en «Jump»-smoothie.
b) Bestem sannsynligheten for at du tar én «Surf»- og én «Catch»-smoothie.
c) Bestem sannsynligheten for at du tar to like flasker.
---
## V2015 del 1 oppgave 12 — Nullpunkter, graf og skjæring for andregradsfunksjon
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 12
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Andregradsfunksjon, Funksjonsdrøfting, Grafisk løsning
- **Kort beskrivelse:** Finn skjæringspunkter med aksene for en andregradsfunksjon, tegn grafen og løs likning grafisk.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/nullpunkter-graf-og-skjaering-for-andregradsfunksjon/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = -2x^2 + 4x + 6
$$
a) Bestem skjæringspunktene mellom grafen til $f$ og koordinataksene ved regning.
b) Tegn grafen til $f$ for $x \in [-2, 4]$.
Funksjonen $g$ er gitt ved
$$
g(x) = 2x + 2
$$
c) Løs likningen $f(x) = g(x)$ grafisk.
---
## V2015 del 1 oppgave 13 — Tau rundt ekvator forlenget med 20 meter
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 13
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Sirkel, Areal og omkrets
- **Kort beskrivelse:** Vurder om en person kan gå under et tau rundt jorda forlenget med 20 meter ved hjelp av sirkelomkrets.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tau-rundt-ekvator-forlenget-med-20-meter/
### Oppgavetekst
Tenk deg at jorda har form som en kule, og at det er plassert et tau rundt ekvator. Tauet er strammet. Tenk deg så at du forlenger tauet med 20 m og plasserer det slik at det danner en sirkel med sentrum i jordas sentrum.
Vil du da kunne gå under tauet?
---
## V2015 del 2 oppgave 1 — Eksponentiell modell for likerklikk på Facebook
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Modellering, Vekstfart, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Tolk og analyser en eksponentiell modell for følgere på sosiale medier med vekstfart og derivasjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksponentiell-modell-for-likerklikk-pa-facebook/
### Oppgavetekst
Silje driver butikk. I slutten av mars opprettet hun en side på Facebook.
I slutten av april fant Silje ut at antall personer som hadde klikket «liker» på siden hennes $x$ dager etter 31. mars, tilnærmet var gitt ved funksjonen
$$
f(x) = 80 \cdot 1{,}045^x
$$
Her svarer $x = 0$ til 31. mars, $x = 1$ til 1. april, $x = 2$ til 2. april, og så videre.
Anta at denne funksjonen også vil gjelde for mai.
a) Hvor mange personer hadde klikket «liker» på Siljes side før 1. april? Hvor mange prosent øker antall «liker» med per dag?
b) Vil antall «liker» passere 1000 innen utgangen av mai?
c) Bestem $f(16)$ og $f'(16)$. Hva forteller disse verdiene om antall «liker» på Siljes side?
---
## V2015 del 2 oppgave 2 — Eksakte sidelengder i firkant med CAS
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Trigonometri, CAS
- **Kort beskrivelse:** Bruk CAS og trigonometri til å bestemme sidelengdene i en sammensatt firkant eksakt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksakte-sidelengder-i-firkant-med-cas/
### Oppgavetekst
Gitt $\Box ABCD$ ovenfor. Lengden av diagonalen $BD = 8$.
Bruk CAS til å bestemme lengdene av sidene i firkanten eksakt.
---
## V2015 del 2 oppgave 3 — Analyse av tredjegradsfunksjon og tangenter med stigningstall 3
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 9
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Polynomfunksjoner, Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Tangent, CAS
- **Kort beskrivelse:** Analyser en tredjegradsfunksjon med graftegner og CAS, og finn likningene til tangenter med gitt stigningstall.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/analyse-av-tredjegradsfunksjon-og-tangenter-med-stigningstall-3/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = x^3 - 6x^2 + 3x + 18
$$
a) Bruk graftegner til å tegne grafen til $f$, bestemme nullpunktene til $f$ og eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$.
b) Bruk CAS til å bestemme eksakte verdier for nullpunktene til $f$ og for eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$.
Grafen til $f$ har to tangenter med stigningstall lik 3.
c) Bestem likningene for de to tangentene.
d) Tegn de to tangentene i samme koordinatsystem som grafen til $f$.
---
## V2015 del 2 oppgave 4 — Likningssett for salg av kuleis
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Modellering, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Sett opp og løs et likningssett for salg av små og store kuleis ut fra pris og volum.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/likningssett-for-salg-av-kuleis/
### Oppgavetekst
Ida selger små og store kuleis. En liten kuleis koster 24 kroner og har to iskremkuler. En stor kuleis koster 32 kroner og har tre iskremkuler. En liter iskrem gir i alt 12 iskremkuler.
En dag solgte Ida kuleis for 2 752 kroner. Hun hadde da brukt 20 L iskrem.
Hvor mange store kuleis solgte Ida denne dagen?
---
## V2015 del 2 oppgave 5 — Arealforhold for sirkel delt av sirkelbuer
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Sirkel, Areal og omkrets
- **Kort beskrivelse:** Bestem forholdet mellom arealet av en sirkel og et sammensatt område avgrenset av sirkelbuer uttrykt ved diameteren.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/arealforhold-for-sirkel-delt-av-sirkelbuer/
### Oppgavetekst
Punktene $B$ og $C$ på figuren ovenfor deler diameteren $AD$ i tre like store deler. Alle buene i figuren er sirkelbuer.
Sett $AD = a$ og bestem forholdet mellom arealet av sirkelen og arealet av det svarte området.
---
## H2015 del 1 oppgave 1 — Standardform for produkt med tierpotens og desimaltall
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Potenser
- **Kort beskrivelse:** Regn ut et produkt med tierpotens og desimaltall og skriv svaret på standardform.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/standardform-for-produkt-med-tierpotens-og-desimaltall/
### Oppgavetekst
Regn ut og skriv svaret på standardform:
$$
1{,}8 \cdot 10^{12} \cdot 0{,}0005
$$
---
## H2015 del 1 oppgave 2 — Lineært likningssystem med addisjon eller innsetting
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Løs et lineært likningssystem med to ukjente.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaert-likningssystem-med-addisjon-eller-innsetting/
### Oppgavetekst
Løs likningssystemet
$$
\begin{aligned}
2x + 3y &= 13 \\
4x - 2y &= 2
\end{aligned}
$$
---
## H2015 del 1 oppgave 3 — Andregradsulikhet uten konstantledd
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Ulikheter, Andregradsulikhet, Fortegnslinje
- **Kort beskrivelse:** Løs en andregradsulikhet uten konstantledd ved faktorisering og fortegnsskjema.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/andregradsulikhet-uten-konstantledd/
### Oppgavetekst
Løs ulikheten
$$
-2x^2 + 6x < 0
$$
---
## H2015 del 1 oppgave 4 — Forenkling av rotuttrykk med kvadratrøtter og tredjerøtter
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Kvadratrøtter, Potenser, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Regn ut og forenkle et uttrykk sammensatt av kvadratrøtter og tredjerøtter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkling-av-rotuttrykk-med-kvadratrotter-og-tredjerotter/
### Oppgavetekst
Regn ut og skriv svaret så enkelt som mulig:
$$
(\sqrt{2})^2 - \frac{\sqrt{8}}{2} + \sqrt[3]{8} - \frac{\sqrt[3]{128}}{\sqrt[3]{2}}
$$
---
## H2015 del 1 oppgave 5 — Bestem koeffisienter i andregradslikning ut fra løsningene
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Andregradslikninger, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Bestem ukjente koeffisienter i en andregradslikning ut fra to oppgitte løsninger.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bestem-koeffisienter-i-andregradslikning-ut-fra-losningene/
### Oppgavetekst
Likningen $x^2 + bx + c = 0$ har løsningene $x_1 = -4$ og $x_2 = 2$.
Bestem $b$ og $c$.
---
## H2015 del 1 oppgave 6 — Sammentrekning av rasjonale brøker med fellesnevner
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rasjonale funksjoner, Rasjonale uttrykk, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Trekk sammen og forenkle rasjonale brøkuttrykk ved å finne fellesnevner.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sammentrekning-av-rasjonale-broker-med-fellesnevner/
### Oppgavetekst
Trekk sammen og skriv så enkelt som mulig:
$$
\frac{x+1}{x-1} - \frac{x-3}{2x-2} + \frac{1}{2}
$$
---
## H2015 del 1 oppgave 7 — Forenkling av brøkuttrykk med to variabler og andregradsledd
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rasjonale uttrykk, Faktorisering, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Forenkle et rasjonalt brøkuttrykk med to variabler ved faktorisering av kvadratsetning og felles faktor.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkling-av-brokuttrykk-med-to-variabler-og-andregradsledd/
### Oppgavetekst
Skriv så enkelt som mulig:
$$
\frac{x^2 - 4xy + 4y^2}{3xy - 6y^2}
$$
---
## H2015 del 1 oppgave 8 — Eksponentlikning med toerpotenser og andregradseksponent
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentiallikning, Potenser, Andregradslikninger
- **Kort beskrivelse:** Løs en eksponentlikning med samme grunntall som reduseres til en andregradslikning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksponentlikning-med-toerpotenser-og-andregradseksponent/
### Oppgavetekst
Løs likningen
$$
2^{4x} \cdot 2^{x^2} = 32
$$
---
## H2015 del 1 oppgave 9 — Areal av likebeint rettvinklet trekant med eksakt hypotenus
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Trigonometri, Rettvinklet trekant, Areal og omkrets
- **Kort beskrivelse:** Bestem arealet av en likebeint rettvinklet trekant ut fra eksakt oppgitt hypotenus.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/areal-av-likebeint-rettvinklet-trekant-med-eksakt-hypotenus/
### Oppgavetekst
Bestem arealet av $\Delta ABC$ ovenfor.
---
## H2015 del 1 oppgave 10 — Fullstendig analyse av parabel med bunnpunkt, tangenter og skjæringspunkter
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 10
- **Poeng:** 9
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Andregradsfunksjon, Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Tangent
- **Kort beskrivelse:** Finn nullpunkter, bunnpunkt, tangentlikning og skjæringspunkter med parallell linje for en parabel.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fullstendig-analyse-av-parabel-med-bunnpunkt-tangenter-og-skjaeringspunkter/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = x^2 - x - 2
$$
a) Bestem nullpunktene til $f$.
b) Vis at grafen til $f$ har bunnpunktet $\left(\frac{1}{2}, -\frac{9}{4}\right)$.
c) Bestem likningen for tangenten til grafen i punktet $(2, f(2))$.
d) En rett linje $l$ går gjennom punktet $(3, 7)$ og er parallell med tangenten i oppgave c).
Bestem skjæringspunktene mellom linjen $l$ og grafen til $f$ ved regning.
e) Tegn grafen til $f$, tangenten i oppgave c) og den rette linjen i oppgave d) i samme koordinatsystem.
---
## H2015 del 1 oppgave 11 — Forhold mellom arealer av formlike trapeser
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 11
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Formlike trekanter, Areal og omkrets, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Vis ved formelregning at arealet av et forstørret formlikt trapes skaleres med kvadratet av lengdeforholdet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forhold-mellom-arealer-av-formlike-trapeser/
### Oppgavetekst
To trapeser er formlike. Høyden i det minste trapeset er lik $h$. Høyden i det største trapeset er lik $3h$. Det minste trapeset har areal $A$.
Vis ved formelregning at det største trapeset har areal $9A$.
---
## H2015 del 1 oppgave 12 — Krysstabell og betinget sannsynlighet for medisinsk test
- **Fag:** 1T, 1P
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 12
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Krysstabell, Betinget sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Fyll ut krysstabell og beregn betingede sannsynligheter for en medisinsk test.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/krysstabell-og-betinget-sannsynlighet-for-medisinsk-test/
### Oppgavetekst
Forskere skal prøve ut en ny test for å avgjøre om en person er smittet av en bestemt sykdom.
Testen skal prøves ut på 360 personer. På forhånd vet forskerne at 60 av disse personene er smittet av sykdommen, mens resten ikke er smittet.
Det viser seg at 68 av personene tester positivt (det vil si at testen viser at de er smittet av sykdommen). Av disse 68 er det 10 personer som forskerne vet ikke er smittet.
a) Tegn av og fyll ut krysstabellen nedenfor.
| | Smittet | Ikke smittet | Sum |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| Tester positivt | | | |
| Tester ikke positivt | | | |
| Sum | | | |
b) Bestem sannsynligheten for at en person som er smittet, tester positivt.
c) Bestem sannsynligheten for at en person som tester positivt, ikke er smittet.
---
## H2015 del 1 oppgave 13 — Eksakt cosinusverdi fra tangens i rettvinklet trekant
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 13
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Rettvinklet trekant, Eksakte verdier
- **Kort beskrivelse:** Bestem cosinus til en vinkel i en rettvinklet trekant gitt tangens til den motstående vinkelen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksakt-cosinusverdi-fra-tangens-i-rettvinklet-trekant/
### Oppgavetekst
I $\Delta ABC$ er $\angle B = 90^\circ$ og $\tan A = \frac{5}{12}$.
Bestem $\cos C$.
---
## H2015 del 1 oppgave 14 — Areal av vilkårlig trekant med to sider og sinus til en vinkel
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 14
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Trigonometri, Arealsetningen
- **Kort beskrivelse:** Bestem arealet av en trekant ved hjelp av arealsetningen og oppgitte mål.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/areal-av-vilkarlig-trekant-med-to-sider-og-sinus-til-en-vinkel/
### Oppgavetekst
Gitt $\Delta ABC$ slik at $BC = 20$, $AC = 13$ og $\sin B = \frac{3}{5}$.
Bestem arealet av trekanten.
---
## H2015 del 2 oppgave 1 — Lineær modell for antall registrerte elbiler
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Modellering, Regresjon
- **Kort beskrivelse:** Bestem en lineær modell ut fra søylediagram for elbiler og vurder modellens gyldighet fram i tid.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-modell-for-antall-registrerte-elbiler/
### Oppgavetekst
Diagrammet ovenfor viser antall registrerte elbiler i Norge hvert år fra år 2000 til år 2007. Antall registrerte elbiler økte tilnærmet lineært i denne perioden.
a) La $x$ være antall år etter år 2000. Bestem en funksjon $f$ som beskriver utviklingen.
b) I 2008 var det 2 432 registrerte elbiler i Norge, i 2012 var det 9 580, og i 2014 var det 41 051.
Hvordan passer funksjonen fra oppgave a) med disse verdiene?
---
## H2015 del 2 oppgave 2 — Eksakt areal av hvit trekant i kvadrat delt i like store arealer
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Areal og omkrets, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Bestem et eksakt uttrykk for arealet av en likebeint trekant innskrevet i et kvadrat delt i tre like store områder.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksakt-areal-av-hvit-trekant-i-kvadrat-delt-i-like-store-arealer/
### Oppgavetekst
Et kvadrat har sider med lengde 6. Kvadratet er delt i tre blå og én hvit trekant. Se figuren ovenfor. Hver av de tre blå trekantene har like stort areal. Den hvite trekanten er likebeint.
Bestem et eksakt uttrykk for arealet av den hvite trekanten.
---
## H2015 del 2 oppgave 3 — Parabel korde og parallell tangent med graftegner og CAS
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Andregradsfunksjon, Tangent, CAS
- **Kort beskrivelse:** Tegn parabel og korder med graftegner, og bevis med CAS at korder symmetrisk om et punkt er parallelle med tangenten.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/parabel-korde-og-parallell-tangent-med-graftegner-og-cas/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = x^2 - x - 2
$$
a) Bruk graftegner til å tegne
- grafen til $f$
- en rett linje som går gjennom punktene $(1, f(1))$ og $(3, f(3))$
- en rett linje som går gjennom punktene $(0, f(0))$ og $(4, f(4))$
- tangenten til grafen til $f$ i punktet $(2, f(2))$
b) Bruk CAS til å vise at tangenten til grafen til $f$ i punktet $(c, f(c))$ er parallell med den rette linjen som går gjennom punktene $(c+h, f(c+h))$ og $(c-h, f(c-h))$.
---
## H2015 del 2 oppgave 4 — Sidelengder i rektangel ut fra areal og omkrets
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Bestem lengden og bredden til et rektangel ut fra oppgitt brøkdelt areal og omkrets.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sidelengder-i-rektangel-ut-fra-areal-og-omkrets/
### Oppgavetekst
Et rektangel har areal $\frac{3}{8}$ og omkrets $\frac{5}{2}$.
Hvor langt og hvor bredt er rektangelet?
---
## H2015 del 2 oppgave 5 — Kollektivfelt med elbiler og binomisk sannsynlighet
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Binomisk fordeling, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Vurder en avisoverskrift ut fra trafikkdata, og beregn binomiske sannsynligheter for passering av elbiler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kollektivfelt-med-elbiler-og-binomisk-sannsynlighet/
### Oppgavetekst
Nedenfor ser du overskrift og et sitat fra en artikkel på e24.no/bil i 2014 etter at Statens vegvesen hadde foretatt trafikktellinger på en veistrekning.
a) Vurder om sitatet fra artikkelen gir grunnlag for overskriften som er valgt.
b) Anta at fire av fem kjøretøy i kollektivfeltet er elbiler, og at du står langs denne veistrekningen i telleperioden.
Bestem sannsynligheten for at nøyaktig ett av de tre neste kjøretøyene som passerer deg i kollektivfeltet, er elbiler.
c) Bestem sannsynligheten for at minst to av de tre neste kjøretøyene som passerer deg i kollektivfeltet, er elbiler.
---
## H2015 del 2 oppgave 6 — Trekantundersøkelse og cosinussetningen med CAS og parameter a
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Cosinussetningen, CAS, Geometri, Andregradslikninger
- **Kort beskrivelse:** Bruk CAS og cosinussetningen til å undersøke antall mulige trekanter når en motstående side varierer med parameter a.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trekantundersokelse-og-cosinussetningen-med-cas-og-parameter-a/
### Oppgavetekst
Gitt $\Delta ABC$ slik at $\angle A = 45^\circ$, $BC = 6$ og $AC = 8$.
a) Bruk CAS til å bestemme lengden av $AB$ eksakt.
b) I resten av oppgaven setter vi $BC = a$.
Ved å velge ulike verdier for $a$ kan vi få to trekanter, én trekant eller ingen trekant.
Lag skisser som illustrerer dette.
c) Sett $AB = x$.
Bruk CAS til å bestemme for hvilke verdier av $a$ likningen
$$
a^2 = 8^2 + x^2 - 16x \cdot \cos 45^\circ
$$
- har to positive løsninger
- har én løsning
- ikke har løsning
Bruk eksakte verdier.
d) Vurder om svarene i oppgave c) samsvarer med skissene du laget i oppgave b).
---
## E2015 del 1 oppgave 1 — Standardform og forenkling av potensuttrykk med to variabler
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Potenser, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Regne ut produkt med standardform og forenkle potensuttrykk med to variabler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/standardform-og-forenkling-av-potensuttrykk-med-to-variabler/
### Oppgavetekst
a) Regn ut og skriv svaret på standardform
$$
8{,}20 \cdot 10^9 \cdot 1{,}50 \cdot 10^{-3}
$$
b) Skriv så enkelt som mulig
$$
\frac{(a^2)^4 \cdot \left(\frac{b}{a}\right)^2}{a^3 \cdot b^{-2}}
$$
---
## E2015 del 1 oppgave 2 — Kvadratsetninger og forkorting av andregradsbrøk
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Kvadratsetninger, Faktorisering, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Forenkle uttrykk med kvadratsetninger og forkorte rasjonal brøk ved faktorisering.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kvadratsetninger-og-forkorting-av-andregradsbrok/
### Oppgavetekst
a) Skriv så enkelt som mulig
$$
(a + b)^2 - (a - b)^2
$$
b) Faktoriser og forkort
$$
\frac{2x + 6}{2x^2 - 18}
$$
---
## E2015 del 1 oppgave 3 — Momentan vekstfart og ekstremalpunkter for tredjegradsfunksjon
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Funksjonsdrøfting, Polynomfunksjoner
- **Kort beskrivelse:** Bestemme momentan vekstfart og finne topp- og bunnpunkter for tredjegradsfunksjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/momentan-vekstfart-og-ekstremalpunkter-for-tredjegradsfunksjon/
### Oppgavetekst
En funksjon $g$ er gitt ved
$$
g(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 4 \quad , \quad D_g = \mathbb{R}
$$
a) Bestem den momentane vekstfarten til $g$ når $x = 1$
b) Bestem eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $g$.
---
## E2015 del 1 oppgave 4 — Sirkel kvadrat og trapes med areal og formler
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Areal og omkrets, Formler
- **Kort beskrivelse:** Sammenlikne areal av sirkel og kvadrat, omforme trapesformel og finne sidelengder.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sirkel-kvadrat-og-trapes-med-areal-og-formler/
### Oppgavetekst
a) Kari har tegnet en sirkel og et kvadrat. Hver av de to figurene har omkrets lik 16. Regn ut hvilken av figurene som har størst areal.
b) Arealet av et trapes er gitt ved formelen
$$
A = \frac{a + b}{2} \cdot h
$$
Uttrykk $h$ ved hjelp av $A$, $a$ og $b$.
c) Arealet av et trapes er $18{,}0 \mathrm{~cm^2}$. Høyden i trapeset er $3{,}0 \mathrm{~cm}$, og den ene parallelle siden er $2{,}0 \mathrm{~cm}$ lengre enn den andre. Regn ut lengden av de parallelle sidene.
---
## E2015 del 1 oppgave 5 — Konstruksjon og areal av to trekanter med sinus
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Arealsetningen, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Tegne rettvinklet trekant med gitt sinusverdi og sammenlikne areal av to trekanter med arealsetningen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/konstruksjon-og-areal-av-to-trekanter-med-sinus/
### Oppgavetekst
a) Tegn en rettvinklet trekant $ABC$ der $\sin B = \frac{2}{5}$
b) Undersøk hvilken av de to trekantene ovenfor som har størst areal.
---
## E2015 del 1 oppgave 6 — Rett linje gjennom to punkter og derivasjon ved definisjonen
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Grenseverdi, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Bestemme linjeligning gjennom to punkter og utlede den deriverte ved definisjonen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rett-linje-gjennom-to-punkter-og-derivasjon-ved-definisjonen/
### Oppgavetekst
a) Bestem likningen for den rette linjen som går gjennom punktene $(1, 2)$ og $(2, 4)$.
b) En funksjon $f$ er gitt ved
$$
f(x) = x^2 + 4
$$
Bruk definisjonen av den deriverte til å vise at $f'(x) = 2x$.
---
## E2015 del 1 oppgave 7 — Sannsynlighet for fargede sokker fra skuff
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Kombinatorikk
- **Kort beskrivelse:** Bestemme sannsynlighet ved trekning uten tilbakelegging av to sokker fra ti fargede sokker.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sannsynlighet-for-fargede-sokker-fra-skuff/
### Oppgavetekst
Siri har 2 brune, 2 røde, 2 blå, 2 hvite og 2 rosa sokker i en skuff. En dag tar hun tilfeldig to sokker fra skuffen.
a) Bestem sannsynligheten for at hun tar to rosa sokker.
b) Bestem sannsynligheten for at hun tar én rosa sokk og én sokk som har en annen farge.
---
## E2015 del 1 oppgave 8 — Lineær likning likningssett og andregradsulikhet
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likninger, Likningssystem, Ulikheter
- **Kort beskrivelse:** Løse brøklikning, to lineære likninger med to ukjente og andregradsulikhet med fortegnsskjema.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-likning-likningssett-og-andregradsulikhet/
### Oppgavetekst
a) Løs likningen
$$
-\frac{1}{4}x + 2 = 2x - \frac{5}{2}
$$
b) Løs likningssettet
$$
\begin{bmatrix} x + y = 7 \\ 3x - 2y = -4 \end{bmatrix}
$$
c) Løs ulikheten
$$
-2x^2 + 9x + 5 \le 0
$$
---
## E2015 del 1 oppgave 9 — Andregradsfunksjon med ett nullpunkt og skjæring med y-aksen
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Andregradsfunksjon, Nullpunkter
- **Kort beskrivelse:** Bestemme ukjente koeffisienter i en andregradsfunksjon med ett nullpunkt og gitt konstantledd.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/andregradsfunksjon-med-ett-nullpunkt-og-skjaering-med-y-aksen/
### Oppgavetekst
En funksjon $f$ er gitt ved
$$
f(x) = 4x^2 + bx + c
$$
Funksjonen har bare ett nullpunkt. Grafen til funksjonen skjærer $y$-aksen i punktet $(0, 1)$.
Bestem $b$ og $c$.
---
## E2015 del 1 oppgave 10 — Innskrevet trekant i rettvinklet trekant og maksimalt areal
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 10
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Andregradsfunksjon, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Vise arealformel for innskrevet trekant og finne x som maksimerer arealet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/innskrevet-trekant-i-rettvinklet-trekant-og-maksimalt-areal/
### Oppgavetekst
$\Delta PQM$ er innskrevet i $\Delta AOB$.
a) Vis at arealet av $\Delta PQM$ kan uttrykkes ved funksjonen $T$ gitt ved
$$
T(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 3x \quad x \in [0, 4]
$$
b) Bestem $x$ slik at arealet av $\Delta PQM$ blir størst mulig.
---
## E2015 del 2 oppgave 1 — Rettvinklet trekant med CAS og likningssystem for sidelengder
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Geometri, Pytagoras, CAS
- **Kort beskrivelse:** Forklare likningssystem for rettvinklet trekant og løse med CAS.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rettvinklet-trekant-med-cas-og-likningssystem-for-sidelengder/
### Oppgavetekst
Gitt $\Delta ABC$ ovenfor. Vi setter sidene i trekanten lik $a$, $b$ og $c$. Trekanten har omkrets 30. Høyden fra $C$ på $AB$ er 6.
a) Forklar hvorfor vi kan sette opp følgende likningssystem for å bestemme $a$, $b$ og $c$.
$$
\begin{cases} a + b + c = 30 & \\ a^2 + b^2 = c^2 & \\ ab = 6c \end{cases}
$$
b) Bruk CAS til å bestemme $a$, $b$ og $c$.
---
## E2015 del 2 oppgave 2 — Krysstabell og betinget sannsynlighet for matematikklekser
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Krysstabell, Valgtre, Betinget sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Systematisere opplysninger i krysstabell eller valgtre og beregne betinget sannsynlighet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/krysstabell-og-betinget-sannsynlighet-for-matematikklekser/
### Oppgavetekst
I en klasse er det 30 elever. 20 av elevene er fornøyde med karakteren i matematikk. 80 % av elevene som er fornøyde, gjør leksene til hver time. 10 % av elevene som ikke er fornøyde, gjør også leksene til hver time.
a) Gjør beregninger og lag et valgtre eller en krysstabell for å systematisere opplysningene i teksten ovenfor.
b) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev i klassen gjør leksene til hver time.
c) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev i klassen som gjør leksene til hver time, er fornøyd med karakteren i matematikk.
---
## E2015 del 2 oppgave 3 — Beregning av avstand over innsjø med CAS
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Sinussetningen, CAS
- **Kort beskrivelse:** Bestemme avstand i trekant ved sinussetningen i CAS.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/beregning-av-avstand-over-innsjo-med-cas/
### Oppgavetekst
Ovenfor ser du et utsnitt av et kart.
Bruk CAS til å bestemme hvor langt det er fra $A$ til $B$.
---
## E2015 del 2 oppgave 4 — Areal av trekant mellom tre trær med CAS
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Cosinussetningen, Arealsetningen, CAS
- **Kort beskrivelse:** Bestemme arealet av en trekant med tre kjente sider ved CAS.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/areal-av-trekant-mellom-tre-traer-med-cas/
### Oppgavetekst
I skolegården står det tre trær. Trærne danner hjørnene i en trekant. Petter måler avstandene mellom trærne til $14{,}0 \mathrm{~m}$, $20{,}0 \mathrm{~m}$ og $24{,}0 \mathrm{~m}$.
Bruk CAS til å bestemme arealet av trekanten som trærne danner.
---
## E2015 del 2 oppgave 5 — Minimere areal av rettvinklet trekant under graf med CAS
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Rasjonale funksjoner, CAS, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Minimere arealet av rettvinklet trekant under en rasjonal funksjon med CAS.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/minimere-areal-av-rettvinklet-trekant-under-graf-med-cas/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = \frac{10}{x^2} + 5, \quad x > 0
$$
Punktet $A$ har koordinatene $(0, 0)$, punktet $B$ ligger på $x$-aksen, punktet $C$ ligger på grafen til $f$ og $\angle B = 90^\circ$.
Bruk CAS til å bestemme den eksakte verdien av $x$ slik at arealet av $\Delta ABC$ blir minst mulig. Hvor stort blir arealet da?
---
## E2015 del 2 oppgave 6 — Modeller for folketall i to bygder med graftegner og CAS
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Polynomfunksjoner, Funksjonsdrøfting, Derivasjon, CAS
- **Kort beskrivelse:** Analysere tredjegradsmodeller for folketall med graftegner, CAS og derivasjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/modeller-for-folketall-i-to-bygder-med-graftegner-og-cas/
### Oppgavetekst
Funksjonene $A$ og $B$ er modeller som viser hvordan folketallet i to små bygder endret seg i perioden fra 2006 til 2014.
$$
A(x) = 0{,}54x^3 + 6{,}32x^2 + 33{,}8x + 1410, \quad x \in [0, 8]
$$
$$
B(x) = -0{,}20x^3 - 5{,}32x^2 + 18{,}8x + 1693, \quad x \in [0, 8]
$$
Her er $x$ antall år etter 2006, og $A(x)$ og $B(x)$ viser folketallet i bygd A og i bygd B.
a) Bruk en graftegner til å bestemme
1\) når folketallet i bygd B var størst, og hvor mange folk det bodde i denne bygda da
2\) når folketallet var likt i de to bygdene
3\) når folketallet i de to bygdene til sammen passerte 3 500
b) Bruk CAS til å løse oppgave a) 2).
c) Løs oppgave a) 1) ved derivasjon.
---
## E2015 del 2 oppgave 7 — Maksimalt areal for vindu av rektangel og halvsirkel
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Derivasjon, Areal og omkrets, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Bestemme radius som maksimerer arealet av et vindu med gitt omkrets.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/maksimalt-areal-for-vindu-av-rektangel-og-halvsirkel/
### Oppgavetekst
Vinduet ovenfor er satt sammen av et rektangel og en halvsirkel. Vinduet har omkrets $8{,}0 \mathrm{~m}$.
Hva må radius $r$ i halvsirkelen være for at arealet av vinduet skal bli størst mulig? Bestem dette arealet.
---
## V2014 del 1 oppgave 1 — Multiplikasjon av tall på standardform med tierpotenser
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Potenser
- **Kort beskrivelse:** Regne ut produkt av to tall på standardform med tierpotenser.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/multiplikasjon-av-tall-pa-standardform-med-tierpotenser/
### Oppgavetekst
Regn ut og skriv svaret på standardform:
$$
2{,}5 \cdot 10^{15} \cdot 3{,}0 \cdot 10^{-5}
$$
---
## V2014 del 1 oppgave 2 — Forenkling av rot- og potensuttrykk
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Potenser, Røtter
- **Kort beskrivelse:** Forenkle et uttrykk med brøkekponenter, nullte potens, negativ eksponent og tredjerot.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkling-av-rot-og-potensuttrykk/
### Oppgavetekst
Regn ut og skriv svaret så enkelt som mulig:
$$
9^{\frac{1}{2}} \cdot 6^0 \cdot 4^{-1} \cdot \sqrt[3]{8^2}
$$
---
## V2014 del 1 oppgave 3 — Eksponentlikning med toerpotenser
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Eksponentiallikning, Potenser
- **Kort beskrivelse:** Løse en eksponentlikning med grunntall 2 ved å summere eksponenter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksponentlikning-med-toerpotenser/
### Oppgavetekst
Løs likningen:
$$
2^{2-x} \cdot 2^{1+2x} = 32
$$
---
## V2014 del 1 oppgave 4 — Fullstendig kvadrat med parameter c
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Fullstendig kvadrat
- **Kort beskrivelse:** Bestemme konstantleddet c slik at et andregradsuttrykk blir et fullstendig kvadrat.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fullstendig-kvadrat-med-parameter-c/
### Oppgavetekst
Bestem $c$ slik at uttrykket
$$
x^2 + 8x + c
$$
blir et fullstendig kvadrat.
---
## V2014 del 1 oppgave 5 — Lineært likningssystem med to ukjente
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem
- **Kort beskrivelse:** Løse et lineært likningssystem med to ukjente ved innsettings- eller addisjonsmetoden.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaert-likningssystem-med-to-ukjente/
### Oppgavetekst
Løs likningssystemet:
$$
\begin{bmatrix} 2x - 3y = -7 \\ 3x - y = 7 \end{bmatrix}
$$
---
## V2014 del 1 oppgave 6 — Forenkling og addisjon av rasjonale brøkuttrykk
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Brøk, Faktorisering, Rasjonale funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Trekke sammen rasjonale brøker med fellesnevner etter faktorisering med konjugatsetningen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkling-og-addisjon-av-rasjonale-brokuttrykk/
### Oppgavetekst
Trekk sammen og skriv så enkelt som mulig:
$$
\frac{6}{x-3} - \frac{5x+15}{x^2-9} + 1
$$
---
## V2014 del 1 oppgave 7 — Søsken i klassen med venndiagram og betinget sannsynlighet
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Venndiagram, Betinget sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Systematisere elevdata i venndiagram og beregne sannsynlighet og betinget sannsynlighet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sosken-i-klassen-med-venndiagram-og-betinget-sannsynlighet/
### Oppgavetekst
I en klasse er det 25 elever. 15 av elevene har eldre søsken. 18 av elevene har yngre søsken. 2 av elevene har ikke søsken.
a) Systematiser opplysningene ovenfor i et venndiagram.
Vi velger tilfeldig én elev fra klassen.
b) Bestem sannsynligheten for at eleven har eldre, men ikke yngre, søsken.
Vi velger tilfeldig én av elevene som har eldre søsken.
c) Bestem sannsynligheten for at eleven også har yngre søsken.
---
## V2014 del 1 oppgave 8 — Rettvinklet trekant med areal og trigonometriske ulikheter
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Rettvinklet trekant, Areal og omkrets, Pytagoras
- **Kort beskrivelse:** Beregne ukjent katet i rettvinklet trekant og vurdere påstander om areal og trigonometriske verdier.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rettvinklet-trekant-med-areal-og-trigonometriske-ulikheter/
### Oppgavetekst
I $\Delta ABC$ er $AC = 10$, $BC = 7$ og $\angle B = 90^\circ$.
Lag en skisse, gjør beregninger, og avgjør om følgende påstander er riktige:
1\) Arealet av trekanten er større enn $24{,}5$
2\)
$$
\sin A > \cos A
$$
---
## V2014 del 1 oppgave 9 — Andregradsfunksjon med nullpunkter og tangentlikning
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Andregradsfunksjon, Nullpunkter, Derivasjon, Tangent
- **Kort beskrivelse:** Bestemme nullpunkter, finne tangentlikning med gitt stigningstall ved derivasjon og tegne grafen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/andregradsfunksjon-med-nullpunkter-og-tangentlikning/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = x^2 + 2x - 3
$$
a) Bestem nullpunktene til $f$ ved regning.
b) Grafen til $f$ har en tangent med stigningstall 2. Bestem likningen til denne tangenten.
c) Tegn grafen til $f$ sammen med tangenten fra oppgave b).
---
## V2014 del 1 oppgave 10 — Andregradsfunksjon med ett nullpunkt og konstantledd
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 10
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Andregradsfunksjon, Nullpunkter
- **Kort beskrivelse:** Bestemme koeffisienter i andregradsfunksjon ut fra skjæring med y-aksen og krav om ett nullpunkt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/andregradsfunksjon-med-ett-nullpunkt-og-konstantledd/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = x^2 + bx + c
$$
Grafen til $f$ skjærer $y$-aksen i punktet $(0, 4)$ og har ett nullpunkt.
Bestem $b$ og $c$.
---
## V2014 del 2 oppgave 1 — Jannes joggeturer med lineær regresjon
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Lineære funksjoner, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Tilpasse en lineær modell med regresjon i GeoGebra og bruke modellen til ekstrapolasjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/jannes-joggeturer-med-lineaer-regresjon/
### Oppgavetekst
| Uke ($x$) | 1 | 3 | 9 | 15 | 20 |
| :--- | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| Lengde ($y$) | $3{,}4\text{ km}$ | $5{,}1\text{ km}$ | $8{,}5\text{ km}$ | $15{,}5\text{ km}$ | $18{,}0\text{ km}$ |
Tabellen ovenfor viser hvor langt Janne jogget noen uker etter at hun begynte å trene. Den første uka jogget hun $3{,}4\text{ km}$, den tredje uka jogget hun $5{,}1\text{ km}$, og så videre.
a) Bestem den lineære funksjonen som passer best med tallene i tabellen ovenfor.
b) Hvor langt vil Janne jogge i uke 25 ifølge funksjonen i oppgave a)?
c) I hvilken uke jogget Janne for første gang mer enn $10\text{ km}$ ifølge funksjonen i oppgave a)?
---
## V2014 del 2 oppgave 2 — Vektutvikling for idrettsutøver med tredjegradsmodell
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 9
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Polynomfunksjoner, Graftegner, Derivasjon, Vekstfart, Stasjonære punkter
- **Kort beskrivelse:** Drøfte en tredjegradsmodell i digitalt verktøy: ekstremalpunkter, gjennomsnittlig og momentan vekstfart.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vektutvikling-for-idrettsutover-med-tredjegradsmodell/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ gitt ved
$$
f(x) = 0{,}0017x^3 - 0{,}13x^2 + 2{,}3x + 72 \quad , \quad x \in [0, 52]
$$
viser hvor mange kilogram $f(x)$ en idrettsutøver veide $x$ uker etter 1. januar 2013.
a) Tegn grafen til $f$.
b) Hvor mye veide idrettsutøveren 1. januar 2013, og hvor mye veide han ett år (52 uker) senere?
c) Omtrent hvor mange uker i løpet av 2013 veide han mer enn $70\text{ kg}$?
d) Når veide idrettsutøveren mest, og når veide han minst? Hvor mye gikk han i gjennomsnitt ned i vekt per uke i den perioden han gikk ned i vekt?
e) Bestem $f'(3)$ og $f'(25)$. Hva forteller disse to svarene om vekten til idrettsutøveren?
---
## V2014 del 2 oppgave 3 — Soveposer med glidelåsfeil og krysstabell
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Krysstabell
- **Kort beskrivelse:** Fylle ut krysstabell og beregne sannsynlighet for sammensatt uttrekk uten tilbakelegging.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/soveposer-med-glidelasfeil-og-krysstabell/
### Oppgavetekst
En bedrift produserer to ulike typer soveposer. Undersøkelser viser at $10\,\%$ av soveposene av type 1 og $15\,\%$ av soveposene av type 2 har en feil med glidelåsen.
På lageret ligger 1000 soveposer av type 1 og 4000 soveposer av type 2.
a) Systematiser opplysningene ovenfor i en krysstabell.
Bjarne har tilfeldig tatt to soveposer fra lageret. Det viser seg at begge soveposene har feil med glidelåsen.
b) Bestem sannsynligheten for at én av soveposene er av type 1 og at én er av type 2.
---
## V2014 del 2 oppgave 4 — Kuler i skål med valgtre og sannsynlighet
- **Fag:** 1T, 1P
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Valgtre
- **Kort beskrivelse:** Tegne valgtre og beregne sannsynlighet for å trekke to hvite og én rød kule uten tilbakelegging.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kuler-i-skal-med-valgtre-og-sannsynlighet/
### Oppgavetekst
I en skål er det åtte hvite og seks røde kuler. Du skal trekke tre kuler tilfeldig.
a) Systematiser de ulike utfallene i et valgtre.
b) Bestem sannsynligheten for at du trekker to hvite og én rød kule. Marker hvordan du finner løsningen i valgtreet i oppgave a).
---
## V2014 del 2 oppgave 5 — Deling av trestykke med likning
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Likninger
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og løse en lineær likning for oppdeling av et trestykke i fire deler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/deling-av-trestykke-med-likning/
### Oppgavetekst
Et trestykke er $35\text{ cm}$ langt. Trestykket skal deles i fire deler.
To deler skal være like lange. Den tredje delen skal være dobbelt så lang som de to like delene til sammen, og halvparten så lang som den fjerde delen.
Bestem lengden av hver av de fire delene.
---
## V2014 del 2 oppgave 6 — Areal av trekant med tre kjente sider
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Cosinussetningen, Arealsetningen, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Beregne vinkel med cosinussetningen og finne trekantens areal med arealsetningen eller Herons formel.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/areal-av-trekant-med-tre-kjente-sider/
### Oppgavetekst
Regn ut arealet av $\Delta ABC$.
---
## V2014 del 2 oppgave 7 — Båt fortøyd til brygge med synkende vannstand
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Rettvinklet trekant, Pytagoras
- **Kort beskrivelse:** Bruke trigonometri og Pytagoras' setning til å bestemme avstand til brygge ved endret vannstand.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bat-fortoyd-til-brygge-med-synkende-vannstand/
### Oppgavetekst
En båt ligger fortøyd ved en brygge med et stramt tau som går fra $C$ til $B$. Tauet er $3{,}0\text{ m}$ langt. Se skissen ovenfor.
a) Bestem avstanden $AB$ fra båten til bryggen når $\angle v = 52^\circ$.
Vannstanden synker med $30\text{ cm}$.
b) Bestem avstanden fra båten til bryggen nå.
---
## V2014 del 2 oppgave 8 — Trekant med minimal omkrets og funksjonsdrøfting
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, Optimering, Geometri, Pytagoras
- **Kort beskrivelse:** Utlede omkretsfunksjon for trekant ved Pytagoras' setning og finne minimumspunktet digitalt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trekant-med-minimal-omkrets-og-funksjonsdrofting/
### Oppgavetekst
$\Delta ABC$ har grunnlinje $AB = 8$. Punktet $D$ ligger på $AB$. $CD = 6$ og $\angle BDC = 90^\circ$. Se skissen til høyre.
Vi setter $BD = x$.
a) Vis at sammenhengen mellom lengden $x$ og omkretsen $f(x)$ av $\Delta ABC$ er gitt ved
$$
f(x) = 8 + \sqrt{x^2 + 36} + \sqrt{x^2 - 16x + 100} \quad , \quad x \in [0, 8]
$$
b) Bestem $x$ slik at omkretsen av $\Delta ABC$ blir minst mulig. Forklar at trekanten da vil være likebeint.
---
## V2014 del 2 oppgave 9 — Petters geometriske bevis for likebeint trekant
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Bevis, Argumentasjon, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Forklare et geometrisk refleksjonsbevis for korteste vei og minimal omkrets.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/petters-geometriske-bevis-for-likebeint-trekant/
### Oppgavetekst
Petter får i oppgave å vise at når omkretsen av trekanten i oppgave 8 er minst mulig, er trekanten likebeint. Han løser oppgaven med figurer. Se nedenfor.
Ved hjelp av figurene viser han hvor punktet $D$ må plasseres på linjestykket $AB$ for at lengden $AC + CB$ i figur 1 skal bli kortest mulig.
Forklar hva Petter har gjort, og at han har løst oppgaven riktig.
---
## H2014 del 1 oppgave 1 — Multiplikasjon av store og små tall på standardform
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Potenser
- **Kort beskrivelse:** Beregne produkt av et stort og et lite tall og skrive svaret på standardform.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/multiplikasjon-av-store-og-sma-tall-pa-standardform/
### Oppgavetekst
Regn ut og skriv svaret på standardform:
$$
25\,000\,000\,000 \cdot 0{,}0005
$$
---
## H2014 del 1 oppgave 2 — Eksponentlikning med lineær eksponent
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Eksponentiallikning, Potenser
- **Kort beskrivelse:** Løse en eksponentlikning med grunntall 2 ved å skrive høyre side som toerpotens.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksponentlikning-med-lineaer-eksponent/
### Oppgavetekst
Løs likningen:
$$
2^{2 + \frac{x}{2}} = 16
$$
---
## H2014 del 1 oppgave 3 — Logaritmelikning med tierlogaritme lik null
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Logaritmelikning, Logaritmer
- **Kort beskrivelse:** Løse en enkel tierlogaritmelikning der logaritmen er lik null.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/logaritmelikning-med-tierlogaritme-lik-null/
### Oppgavetekst
Løs likningen:
$$
\lg(2x - 3) = 0
$$
---
## H2014 del 1 oppgave 4 — Andregradsulikhet med to røtter og fortegnslinje
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Andregradsulikhet, Fortegnslinje, Faktorisering
- **Kort beskrivelse:** Løse en andregradsulikhet ved faktorisering og fortegnsskjema.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/andregradsulikhet-med-to-rotter-og-fortegnslinje/
### Oppgavetekst
Løs ulikheten:
$$
x^2 + x > 2
$$
---
## H2014 del 1 oppgave 5 — Valgtre for elever til spørreundersøkelse
- **Fag:** 1T, 1P
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Valgtre
- **Kort beskrivelse:** Tegne valgtre og beregne sannsynligheten for utvalg av én jente og én gutt uten tilbakelegging.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/valgtre-for-elever-til-sporreundersokelse/
### Oppgavetekst
I en klasse er det seks gutter og fire jenter. To elever velges tilfeldig til å være med i en spørreundersøkelse.
Tegn et valgtre, og bruk dette til å bestemme sannsynligheten for at én jente og én gutt velges ut.
---
## H2014 del 1 oppgave 6 — Tredjegradsfunksjon med fortegn og vekstfart fra graf
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Polynomfunksjoner, Graftolkning, Vekstfart, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Avlese funksjonsverdier, fortegn til funksjon og derivert, samt gjennomsnittlig vekstfart fra graf.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tredjegradsfunksjon-med-fortegn-og-vekstfart-fra-graf/
### Oppgavetekst
Ovenfor ser du grafen til en tredjegradsfunksjon $f$.
a) For hvilke verdier av $x$ er $f(x) \ge 0$?
For hvilke verdier av $x$ er $f'(x) < 0$?
b) Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til $f$ fra $x = 0$ til $x = 2$.
---
## H2014 del 1 oppgave 7 — Forenkling av rasjonalt uttrykk med konjugatsetningen
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Brøk, Faktorisering, Rasjonale funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Trekke sammen rasjonale brøkuttrykk med fellesnevner og konjugatsetningen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkling-av-rasjonalt-uttrykk-med-konjugatsetningen/
### Oppgavetekst
Trekk sammen og skriv så enkelt som mulig:
$$
\frac{3x}{x+3} - \frac{3}{x-3} - \frac{x^2 - 12x + 9}{x^2 - 9}
$$
---
## H2014 del 1 oppgave 8 — Forklare påstander om negative potenser tangens og logaritmer
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Argumentasjon, Potenser, Trigonometri, Logaritmer
- **Kort beskrivelse:** Begrunne og forklare matematiske påstander om negativ brøkeksponent, tangens og tierlogaritmer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forklare-pastander-om-negative-potenser-tangens-og-logaritmer/
### Oppgavetekst
Forklar hvorfor hver av påstandene nedenfor er riktige:
a)
$$
\left(\frac{2}{5}\right)^{-1} > 2
$$
b)
$$
\tan 45^\circ = 1
$$
c)
$$
\log 200 > 2
$$
---
## H2014 del 1 oppgave 9 — Formlike trekanter og parallell linje
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Formlike trekanter, Geometri, Rettvinklet trekant, Pytagoras
- **Kort beskrivelse:** Beregne ukjente sidelengder i formlike rettvinklede trekanter ved Pytagoras og forholdstall.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/formlike-trekanter-og-parallell-linje/
### Oppgavetekst
Gitt $\Delta ABC$. Punktet $D$ ligger på $AB$ og punktet $E$ ligger på $AC$ slik at $DE \parallel BC$. Se skissen ovenfor.
$AB = 8$, $AE = 3$ og arealet av $\Delta ABC$ er 16.
a) Bestem $AC$ og $AD$ ved regning.
b) Vis ved regning at $BC - DE = \sqrt{5}$.
---
## H2014 del 1 oppgave 10 — Derivasjon av rotfunksjoner med potensregelen
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 10
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Potenser, Røtter
- **Kort beskrivelse:** Bruke derivasjonsregelen for potenser på rotfunksjoner og rasjonale uttrykk.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-av-rotfunksjoner-med-potensregelen/
### Oppgavetekst
Karin har lært at det er mulig å bruke derivasjonsregelen $(x^n)' = n x^{n-1}$ til å derivere funksjonen $f$ gitt ved
$$
f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}
$$
Hun starter med å skrive
$$
f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = x^{-\frac{1}{2}}
$$
Så deriverer hun:
$$
f'(x) = -\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2} - 1}
$$
a) Skriv om uttrykket for $f'(x)$ ovenfor, og vis at
$$
f'(x) = -\frac{1}{2\sqrt{x^3}}
$$
Funksjonene $g$ og $h$ gitt ved $g(x) = \frac{1}{x^2}$ og $h(x) = \sqrt{x}$ kan også deriveres ved å bruke derivasjonsregelen ovenfor.
b) Bestem $g'(x)$ og $h'(x)$.
---
## H2014 del 2 oppgave 1 — Lineær regresjon for tilnærmet sammenheng
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Bestemme en lineær regresjonsmodell for et datamateriale digitalt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-regresjon-for-tilnaermet-sammenheng/
### Oppgavetekst
| $x$ | $0{,}6$ | $2{,}5$ | $5{,}4$ | $7{,}8$ | $9{,}6$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $y$ | 250 | 480 | 660 | 920 | 1 140 |
Det er en tilnærmet lineær sammenheng mellom størrelsene $x$ og $y$. Se tabellen ovenfor.
Bruk regresjon til å bestemme denne sammenhengen.
---
## H2014 del 2 oppgave 2 — Bakteriekultur med fjerdegradsfunksjon
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Polynomfunksjoner, Graftegner, Stasjonære punkter, Vekstfart
- **Kort beskrivelse:** Drøfte en fjerdegradsmodell digitalt: ekstremalpunkt, aksekjæringer og momentan vekstfart.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bakteriekultur-med-fjerdegradsfunksjon/
### Oppgavetekst
Grete observerer en bakteriekultur. Funksjonen $B$ gitt ved
$$
B(x) = -0{,}1x^4 + 5{,}5x^3 - 150x^2 + 5500x + 200\,000
$$
viser antall bakterier $B(x)$ i bakteriekulturen $x$ timer etter at hun startet observasjonene.
a) Tegn grafen til $B$ for $x \in [0, 60]$.
b) Bestem toppunktet på grafen og skjæringspunktene mellom grafen og aksene.
c) Hva forteller svarene i oppgave b) om bakteriekulturen?
d) Bestem den momentane vekstfarten til bakteriekulturen etter 40 timer.
---
## H2014 del 2 oppgave 3 — Trafikalt grunnkurs og betinget sannsynlighet
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Betinget sannsynlighet, Krysstabell
- **Kort beskrivelse:** Beregne betinget sannsynlighet og sannsynlighet for 'minst én' i en klasse.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trafikalt-grunnkurs-og-betinget-sannsynlighet/
### Oppgavetekst
I en klasse er det 13 gutter og 17 jenter. 8 av guttene og 9 av jentene har tatt trafikalt grunnkurs.
Vi velger tilfeldig en elev fra klassen. Eleven har ikke tatt trafikalt grunnkurs.
a) Bestem sannsynligheten for at eleven er en jente.
Vi velger tilfeldig to elever fra klassen.
b) Bestem sannsynligheten for at minst én av dem har tatt trafikalt grunnkurs.
---
## H2014 del 2 oppgave 4 — Areal av firkantet tomt med rett vinkel
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Areal og omkrets, Pytagoras, Cosinussetningen, Arealsetningen
- **Kort beskrivelse:** Dele en firkant i to trekanter ved en diagonal og beregne samlet areal med Pytagoras og cosinussetningen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/areal-av-firkantet-tomt-med-rett-vinkel/
### Oppgavetekst
En tomt har form som vist på figuren ovenfor.
Bestem arealet av tomta ved regning.
---
## H2014 del 2 oppgave 5 — To ulike trekanter med sinussetningen
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Sinussetningen, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Skissere og beregne de to mulige trekantene som oppfyller gitte mål ved sinussetningen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/to-ulike-trekanter-med-sinussetningen/
### Oppgavetekst
Gitt to ulike trekanter $ABC$ som er slik at $\angle A = 40^\circ$, $BC = 6{,}0\text{ cm}$ og $AC = 9{,}0\text{ cm}$.
a) Lag en skisse som viser hvordan de to trekantene kan se ut.
b) Sett opp uttrykk som du kan bruke til å bestemme lengden av siden $AB$ i hver av trekantene. Bruk uttrykkene til å bestemme de to lengdene.
---
## H2014 del 2 oppgave 6 — Skjæring mellom lineær funksjon og rasjonal funksjon
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, Andregradslikninger, Diskriminant
- **Kort beskrivelse:** Undersøke skjæringspunkter mellom linje og rasjonal funksjon grafisk og algebraisk ved diskriminant.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/skjaering-mellom-lineaer-funksjon-og-rasjonal-funksjon/
### Oppgavetekst
Funksjonene $f$ og $g$ er gitt ved
$$
f(x) = ax + 4
$$
$$
g(x) = \frac{2}{x} \quad , \quad x \neq 0
$$
a) Illustrer grafisk at likningen $f(x) = g(x)$ kan ha ingen løsning, én løsning eller to løsninger, avhengig av verdien av $a$.
b) Bestem ved regning verdiene av $a$ slik at likningen $f(x) = g(x)$ har
- ingen løsning
- én løsning
- to løsninger
---
## H2014 del 2 oppgave 7 — Linje gjennom to punkter og areal av trekant
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Areal og omkrets
- **Kort beskrivelse:** Bestemme linjelikning gjennom to punkter og finne koordinatene til et punkt som halverer trekantarealet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/linje-gjennom-to-punkter-og-areal-av-trekant/
### Oppgavetekst
Gitt punktene $A(0, 0)$, $B(5, 0)$ og $C(0, 4)$.
Et punkt $P$ ligger på den rette linjen $l$ som går gjennom punktene $B$ og $C$.
a) Forklar at koordinatene til $P$ kan skrives på formen $\left(x, -\frac{4}{5}x + 4\right)$.
b) Bestem ved regning koordinatene til $P$ slik at arealet av $\Delta ABP$ blir halvparten så stort som arealet av $\Delta ABC$.
---
## H2014 del 2 oppgave 8 — Trappetrinn i tårn med likning
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likninger
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og løse en lineær likning for antall trappetrinn ut fra relative posisjoner.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trappetrinn-i-tarn-med-likning/
### Oppgavetekst
Per og Kari er på vei opp trappene i et tårn. Per er hele tiden 52 trappetrinn foran Kari. Når Per er kommet halvveis opp, roper han til Kari: «Når jeg er helt oppe, er du kommet tre ganger så langt som du er nå.»
Hvor mange trappetrinn er det i tårnet?
---
## H2014 del 2 oppgave 9 — Babylonsk geometrisk løsning av andregradslikning
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Andregradslikninger, Fullstendig kvadrat, Bevis, Geometri, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Forklare babylonernes geometriske resonnement for løsning av andregradslikninger ved fullstendig kvadrat.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/babylonsk-geometrisk-losning-av-andregradslikning/
### Oppgavetekst
Figuren ovenfor er sammensatt av et rektangel med lengde $x$ og bredde $b$, og et kvadrat med sider $x$. Figuren har areal lik $c$.
a) Forklar hvorfor $x$ må være en løsning av likningen
$$
x^2 + bx = c
$$
Allerede for 4000 år siden var babylonerne i stand til å løse andregradslikninger av samme type som likningen i oppgave a).
Babylonerne brukte et geometrisk resonnement. De startet med figuren i oppgave a) og tegnet så rektangler og kvadrater som vist nedenfor.
b) Vis at arealet av kvadratet $ABCD$ er gitt ved $c + \frac{b^2}{4}$.
c) Forklar hvorfor $x$ må være den positive løsningen av likningen
$$
\left(x + \frac{b}{2}\right)^2 = c + \frac{b^2}{4}
$$
d) Bruk oppgave c) til å vise at
$$
x = \frac{-b + \sqrt{b^2 + 4c}}{2}
$$
---
## V2013 del 1 oppgave 1 — 750 000 delt på 0,005 på standardform
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Tallregning
- **Kort beskrivelse:** Dele $750\,000$ på $0{,}005$ ved å skrive tallene på standardform.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/750-000-delt-pa-0-005-pa-standardform/
### Oppgavetekst
Regn ut og skriv svaret på standardform
$$
\frac{750\,000}{0{,}005}
$$
---
## V2013 del 1 oppgave 2 — Lineært likningssystem med 2x + 3y og 5x - 2y
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem
- **Kort beskrivelse:** Løse lineært likningssystem med to ukjente ved innsetting eller addisjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaert-likningssystem-med-2x-3y-og-5x-2y/
### Oppgavetekst
Løs likningssystemet
$$
\begin{bmatrix} 2x + 3y = 7 \\ 5x - 2y = 8 \end{bmatrix}
$$
---
## V2013 del 1 oppgave 3 — Forkorting av x² - 16 over x² - 8x + 16
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Rasjonale uttrykk, Faktorisering, Kvadratsetninger
- **Kort beskrivelse:** Faktorisere med konjugatsetningen og andre kvadratsetning, og forkorte brøken.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forkorting-av-x2-16-over-x2-8x-16/
### Oppgavetekst
Skriv så enkelt som mulig
$$
\frac{x^2 - 16}{x^2 - 8x + 16}
$$
---
## V2013 del 1 oppgave 4 — Likning for rett linje gjennom (0, 3) og (6, 0)
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Stigningstall
- **Kort beskrivelse:** Finne stigningstall og konstantledd fra to avleste punkter og skrive likningen for linjen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/likning-for-rett-linje-gjennom-0-3-og-6-0/
### Oppgavetekst
Bestem likningen for den rette linjen i koordinatsystemet ovenfor.
---
## V2013 del 1 oppgave 5 — Sortere sin 50°, lg 150, rot 20 og andre uttrykk etter stigende verdi
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Potenser, Logaritmer, Trigonometri, Kvadratrøtter
- **Kort beskrivelse:** Anslå og sammenligne verdier av sinus, potenser, kvadratrot og logaritme uten hjelpemidler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sortere-sin-50-lg-150-rot-20-og-andre-uttrykk-etter-stigende-verdi/
### Oppgavetekst
Sorter uttrykkene nedenfor etter stigende verdi. Vis eller forklar hvordan du har tenkt.
$$
\sin 50\degree \qquad \left(\frac{1}{2}\right)^0 \qquad \sqrt{20} \qquad \frac{1}{9} - 3^{-2} \qquad \lg 150 \qquad 27^{\frac{1}{3}}
$$
---
## V2013 del 1 oppgave 6 — Tre røde og to blå kuler – sannsynlighet for samme farge
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Valgtre
- **Kort beskrivelse:** Sannsynlighet for to kuler med samme farge ved trekning uten tilbakelegging.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tre-rode-og-to-bla-kuler-sannsynlighet-for-samme-farge/
### Oppgavetekst
I en eske er det tre røde og to blå kuler. Sondre trekker tilfeldig to av kulene.
Bestem sannsynligheten for at de to kulene han trekker, har samme farge.
---
## V2013 del 1 oppgave 7 — Toppunkt, nullpunkter og tangent for f(x) lik -x² - 4x + 5
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Andregradsfunksjon, Nullpunkter, Derivasjon, Tangent
- **Kort beskrivelse:** Nullpunkter, toppunkt, skisse og tangent i $x = -1$ for $f(x) = -x^2 - 4x + 5$ ved regning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/toppunkt-nullpunkter-og-tangent-for-f-x-lik-x2-4x-5/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x) = -x^2 - 4x + 5$
a) Bestem nullpunktene til $f$ ved regning.
b) Bestem koordinatene til eventuelle ekstremalpunkter (topp- eller bunnpunkter) på grafen til $f$ ved regning.
c) Lag en skisse av grafen til $f$.
d) Bestem likningen for tangenten til grafen til $f$ i punktet $(-1, f(-1))$ ved regning. Tegn tangenten i samme koordinatsystem som du brukte i oppgave 7 c).
---
## V2013 del 1 oppgave 8 — Hippokrates-månen og arealet av trekant AOC
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Sirkel, Areal og omkrets, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Vise $AC = r\sqrt{2}$ med Pytagoras og at arealet av Hippokrates-månen er lik arealet av $\triangle AOC$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/hippokrates-manen-og-arealet-av-trekant-aoc/
### Oppgavetekst
Ovenfor ser du to halvsirkler. Den ene har sentrum i $O$ og radius $OA = r$, den andre har sentrum i $D$ og radius $AD$.
a) Vis at $AC = r \cdot \sqrt{2}$
b) Vis ved regning at arealet av området som er markert med blått på figuren ovenfor, er lik arealet av $\triangle AOC$.
> Hippokrates fra Khios
> Hippokrates fra Khios (ca. 460–370 f.Kr.) var trolig den første greske matematikeren som skrev en lærebok i geometri.
>
> Grekerne studerte blant annet om man ut fra en sirkel kan konstruere et kvadrat som har like stort areal som sirkelen (*sirkelens kvadratur*). *Hippokrates-månen* (markert med blå farge på figuren ovenfor) var en del av Hippokrates' arbeid med dette problemet.
---
## V2013 del 2 oppgave 1 — Rettvinklet trekant med 60° vinkel og lengste katet 4,0 cm
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Rettvinklet trekant
- **Kort beskrivelse:** Innse at 60°-vinkelen står mot den lengste kateten og bruke tangens og sinus til å finne de andre sidene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rettvinklet-trekant-med-60-vinkel-og-lengste-katet-4-0-cm/
### Oppgavetekst
I en rettvinklet trekant er den lengste kateten $4{,}0 \mathrm{~cm}$. En av vinklene i trekanten er $60\degree$.
Bestem lengden av den korteste kateten og hypotenusen i denne trekanten ved regning.
---
## V2013 del 2 oppgave 2 — Diagonal og areal av firkant ABCD med vinkler 60° og 38,2°
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Cosinussetningen, Arealsetningen
- **Kort beskrivelse:** Finne diagonalen i firkant med cosinussetningen og arealet som summen av to trekanter med arealsetningen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/diagonal-og-areal-av-firkant-abcd-med-vinkler-60-og-38-2/
### Oppgavetekst
Gitt $\Box ABCD$ ovenfor.
a) Bestem lengden av diagonalen $BD$ ved regning.
b) Bestem arealet av firkanten ved regning.
---
## V2013 del 2 oppgave 3 — Fargeblinde menn og kvinner i undersøkelse med 10 000 deltakere
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Betinget sannsynlighet, Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Regne ut antall fargeblinde med prosent og finne betinget sannsynlighet for kvinne blant de fargeblinde.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fargeblinde-menn-og-kvinner-i-undersokelse-med-10-000-deltakere/
### Oppgavetekst
4000 menn og 6000 kvinner deltar i en undersøkelse. Det viser seg at 8 % av mennene og 1 % av kvinnene som deltar i undersøkelsen, er fargeblinde.
a) Regn ut hvor mange fargeblinde personer det er som deltar i undersøkelsen, og bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person som deltar i undersøkelsen, er fargeblind.
Tenk deg at vi samler de fargeblinde personene som deltar i undersøkelsen, i en gruppe. Fra denne gruppen velger vi tilfeldig én person.
b) Bestem sannsynligheten for at vi velger en kvinne.
---
## V2013 del 2 oppgave 4 — Binomisk sannsynlighet for Oslo-folk som ønsker å flytte fra byen
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Binomisk fordeling, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Binomisk sannsynlighet med $n = 100$ og $p = \frac{1}{3}$ for nøyaktig 30 og for mellom 30 og 50.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/binomisk-sannsynlighet-for-oslo-folk-som-onsker-a-flytte-fra-byen/
### Oppgavetekst
En undersøkelse viser at én av tre personer som bor i Oslo, ønsker å flytte fra byen. Vi velger tilfeldig 100 personer som bor i Oslo.
a) Bestem sannsynligheten for at nøyaktig 30 av de 100 personene ønsker å flytte fra byen.
b) Bestem sannsynligheten for at mellom 30 og 50 av de 100 personene ønsker å flytte fra byen.
---
## V2013 del 2 oppgave 5 — Likningssystem for menn og kvinner som vil trene i ferien
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Prosentregning, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og løse lineært likningssystem for antall menn og kvinner ut fra prosentandeler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/likningssystem-for-menn-og-kvinner-som-vil-trene-i-ferien/
### Oppgavetekst
- I en undersøkelse ble 1000 personer spurt om ferievanene sine.
- En av fem svarte at de ville trene i ferien.
- 21 % av mennene og 16 % av kvinnene svarte at de ville trene i ferien.
a) Sett opp et likningssystem som du kan bruke til å bestemme hvor mange menn og hvor mange kvinner som deltok i undersøkelsen det er vist til ovenfor.
b) Hvor mange menn og hvor mange kvinner deltok i undersøkelsen?
---
## V2013 del 2 oppgave 6 — Hjortebestand i kommune modellert med tredjegradsfunksjon
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Modellering, Funksjonsdrøfting, Graftolkning, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Tegne og tolke tredjegradsmodell for hjortebestand: toppunkt, grafisk ulikhet og momentan vekstfart.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/hjortebestand-i-kommune-modellert-med-tredjegradsfunksjon/
### Oppgavetekst
Funksjonen $h$ gitt ved
$$
h(t) = 3{,}25t^3 - 50t^2 + 170t + 700
$$
var en god modell for hjortebestanden i en kommune i perioden 1990–2000.
Ifølge modellen var det $h(t)$ hjort i kommunen $t$ år etter 1. januar 1990.
a) Tegn grafen til $h$ for $t \in [0, 10]$
b) Når var hjortebestanden størst, og hvor mange hjort var det i kommunen da?
c) Løs ulikheten $h(t) > 850$ grafisk, og forklar hva løsningen forteller om hjortebestanden.
d) Bestem $h'(4)$. Hva forteller svaret om hjortebestanden?
---
## V2013 del 2 oppgave 7 — Rektangel innskrevet i sirkel med radius 10 og størst areal
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Geometri, Pytagoras, Sirkel
- **Kort beskrivelse:** Bruke Pytagoras for rektangel innskrevet i sirkel og finne største areal av $A(x) = 4x\sqrt{100 - x^2}$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rektangel-innskrevet-i-sirkel-med-radius-10-og-storst-areal/
### Oppgavetekst
Ovenfor ser du et rektangel $ABCD$ som er innskrevet i en sirkel. Sirkelen har sentrum i $S$.
a) Bestem radius i sirkelen dersom rektangelet skal ha lengde 10,0 og bredde 5,0.
Et rektangel med lengde $2x$ er innskrevet i en sirkel med radius 10.
b) Vis at arealet av det innskrevne rektangelet kan skrives som
$$
A(x) = 4x \cdot \sqrt{100 - x^2}
$$
c) Bestem det største arealet rektangelet kan ha. Bestem lengden og bredden i dette rektangelet.
---
## V2013 del 2 oppgave 8 — Brøken c over d der 7 ganger nevneren legges til
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Brøk, Likninger, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Oversette tekst til likning med brøken $\frac{c}{d}$ og løse den for forholdet $\frac{c}{d}$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/broken-c-over-d-der-7-ganger-nevneren-legges-til/
### Oppgavetekst
Start med en brøk $\dfrac{c}{d}$. Legg til 7 ganger brøkens nevner i både teller og nevner. Du får da en ny brøk. Trekk den nye brøken fra den opprinnelige brøken. Det uttrykket du nå får, skal være lik 8.
Hva må verdien av brøken $\dfrac{c}{d}$ da ha vært?
---
## H2013 del 1 oppgave 1 — Produkt av 7,5 ganger 10 i tolvte og 4,0 ganger 10 i minus fjerde
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Potenser
- **Kort beskrivelse:** Multiplisere tall på standardform og skrive svaret på standardform.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/produkt-av-7-5-ganger-10-i-tolvte-og-4-0-ganger-10-i-minus-fjerde/
### Oppgavetekst
Regn ut og skriv svaret på standardform
$$
7{,}5 \cdot 10^{12} \cdot 4{,}0 \cdot 10^{-4}
$$
---
## H2013 del 1 oppgave 2 — Sivs blå og svarte bukser i krysstabell
- **Fag:** 1T, 1P
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Krysstabell, Betinget sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Fylle ut krysstabell for bukser som passer og finne vanlig og betinget sannsynlighet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sivs-bla-og-svarte-bukser-i-krysstabell/
### Oppgavetekst
Siv har fire blå og seks svarte bukser i skapet. Én av de blå og tre av de svarte buksene passer ikke lenger.
a) Tegn av tabellen nedenfor, og fyll inn tall i de hvite rutene.
| | Blå bukser | Svarte bukser | Sum |
|:-----------------------|:----------:|:-------------:|:---:|
| Bukser som passer | | | |
| Bukser som ikke passer | | | |
| Sum | | | |
Siv tar tilfeldig én bukse fra skapet.
b) Bestem sannsynligheten for at buksen passer.
Siv har tatt en bukse som passer.
c) Bestem sannsynligheten for at denne buksen er blå.
---
## H2013 del 1 oppgave 3 — Forkorting av 2x² - 18 over x² + 6x + 9
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Rasjonale uttrykk, Faktorisering, Kvadratsetninger
- **Kort beskrivelse:** Faktorisere med felles faktor, konjugatsetningen og første kvadratsetning, og forkorte brøken.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forkorting-av-2x2-18-over-x2-6x-9/
### Oppgavetekst
Skriv så enkelt som mulig
$$
\frac{2x^2 - 18}{x^2 + 6x + 9}
$$
---
## H2013 del 1 oppgave 4 — Potensbrøk med rot 2, 2 i null og 8 i en halv
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Potenser, Kvadratrøtter
- **Kort beskrivelse:** Skrive alle faktorer som potenser av 2 og forenkle brøken med potensreglene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/potensbrok-med-rot-2-2-i-null-og-8-i-en-halv/
### Oppgavetekst
Regn ut og skriv svaret så enkelt som mulig
$$
\frac{\sqrt{2} \cdot 2^0 \cdot 2^{-1}}{8^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{-2}}
$$
---
## H2013 del 1 oppgave 5 — Logaritmelikning 2 lg x - 8 lik 5 lg x + 1
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Logaritmer, Logaritmelikning
- **Kort beskrivelse:** Løse lineær likning i $\lg x$ og finne $x$ fra definisjonen av tierlogaritmen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/logaritmelikning-2-lg-x-8-lik-5-lg-x-1/
### Oppgavetekst
Løs likningen
$$
2\lg x - 8 = 5\lg x + 1
$$
---
## H2013 del 1 oppgave 6 — Likning for rett linje gjennom (1, 2) og (3, 5)
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Stigningstall
- **Kort beskrivelse:** Finne stigningstallet mellom to punkter og bruke ettpunktsformelen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/likning-for-rett-linje-gjennom-1-2-og-3-5/
### Oppgavetekst
En rett linje går gjennom punktene $(1, 2)$ og $(3, 5)$.
Bestem likningen for linjen.
---
## H2013 del 1 oppgave 7 — Likningssystem med -x + y lik 2 og -2x² + y² lik 4
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Andregradslikninger
- **Kort beskrivelse:** Løse ikke-lineært likningssystem ved innsettingsmetoden og en andregradslikning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/likningssystem-med-x-y-lik-2-og-2x2-y2-lik-4/
### Oppgavetekst
Løs likningssystemet
$$
\begin{bmatrix} -x + y = 2 \\ -2x^2 + y^2 = 4 \end{bmatrix}
$$
---
## H2013 del 1 oppgave 8 — Ekstremalpunkter og nullpunkter for x³ - 3x²
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Nullpunkter, Polynomfunksjoner
- **Kort beskrivelse:** Topp- og bunnpunkt med derivasjon, nullpunkter ved faktorisering og skisse av $f(x) = x^3 - 3x^2$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ekstremalpunkter-og-nullpunkter-for-x3-3x2/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = x^3 - 3x^2 \quad , \quad D_f = \mathbb{R}
$$
a) Bestem koordinatene til eventuelle ekstremalpunkter (topp- og bunnpunkter) på grafen til $f$ ved regning.
b) Forklar at $f(x) = x^2 \cdot (x - 3)$, og bruk dette til å bestemme nullpunktene til $f$.
c) Lag en skisse av grafen til $f$.
---
## H2013 del 1 oppgave 9 — cos C når sin A er 3 over 7 i rettvinklet trekant
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Rettvinklet trekant
- **Kort beskrivelse:** Se at $\cos C = \sin A$ fordi motstående katet til $A$ er hosliggende katet til $C$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/cos-c-nar-sin-a-er-3-over-7-i-rettvinklet-trekant/
### Oppgavetekst
Gitt $\triangle ABC$ der $\angle B = 90\degree$ og $\sin A = \dfrac{3}{7}$
Bestem $\cos C$.
---
## H2013 del 1 oppgave 10 — Omkrets av firkant med høyde 4 lik 21 pluss rot 17
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 10
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Pytagoras, Areal og omkrets
- **Kort beskrivelse:** Bruke Pytagoras to ganger for å finne de ukjente sidene og vise at omkretsen er $21 + \sqrt{17}$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/omkrets-av-firkant-med-hoyde-4-lik-21-pluss-rot-17/
### Oppgavetekst
En firkant har form som vist på figuren ovenfor.
Vis at omkretsen av firkanten er $21 + \sqrt{17}$
---
## H2013 del 2 oppgave 1 — Fiskebestand modellert med tredjegradsfunksjon fra år 2000
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Modellering, Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Momentan vekstfart
- **Kort beskrivelse:** Tegne tredjegradsmodell for fiskebestand, finne bunnpunkt grafisk og ved regning og tolke momentan vekstfart.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fiskebestand-modellert-med-tredjegradsfunksjon-fra-ar-2000/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ gitt ved
$$
f(x) = 3x^3 - 48x^2 + 162x + 300
$$
viser hvor mange tonn fisk $f(x)$ det var i en fiskebestand $x$ år etter år 2000.
a) Tegn grafen til $f$ for $x \in [0, 10]$.
b) Bestem grafisk når fiskebestanden var minst. Hvor mange tonn fisk var det i fiskebestanden da?
c) Finn svarene i oppgave b) ved regning.
d) Regn ut $f(5)$. Bestem den momentane vekstfarten når $x = 5$. Hva forteller disse to svarene om fiskebestanden?
---
## H2013 del 2 oppgave 2 — Vannmengde i dam som minker med 8 prosent per døgn
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Eksponentiell vekst, Vekstfaktor, Prosentregning, Logaritmer
- **Kort beskrivelse:** Eksponentiell nedgang med vekstfaktor $0{,}92$, og finne antall døgn med logaritmer eller prøving.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vannmengde-i-dam-som-minker-med-8-prosent-per-dogn/
### Oppgavetekst
I en dam er det 20 000 L vann. Vannmengden minker med 8 % hvert døgn.
a) Hvor mye vann vil det være igjen i dammen etter ett døgn? Hvor mye vann vil det være igjen i dammen etter ti døgn?
b) Hvor mange døgn vil det gå før det er 5000 L vann igjen i dammen?
---
## H2013 del 2 oppgave 3 — Binomisk sannsynlighet for syklister uten lys i mørket
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Binomisk fordeling, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Sannsynlighet med $p = 0{,}2$ og $n = 10$: minst én (komplement), bestemt rekkefølge og nøyaktig tre.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/binomisk-sannsynlighet-for-syklister-uten-lys-i-morket/
### Oppgavetekst
En undersøkelse har vist at 20 % av alle syklistene i en by sykler uten lys i mørket. Vi velger tilfeldig ti syklister fra denne byen.
a) Bestem sannsynligheten for at minst én av de ti sykler uten lys i mørket.
b) Bestem sannsynligheten for at bare den første, den fjerde og den tiende syklisten vi velger, sykler uten lys i mørket.
c) Bestem sannsynligheten for at nøyaktig tre av de ti sykler uten lys i mørket.
---
## H2013 del 2 oppgave 4 — Per, Pål og Espen har til sammen 198 mynter
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Likninger, Tekstoppgave
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og løse lineær likning for fordeling av 198 mynter mellom tre personer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/per-pal-og-espen-har-til-sammen-198-mynter/
### Oppgavetekst
Per, Pål og Espen har til sammen 198 mynter. Per har seks ganger så mange mynter som Pål og tre ganger så mange mynter som Espen.
Hvor mange mynter har hver av de tre guttene?
---
## H2013 del 2 oppgave 5 — To ulike trekanter med sider 5,0 og 8,0 cm og areal 17,5 cm²
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Arealsetningen, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Bruke arealsetningen til å finne $\sin v$ og vise at både en spiss og en stump vinkel gir samme areal.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/to-ulike-trekanter-med-sider-5-0-og-8-0-cm-og-areal-17-5-cm2/
### Oppgavetekst
Vis at det finnes to ulike trekanter som tilfredsstiller de tre kravene nedenfor.
- En side i trekanten skal være $5{,}0 \mathrm{~cm}$
- En side i trekanten skal være $8{,}0 \mathrm{~cm}$
- Arealet av trekanten skal være $17{,}5 \mathrm{~cm}^2$
---
## H2013 del 2 oppgave 6 — Område ABCDE med areal av trekant ABE og lengdene CE og BC
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Arealsetningen, Cosinussetningen, Sinussetningen
- **Kort beskrivelse:** Areal og sidelengder i femkant delt i trekanter med sinussetningen, cosinussetningen og arealsetningen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/omrade-abcde-med-areal-av-trekant-abe-og-lengdene-ce-og-bc/
### Oppgavetekst
Et område $ABCDE$ har form som vist på figuren ovenfor.
a) Bestem arealet av $\triangle ABE$ ved regning.
b) Bestem lengden $CE$ ved regning.
c) Bestem lengden $BC$ ved regning.
---
## H2013 del 2 oppgave 7 — Kjegle innskrevet i kule med radius 3 og størst volum
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Romgeometri, Volum, Pytagoras
- **Kort beskrivelse:** Bruke Pytagoras for kjegle innskrevet i kule, vise volumfunksjonen og finne største volum digitalt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kjegle-innskrevet-i-kule-med-radius-3-og-storst-volum/
### Oppgavetekst
En kjegle er innskrevet i en kule. Kulen har sentrum i $S$ og radius $R = 3$. Grunnflaten i kjeglen har radius $r$. Høyden i kjeglen er $h = 3 + y$, der $y$ er avstanden fra $S$ til grunnflaten i kjeglen. Se skissen ovenfor.
Sett $r = 2$
a) Hvor høy er kjeglen?
Volumet av en kjegle er gitt ved $V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$
b) Bestem volumet av kjeglen ved regning.
Sett nå $r = x$
c) Vis at volumet av kjeglen da er gitt ved
$$
f(x) = \frac{1}{3}\pi \cdot x^2 \cdot \left(3 + \sqrt{9 - x^2}\right)
$$
d) Hvor stor må radius og høyde i den innskrevne kjeglen være for at volumet av kjeglen skal bli størst mulig? Hvor stort blir volumet?
---
## V2012 del 1 oppgave 1 — Tallregning, likningssystem, ulikhet og alderslikning for tre jenter
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 18
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Tallregning, Potenser, Standardform, Likningssystem, Andregradsulikhet, Rasjonale uttrykk, Betinget sannsynlighet, Trigonometri
- **Kort beskrivelse:** Regnerekkefølge og potenser, standardform, likningssystem, grafisk likning, andregradsulikhet, forkorting, betinget sannsynlighet, alderslikning og eksakt cos 45°.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tallregning-likningssystem-ulikhet-og-alderslikning-for-tre-jenter/
### Oppgavetekst
a) Regn ut
1\)
$$
8 + 2 \cdot 3 - 3^2 - (10 - 12)^2
$$
2\)
$$
\dfrac{9^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{-3}}{\left(3^{-2}\right)^3}
$$
b) Regn ut og skriv svaret på standardform $5{,}5 \cdot 10^5 \cdot 6{,}0 \cdot 10^6$
c) Løs likningssystemet
$$
\left[ \begin{aligned} x + 2y &= 16 \\ 3x - y &= 6 \end{aligned} \right]
$$
d) Løs likningen grafisk $2x - 3 = 6 - \dfrac{1}{4}x$
e) Løs ulikheten $-x^2 - x + 12 \geq 0$
f) Faktoriser og forkort $\dfrac{-x^2 - x + 12}{x^2 - 9}$
I klasse 1A er det 20 elever. 15 av elevene spiller fotball, og 10 spiller håndball. Én elev spiller verken fotball eller håndball.
Fra klassen velger vi tilfeldig én av elevene som spiller fotball.
g) Bestem sannsynligheten for at denne eleven i tillegg spiller håndball.
Siri, Karen og Marit er til sammen 26 år. Marit er tre ganger så gammel som Siri var for fire år siden. Karen er halvparten så gammel som Marit.
h) Sett opp en likning som du kan bruke for å finne ut hvor gamle Siri, Karen og Marit er.
Løs likningen. Hvor gamle er hver av de tre jentene?
i)
1\) Vis at $BC = 3\sqrt{2}$
2\) Vis at $\cos 45\degree = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
---
## V2012 del 1 oppgave 2 — Andregradsfunksjon med parameter a og bunnpunkt
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Andregradsfunksjon, Parametere, Nullpunkter, Diskriminant
- **Kort beskrivelse:** Bestemme parameteren a i f(x) = x² − 2x + a ut fra skjæring med y-aksen, gitt nullpunkt, bunnpunktets y-verdi og diskriminanten.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/andregradsfunksjon-med-parameter-a-og-bunnpunkt/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = x^2 - 2x + a
$$
a) Hva må verdien av $a$ være for at grafen til $f$ skal skjære $y$-aksen i $y = 2$?
b) Hva må verdien av $a$ være for at grafen skal ha et nullpunkt for $x = 3$?
c) Hva må verdien av $a$ være for at $y$-verdien i bunnpunktet til grafen skal være $-5$?
d) For hvilke verdier av $a$ har grafen minst ett nullpunkt?
---
## V2012 del 2 oppgave 3 — Firkant ABCD med diagonal BD på 30 m
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 10
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Pytagoras, Cosinussetningen, Arealsetningen, Trigonometri
- **Kort beskrivelse:** Diagonal med Pytagoras, vinkler med trigonometri og cosinussetningen, areal av firkant som sum av to trekanter og argument for at vinkel ABC ikke er rett.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/firkant-abcd-med-diagonal-bd-pa-30-m/
### Oppgavetekst
a) Vis ved regning at $BD = 30 \mathrm{~m}$
b) Bestem $\angle ABD$ og $\angle BCD$ ved regning.
c) Bestem arealet av $\Box ABCD$ ved regning.
d) Forklar at $\angle ABC \neq 90\degree$
---
## V2012 del 2 oppgave 4 — Vekst og slaktealder for griser med andregradsmodell
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Andregradsfunksjon, Derivasjon, Gjennomsnittlig vekstfart, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Tegne andregradsmodell for vekt og alder, løse f(x) = 20, gjennomsnittlig og momentan vekstfart og løse f'(x) < 0,5.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vekst-og-slaktealder-for-griser-med-andregradsmodell/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ gitt ved
$$
f(x) = -0{,}05x^2 + 2{,}60x + 0{,}50
$$
viser sammenhengen mellom alder og vekt for en type griser.
Her er $f(x)$ vekten til en gris målt i kilogram når grisen er $x$ måneder gammel.
a) Tegn grafen til $f$ for $x \in [0, 25]$.
Hvor mye veier en gris ved fødselen?
b) Hva er alderen til en gris når vekten passerer $20 \mathrm{~kg}$?
Hvor mye øker vekten i gjennomsnitt per måned fram til da?
c) Hvor fort øker vekten til en gris når grisen er nøyaktig 12 måneder gammel?
En gris skal slaktes når vekten øker med mindre enn $0{,}5 \mathrm{~kg}$ per måned.
d) Hvor gammel er en gris når den skal slaktes?
---
## V2012 del 2 oppgave 6 — Binomisk fordeling for matpakke til lunsj blant 50 personer
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Binomisk fordeling, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Binomisk fordeling med n = 50 og p = 0,40 for P(X = 20) og P(X > 15).
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/binomisk-fordeling-for-matpakke-til-lunsj-blant-50-personer/
### Oppgavetekst
Undersøkelser har vist at 40 % av Norges befolkning over 15 år spiser matpakke til lunsj.
Vi velger tilfeldig 50 personer over 15 år.
a) Bestem sannsynligheten for at akkurat 20 av disse personene spiser matpakke til lunsj.
b) Bestem sannsynligheten for at flere enn 15 av disse personene spiser matpakke til lunsj.
---
## V2012 del 2 oppgave 6 — Sannsynlighet for sokker i ulike fargekombinasjoner
- **Fag:** 2P-Y, 2P, 1T, 1P
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Kombinatorikk
- **Kort beskrivelse:** Beregne sannsynligheter ved utvalg uten tilbakelegging fra 10 sokker i 5 farger; to rosa, én rosa + én annen, to like farge.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sannsynlighet-for-sokker-i-ulike-fargekombinasjoner/
### Oppgavetekst
Karen har 2 brune, 2 røde, 2 blå, 2 hvite og 2 rosa sokker i en skuff.
En dag tar hun tilfeldig to sokker fra skuffen.
a) Bestem sannsynligheten for at hun tar to rosa sokker.
b) Bestem sannsynligheten for at hun tar én rosa sokk og én sokk i en annen farge.
c) Bestem sannsynligheten for at hun tar to sokker med samme farge.
---
## V2012 del 2 oppgave 7 — Korteste vei AC + CE via punkt på linjestykket BD
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Pytagoras, Optimering, Funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Uttrykke AC + CE med Pytagoras som funksjon av x = BC og finne minimum grafisk eller med derivasjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/korteste-vei-ac-ce-via-punkt-pa-linjestykket-bd/
### Oppgavetekst
Figuren ovenfor viser et område $ABDE$. $AB = 10 \mathrm{~m}$, $BD = 12 \mathrm{~m}$, og $DE = 12 \mathrm{~m}$.
$C$ er et vilkårlig punkt på $BD$.
a) Sett $BC = x$ og finn avstanden $AC + CE$ uttrykt med $x$.
b) Bestem $x$ slik at avstanden $AC + CE$ blir kortest mulig.
---
## V2012 del 2 oppgave 8 — Rasjonal funksjon med vertikal asymptote x = 1 fra graf
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Rasjonale funksjoner, Asymptoter, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Forklare d = 1 fra vertikal asymptote og bestemme a, b og c i (ax² + bx + c)/(x − d) fra nullpunkter og skjæring med y-aksen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rasjonal-funksjon-med-vertikal-asymptote-x-1-fra-graf/
### Oppgavetekst
Ovenfor har vi tegnet grafen til den rasjonale funksjonen $f$ gitt ved $f(x) = \dfrac{ax^2 + bx + c}{x - d}$.
Linja $x = 1$ er en vertikal asymptote for grafen til $f$.
Forklar at $d = 1$.
Bruk grafen til å bestemme $a$, $b$ og $c$.
---
## H2012 del 1 oppgave 1 — Likning for linje med stigningstall minus 2 gjennom (3, 0)
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Stigningstall
- **Kort beskrivelse:** Ettpunktsformelen for rett linje med stigningstall $-2$ gjennom nullpunktet $(3, 0)$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/likning-for-linje-med-stigningstall-minus-2-gjennom-3-0/
### Oppgavetekst
En rett linje har stigningstall $-2$. Linjen skjærer $x$-aksen i punktet $(3, 0)$.
Bestem likningen for linjen.
---
## H2012 del 1 oppgave 2 — Logaritmelikning lg(2x + 3) lik 1
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Logaritmer, Logaritmelikning
- **Kort beskrivelse:** Løse logaritmelikningen $\lg(2x+3) = 1$ ved å bruke definisjonen av tierlogaritmen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/logaritmelikning-lg-2x-3-lik-1/
### Oppgavetekst
Løs likningen
$$
\lg(2x + 3) = 1
$$
---
## H2012 del 1 oppgave 3 — Forenkling av potensbrøk med (2x) i tredje og 2 i femte
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Potenser, Potensregning
- **Kort beskrivelse:** Forenkle potensbrøk med potensreglene for produkt, brøk og negativ eksponent.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkling-av-potensbrok-med-2x-i-tredje-og-2-i-femte/
### Oppgavetekst
Skriv så enkelt som mulig
$$
\frac{(2x)^3 \cdot x^2}{2^5 \cdot x^{-1}}
$$
---
## H2012 del 1 oppgave 4 — Forkorting av x² + 6x + 9 over x² - 9
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Rasjonale uttrykk, Faktorisering, Kvadratsetninger
- **Kort beskrivelse:** Faktorisere teller med første kvadratsetning og nevner med konjugatsetningen, og forkorte.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forkorting-av-x2-6x-9-over-x2-9/
### Oppgavetekst
Skriv så enkelt som mulig
$$
\frac{x^2 + 6x + 9}{x^2 - 9}
$$
---
## H2012 del 1 oppgave 5 — Kvadratet av rot 2 pluss rot 8
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Kvadratrøtter, Kvadratsetninger
- **Kort beskrivelse:** Forenkle $\left(\sqrt{2}+\sqrt{8}\right)^2$ med kvadratsetning eller ved å skrive $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kvadratet-av-rot-2-pluss-rot-8/
### Oppgavetekst
Skriv så enkelt som mulig
$$
\left(\sqrt{2} + \sqrt{8}\right)^2
$$
---
## H2012 del 1 oppgave 6 — Nullpunkter, bunnpunkt og skisse av x² + 2x - 3
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Andregradsfunksjon, Nullpunkter, Funksjonsdrøfting, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Nullpunkter, bunnpunkt og skisse av andregradsfunksjonen $f(x) = x^2 + 2x - 3$ uten hjelpemidler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/nullpunkter-bunnpunkt-og-skisse-av-x2-2x-3/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = x^2 + 2x - 3
$$
a) Bestem nullpunktene til $f$ ved regning.
b) Begrunn at grafen til $f$ har et bunnpunkt, og bestem koordinatene til bunnpunktet ved regning.
c) Skisser grafen til $f$ i et koordinatsystem.
---
## H2012 del 1 oppgave 7 — Likning med felles faktor (x + 5) i to produkter
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Andregradslikninger, Faktorisering
- **Kort beskrivelse:** Løse andregradslikning ved å sette felles faktor $(x+5)$ utenfor og bruke produktregelen for null.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/likning-med-felles-faktor-x-5-i-to-produkter/
### Oppgavetekst
Løs likningen
$$
(x + 5)(x + 3) - (x + 5)(2x + 7) = 0
$$
---
## H2012 del 1 oppgave 8 — Elever i klasse 1A som har valgt fysikk og biologi
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Krysstabell, Venndiagram, Betinget sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Systematisere valg av fysikk og biologi i krysstabell eller venndiagram og finne vanlig og betinget sannsynlighet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/elever-i-klasse-1a-som-har-valgt-fysikk-og-biologi/
### Oppgavetekst
I klasse 1A er det 25 elever. 12 av elevene har valgt fysikk neste skoleår. 14 av elevene har valgt biologi. 4 elever har verken valgt fysikk eller biologi.
a) Systematiser opplysningene ovenfor i en krysstabell eller i et venndiagram.
Vi velger tilfeldig en elev fra klassen.
b) Bestem sannsynligheten for at eleven har valgt både fysikk og biologi.
Vi velger tilfeldig en elev som har valgt biologi.
c) Bestem sannsynligheten for at eleven også har valgt fysikk.
---
## H2012 del 1 oppgave 9 — Vis at (sin A)² + (cos A)² er 1 i rettvinklet trekant
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Rettvinklet trekant, Pytagoras, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Sinus og cosinus i rettvinklet trekant, og bevis for $(\sin A)^2 + (\cos A)^2 = 1$ med Pytagoras.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vis-at-sin-a-2-cos-a-2-er-1-i-rettvinklet-trekant/
### Oppgavetekst
Gitt $\triangle ABC$ ovenfor.
a) Bestem $\sin A$ og $\cos A$ når $a = 12$, $b = 13$ og $c = 5$.
b) Vis at $(\sin A)^2 + (\cos A)^2 = 1$ når $a = 12$, $b = 13$ og $c = 5$.
c) Vis at $(\sin A)^2 + (\cos A)^2 = 1$ for alle trekanter $ABC$ der $\angle B = 90\degree$.
---
## H2012 del 1 oppgave 10 — Blått areal mellom kvadrat og innskrevet sirkel med diagonal 4
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 10
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Areal og omkrets, Sirkel, Pytagoras
- **Kort beskrivelse:** Finne sidelengden i kvadratet fra diagonalen og vise at arealet utenfor den innskrevne sirkelen er $8 - 2\pi$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/blatt-areal-mellom-kvadrat-og-innskrevet-sirkel-med-diagonal-4/
### Oppgavetekst
Figuren ovenfor viser en sirkel som er innskrevet i et kvadrat. $AC = 4$.
Vis at arealet av det blå området på figuren ovenfor er $8 - 2\pi$
---
## H2012 del 2 oppgave 1 — Total motstand R i parallellkobling med to motstander
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Formler, Brøk, Rasjonale uttrykk
- **Kort beskrivelse:** Regne ut og omforme formelen for total motstand i parallellkobling.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/total-motstand-r-i-parallellkobling-med-to-motstander/
### Oppgavetekst
Formelen nedenfor brukes for å regne ut den totale motstanden $R$ i en parallellkobling med to motstander $R_1$ og $R_2$
$$
\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}
$$
a) Bestem $R$ når $R_1 = 5$ og $R_2 = 7$
b) Vis at dersom $R_2 = 2R_1$, vil $R = \dfrac{2}{3}R_1$
---
## H2012 del 2 oppgave 2 — Tangent i (1, f(1)) og tangenter med stigningstall 2 til x³ - 2x² - 5x + 6
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Polynomfunksjoner, Derivasjon, Tangent, Graf
- **Kort beskrivelse:** Tegne tredjegradsfunksjon, finne tangent i et punkt og tangenter med gitt stigningstall ved derivasjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tangent-i-1-f-1-og-tangenter-med-stigningstall-2-til-x3-2x2-5x-6/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6 \quad , \quad x \in \mathbb{R}
$$
a) Tegn grafen til $f$.
b) Bestem tangenten til grafen til $f$ i punktet $(1, f(1))$ ved regning. Tegn tangenten i samme koordinatsystem som du brukte i a).
c) Grafen til $f$ har to tangenter med stigningstall 2. Bestem likningene for disse to tangentene.
---
## H2012 del 2 oppgave 3 — Vinkel og høyde i likebeint trekant med sider 11, 11 og 8
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Rettvinklet trekant, Pytagoras
- **Kort beskrivelse:** Bruke cosinus i halve den likebeinte trekanten til å finne vinkelen, og Pytagoras eller sinus til høyden.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vinkel-og-hoyde-i-likebeint-trekant-med-sider-11-11-og-8/
### Oppgavetekst
Gitt $\triangle ABC$ ovenfor.
a) Bestem vinkelen $\alpha$ ved regning.
b) Bestem høyden $h$ ved regning.
---
## H2012 del 2 oppgave 4 — Binomisk sannsynlighet for bilister som betaler parkering med kort
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Binomisk fordeling, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Binomisk sannsynlighet med $p = 0{,}6$: alle 10, nøyaktig 10 av 20 og mer enn halvparten av 50.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/binomisk-sannsynlighet-for-bilister-som-betaler-parkering-med-kort/
### Oppgavetekst
60 % av bilistene som parkerer på en parkeringsplass, betaler med kort. Resten betaler med kontanter.
a) Bestem sannsynligheten for at de 10 første bilistene som parkerer på parkeringsplassen en dag, betaler med kort.
b) Bestem sannsynligheten for at nøyaktig 10 av de 20 første bilistene som parkerer på parkeringsplassen en dag, betaler med kort.
c) Bestem sannsynligheten for at mer enn halvparten av de 50 første bilistene som parkerer på parkeringsplassen en dag, betaler med kort.
---
## H2012 del 2 oppgave 5 — Petters antakelse om kvadratene av to etterfølgende hele tall
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Bevis, Algebra, Kvadratsetninger, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Teste og bevise algebraisk at $n + (n+1) + n^2 = (n+1)^2$ for etterfølgende hele tall.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/petters-antakelse-om-kvadratene-av-to-etterfolgende-hele-tall/
### Oppgavetekst
Petter har satt opp tabellen nedenfor. Han tror han har funnet et mønster.
| $n$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|:-----:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| $n^2$ | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 |
> Petter
> Jeg tror at summen av to etterfølgende hele tall pluss kvadratet av det minste av tallene er lik kvadratet av det største av tallene.
a) Velg to etterfølgende hele tall, og vis ved et eksempel at Petters antakelse er riktig for tallene du har valgt.
b) Formuler Petters antakelse for to etterfølgende hele tall $n$ og $(n + 1)$ og vis at den er riktig.
---
## H2012 del 2 oppgave 6 — Rettvinklet trekant og trekant DEF der to sider til sammen er 8,0
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Cosinussetningen, Pytagoras, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Sette opp likning med Pytagoras og cosinussetningen når summen av to sider er kjent, og finne vinkel.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rettvinklet-trekant-og-trekant-def-der-to-sider-til-sammen-er-8-0/
### Oppgavetekst
Gitt $\triangle ABC$ ovenfor. $AB = 5{,}0$ og $AC + BC = 8{,}0$.
a) Bestem lengden av $BC$ ved regning.
I $\triangle DEF$ er $\angle D = 30\degree$, $DE = 5{,}0$ og $DF + EF = 8{,}0$.
b) Bestem lengden av $EF$ ved regning.
c) Bestem $\angle E$ ved regning.
---
## H2012 del 2 oppgave 7 — Kasse uten lokk med kvadratisk grunnflate og størst overflate
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Modellering, Andregradsfunksjon, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Sette opp overflatefunksjon for kasse uten lokk og finne største overflate til andregradsfunksjonen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kasse-uten-lokk-med-kvadratisk-grunnflate-og-storst-overflate/
### Oppgavetekst
En kasse har en kvadratisk grunnflate (bunn) med side $x$ dm. Høyden i kassen er $h$ dm. Kassen har ikke lokk. Høyden av kassen og omkretsen av grunnflaten er til sammen 30 dm.
a) Forklar hvorfor $0 < x < 7{,}5$
b) Vis at overflaten av kassen kan uttrykkes ved funksjonen $O$ gitt ved
$$
O(x) = -15x^2 + 120x
$$
c) Bestem $x$ slik at kassen får størst mulig overflate. Hvor stor er overflaten da?
---
## V2011 del 1 oppgave 1 — Standardform, likninger, tallinje og sommerjobb-sannsynlighet
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 13
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Standardform, Andregradslikninger, Andregradsulikhet, Potenser, Logaritmer, Krysstabell, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Standardform, andregradslikning og -ulikhet, plassere potenser, rot og tan 30° på tallinje, logaritmelikning og krysstabell.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/standardform-likninger-tallinje-og-sommerjobb-sannsynlighet/
### Oppgavetekst
a) Skriv på standardform
1\)
$$
36\,200\,000
$$
2\)
$$
0{,}034 \cdot 10^{-2}
$$
b) Løs likningen $x^2 + 6x = 16$
c) Løs ulikheten $x^2 - x > 0$
På tallinjen ovenfor har vi merket av 12 punkter. Hvert av tallene nedenfor tilsvarer ett av punktene $A$ – $L$ på tallinjen.
d) Regn ut eller forklar hvor hvert av tallene skal plasseres.
1\)
$$
8^{\frac{1}{3}}
$$
2\)
$$
5{,}5^0
$$
3\)
$$
\sqrt{21}
$$
4\)
$$
\tan 30\degree
$$
5\)
$$
6 \cdot 2^{-1}
$$
6\)
$$
\left(\dfrac{3}{2}\right)^3
$$
e) Løs likningen $\lg(2x - 1) = 2$
De 20 elevene i klasse 1A planlegger sommerferien.
- 16 elever har fått sommerjobb.
- 10 av elevene som har fått sommerjobb, skal også på ferie.
- 2 elever har ikke fått sommerjobb og skal heller ikke på ferie.
f)
1\) Systematiser opplysningene i teksten ovenfor i en krysstabell eller i et venndiagram.
2\) Finn sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev fra klasse 1A skal på ferie.
---
## V2011 del 1 oppgave 2 — Sekant og tangent til parabelen x kvadrat minus 2
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Andregradsfunksjon, Lineære funksjoner, Derivasjon, Tangent
- **Kort beskrivelse:** Tegne grafen til f(x) = x² − 2, finne linja gjennom to grafpunkter og tangentlikningen i x = 1 ved derivasjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sekant-og-tangent-til-parabelen-x-kvadrat-minus-2/
### Oppgavetekst
En funksjon $f$ er gitt ved $f(x) = x^2 - 2$.
a) Tegn grafen til $f$ i et koordinatsystem for $x \in [-3, 3]$.
b) Finn ved regning likningen for den rette linjen som går gjennom punktene $\big(0, f(0)\big)$ og $\big(2, f(2)\big)$.
c) Finn likningen for tangenten til $f$ i punktet der $x = 1$ ved regning. Tegn denne tangenten i samme koordinatsystem som du brukte i a).
---
## V2011 del 1 oppgave 3 — Trekant AEF i enhetskvadrat med midtpunkter
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Pytagoras, Areal og omkrets, Arealsetningen, Trigonometri
- **Kort beskrivelse:** Vise sidelengder med Pytagoras, arealet av trekant AEF ved å trekke fra hjørnetrekanter, og sin α med arealsetningen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trekant-aef-i-enhetskvadrat-med-midtpunkter/
### Oppgavetekst
Figuren ovenfor viser et kvadrat $ABCD$. Sidene i kvadratet har lengde 1.
$E$ er midtpunkt på $BC$, og $F$ er midtpunkt på $CD$.
a) Bruk Pytagoras' setning til å vise at $AE$ og $AF$ har lengde $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$.
b) Vis at arealet av $\triangle AEF$ er $\dfrac{3}{8}$.
c) Vis at $\sin \alpha = \dfrac{3}{5}$.
---
## V2011 del 2 oppgave 4 — Bilens CO2-utslipp per kilometer og fart
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Andregradsfunksjon, Modellering, Derivasjon, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Andregradsmodell for CO₂-utslipp per km som funksjon av fart, løse f(x) = 150, finne bunnpunkt og regne samlet utslipp.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bilens-co2-utslipp-per-kilometer-og-fart/
### Oppgavetekst
Antall gram CO₂ en bil slipper ut per kilometer er gitt ved
$$
f(x) = 0{,}046x^2 - 6{,}7x + 386
$$
der $x$ er farten til bilen målt i km/h.
a) Tegn grafen til $f$ i et koordinatsystem for $x \in [20, 100]$.
b) Finn grafisk og ved regning
1\) hvor fort bilen kjører dersom den holder konstant fart og slipper ut $150 \mathrm{~g}$ CO₂ per kilometer.
2\) hvilken fart som gir minst CO₂-utslipp per kilometer og hvor stort CO₂-utslippet per kilometer er da.
Bilen kjører i $70 \mathrm{~km/h}$ i en halv time.
c) Hvor mye CO₂ slipper bilen ut i løpet av denne halvtimen?
---
## V2011 del 2 oppgave 5 — Treets høyde fra skygge på slette og i skråning
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Formlike trekanter, Trigonometri, Sinussetningen, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Formlike trekanter og tangens for solhøyden, forklare måling av skråningsvinkel og sinussetningen for treet i skråningen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/treets-hoyde-fra-skygge-pa-slette-og-i-skraning/
### Oppgavetekst
Et tre står på en horisontal slette. Ved et gitt tidspunkt kaster solen en $12 \mathrm{~m}$ lang skygge bak treet. En pinne som er $1{,}2 \mathrm{~m}$ lang, har ved samme tidspunkt en $1{,}6 \mathrm{~m}$ lang skygge.
Se skissen ovenfor.
a) Hvor høyt er treet?
b) Vis at solstrålene ved dette tidspunktet danner en vinkel på $36{,}9\degree$ med sletten.
I enden av sletten er det en skråning som danner vinkelen $u$ med horisontallinjen.
I skråningen står det også et tre. Dette treet står vinkelrett på horisontalplanet.
Se skissen ovenfor.
Per og Kari vil prøve å regne ut hvor høyt treet i skråningen er, ved hjelp av trigonometri. De tar med seg et metermål, en planke og en kalkulator.
c) Hvordan kan Per og Kari gå fram for å bestemme vinkelen $u$?
Per og Kari regner ut at $\angle u = 25\degree$. Skyggen fra treet faller $17 \mathrm{~m}$ nedover skråningen.
Vi antar at vinkelen mellom solstrålene og horisontallinjen er den samme som i b).
d) Hvor høyt er treet i skråningen?
---
## V2011 del 2 oppgave 6 — Oppvarming og avkjøling av vann i kjøleskap
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 9
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Graftolkning, Lineære funksjoner, Eksponentialfunksjon, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Lese av temperaturgraf, lage lineær modell for oppvarmingen og løse eksponentiell ulikhet for avkjølingen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/oppvarming-og-avkjoling-av-vann-i-kjoleskap/
### Oppgavetekst
Bjørn og Jon tapper $1 \mathrm{~L}$ vann fra springen. De varmer opp vannet i en glasskolbe. Etter en stund flytter de glasskolben fra varmekilden og inn i et kjøleskap. Hele tiden måler de temperaturen i vannet ved hjelp av en datalogger.
Grafen ovenfor viser temperaturen i vannet som funksjon av tiden.
a) Bruk grafen til å svare på følgende spørsmål:
1\) Hva var temperaturen i vannet da Bjørn og Jon tappet det fra springen?
2\) Hvor lenge varmet de vannet i glasskolben, og hva var temperaturen i vannet da de satte det inn i kjøleskapet?
b) Foreslå et funksjonsuttrykk for den delen av grafen som viser oppvarming av vannet, og bruk dette funksjonsuttrykket til å finne ut hvor lang tid det vil ta å varme opp $1 \mathrm{~L}$ vann fra springen til $100\degree\mathrm{C}$ dersom vi bruker denne varmekilden.
Grafen til funksjonen $f$ gitt ved $f(x) = 115{,}82 \cdot 0{,}94^x + 5$, der $x \geq 5$, beskriver temperaturen i vannet etter at det er satt inn i kjøleskapet.
c) Finn ved regning i hvilket tidsrom vannet har høyere temperatur enn $60\degree\mathrm{C}$.
d) Hva var temperaturen i kjøleskapet?
---
## V2011 del 2 oppgave 7 — Sannsynlighet i stein-saks-papir over tre runder
- **Fag:** 1T, 1P, 2P-Y
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Kombinatorikk, Binomisk fordeling
- **Kort beskrivelse:** Utfallsrom for stein-saks-papir, antall resultater over tre spill og sannsynlighet for minst to seire og for å vinne flest.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sannsynlighet-i-stein-saks-papir-over-tre-runder/
### Oppgavetekst
”Stein – saks – papir” er en konkurranse mellom to personer. Hver person bestemmer seg for enten stein, saks eller papir, og begge viser så samtidig, ved å bruke den ene hånden, hva de har valgt. Se figuren nedenfor.
Reglene er slik:
- Saks vinner over papir.
- Papir vinner over stein.
- Stein vinner over saks.
Dersom begge velger det samme (for eksempel stein), blir det uavgjort.
Bård og Lars skal spille ”Stein – saks – papir”. Ett mulig utfall kan da for eksempel bli at Bård velger stein og Lars velger papir.
a) Lag en oversikt som viser alle de ni mulige utfallene når Bård og Lars spiller ”Stein – saks – papir” én gang.
La B bety seier til Bård, U uavgjort og L seier til Lars.
b) Forklar at sannsynligheten for at Bård vinner, $P(B)$, er $\dfrac{1}{3}$.
Bård og Lars skal spille ”Stein – saks – papir” tre ganger. Et mulig resultat er da BUL, som betyr at Bård vinner første gang, at det blir uavgjort andre gang, og at Lars vinner tredje gang.
c) Hvor mange ulike resultater kan vi få når Bård og Lars spiller tre ganger?
d) Hva er sannsynligheten for at Bård vinner minst to av de tre gangene?
Når to personer spiller ”Stein – saks – papir”, er vinneren den som vinner flest av tre ganger. Dersom begge vinner like mange ganger, blir det uavgjort.
e) Hva er sannsynligheten for at Bård vinner?
---
## V2011 del 2 oppgave 8 — Ptolemaios setning for rektangel og likesidet trekant
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Sirkel, Pytagoras, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Anvende Ptolemaios' setning på et innskrevet rektangel (gir Pytagoras) og på likesidet trekant for å vise PC = PA + PB.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ptolemaios-setning-for-rektangel-og-likesidet-trekant/
### Oppgavetekst
La $A$, $B$, $C$ og $D$ være fire punkter på en sirkel.
Se figuren nedenfor.
*Ptolemaios (ca. år 100 e.Kr.) var både matematiker og astronom.*
Ptolemaios fant ut at
$$
AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC
$$
Denne sammenhengen kalles Ptolemaios' setning.
I denne oppgaven skal du bruke Ptolemaios' setning i to tilfeller.
a) Tegn figuren ovenfor i det tilfellet der firkanten $ABCD$ er et rektangel.
La sidekantene ha lengde $a$ og $b$, og la diagonalene ha lengde $c$. Skriv ned Ptolemaios' setning for dette tilfellet. Du har nå kommet fram til en annen og mer berømt setning. Hvilken?
La nå $A$, $B$ og $C$ være hjørner i en likesidet trekant som er innskrevet i en sirkel, og la $P$ være et punkt på sirkelbuen mellom $A$ og $B$ som vist på figuren nedenfor.
b) Skriv ned Ptolemaios' setning for dette tilfellet og vis at $PC = PA + PB$.
---
## H2011 del 1 oppgave 1 — Rasjonalt uttrykk, potenser, høyde i trekant og tusjtrekning
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2011 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 14
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rasjonale uttrykk, Potenser, Eksponentiallikning, Trigonometri, Ulikheter, Sannsynlighet, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Forkorte rasjonalt uttrykk, potensregning, eksponentiallikning, høyde og tangens i trekant, grafiske ulikheter, trekning og derivasjon fra definisjonen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rasjonalt-uttrykk-potenser-hoyde-i-trekant-og-tusjtrekning/
### Oppgavetekst
a) Skriv så enkelt som mulig $\dfrac{x^2 - 25}{x^2 + 10x + 25}$
b) Løs likningen $3^{2x-1} = 1$
c) Skriv så enkelt som mulig $\dfrac{a^{\frac{1}{4}} \cdot \sqrt{a}}{\left(a^{\frac{3}{4}}\right)^3 \cdot a^{-2}}$
Gitt $\triangle ABC$ ovenfor. $AB = 5{,}0$, $AC = 3{,}0$ og $BC = 4{,}0$.
d) Bestem høyden $h$ ved regning.
I koordinatsystemet ovenfor har vi tegnet grafene til funksjonene $f$ og $g$.
e) Bruk grafene til å løse de to ulikhetene nedenfor
1\)
$$
f(x) \leq 0
$$
2\)
$$
f(x) > g(x)
$$
f) Gitt $\triangle ABC$ der $\angle A = 90\degree$, $AB = 3{,}0$ og $\tan C = 2$.
Bestem lengden av $AC$.
Line har tre blå, to røde og én grønn tusj i pennalet sitt.
Hun trekker tilfeldig to tusjer.
g)
1\) Bestem sannsynligheten for at hun ikke trekker den grønne tusjen.
2\) Bestem sannsynligheten for at hun trekker én blå og én rød tusj.
h) Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x) = x^2 + 1$
Bruk definisjonen av den deriverte til å vise at $f'(x) = 2x$
---
## H2011 del 1 oppgave 2 — Parabel uten nullpunkter med toppunkt og tangent i (2, -2)
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2011 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Andregradsfunksjon, Diskriminant, Derivasjon, Tangent
- **Kort beskrivelse:** Vise at f(x) = −x² + 2x − 2 mangler nullpunkter, finne toppunktet med f'(x), tegne grafen og finne tangenten i (2, −2).
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/parabel-uten-nullpunkter-med-toppunkt-og-tangent-i-2-2/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = -x^2 + 2x - 2
$$
a) Vis ved regning at grafen til $f$ ikke har nullpunkter.
b) Bruk $f'(x)$ til å finne ekstremalpunktet på grafen til $f$.
Tegn grafen til $f$.
c) Grafen til $f$ har en tangent i punktet $(2, -2)$.
Bestem likningen for denne tangenten ved regning.
---
## H2011 del 1 oppgave 3 — Tilnærmet og nøyaktig regel for celsius til fahrenheit
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2011 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Lineære funksjoner, Formler
- **Kort beskrivelse:** Sammenligne tilnærmet og nøyaktig omregning fra celsius til fahrenheit og tolke løsningen av et lineært likningssystem.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tilnaermet-og-noyaktig-regel-for-celsius-til-fahrenheit/
### Oppgavetekst
En tilnærmet regel for å gjøre om fra grader celsius (C) til grader fahrenheit (F) er
$$
\text{F} = 2\text{C} + 30
$$
Den nøyaktige regelen for å gjøre om fra grader celsius (C) til grader fahrenheit (F) er
$$
5\text{F} = 9\text{C} + 160
$$
a) Gjør om $100\degree\mathrm{C}$ til grader fahrenheit ved å bruke den tilnærmede regelen og den nøyaktige regelen. Hvor stor er differansen mellom svarene du får?
b) Løs likningssystemet
$$
\left[ \begin{aligned} \text{F} &= 2\text{C} + 30 \\ 5\text{F} &= 9\text{C} + 160 \end{aligned} \right]
$$
Hva forteller løsningen om den tilnærmede regelen?
---
## H2011 del 2 oppgave 4 — Trekantareal med sidene 4, 5 og 6 cm og største areal med sidene 7 og 11 cm
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Pytagoras, Cosinussetningen, Arealsetningen, Trigonometri
- **Kort beskrivelse:** Sjekke rettvinklethet med Pytagoras, areal med cosinussetningen og arealsetningen, maksimalt areal og mellomliggende vinkel for gitt areal.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trekantareal-med-sidene-4-5-og-6-cm-og-storste-areal-med-sidene-7-og-11-cm/
### Oppgavetekst
I en trekant er lengden av sidene $4{,}0 \mathrm{~cm}$, $5{,}0 \mathrm{~cm}$ og $6{,}0 \mathrm{~cm}$.
a) Vis ved regning at denne trekanten ikke er rettvinklet.
b) Bestem arealet av trekanten ved regning.
En av sidene i en trekant skal ha lengde $7{,}0 \mathrm{~cm}$. En annen side skal ha lengde $11{,}0 \mathrm{~cm}$.
c) Bestem det største arealet denne trekanten kan ha.
d) Gjør beregninger og vis hvordan trekanten kan se ut dersom arealet er $30 \mathrm{~cm^2}$.
---
## H2011 del 2 oppgave 5 — Rett sylinder med d + h = 6 og største volum
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Derivasjon, Volum
- **Kort beskrivelse:** Uttrykke volumet av en sylinder med d + h = 6 ved radius x og bruke V'(x) = 0 til å vise at største volum er 8π.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rett-sylinder-med-d-h-6-og-storste-volum/
### Oppgavetekst
Siv skal lage en rett sylinder. Høyden $h$ og diameteren $d$ kan variere, men $d + h = 6$.
Vi setter radius i sylinderen lik $x$.
a) Vis at volumet $V$ av sylinderen da kan skrives som
$$
V(x) = 6\pi x^2 - 2\pi x^3 \quad , \quad x \in \langle 0, 3 \rangle
$$
b) Bruk $V'(x)$ til å vise at det største volumet sylinderen kan få, er nøyaktig lik $8\pi$.
---
## H2011 del 2 oppgave 6 — Oljelekkasje fra tank med eksponentiell modell
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Vekstfaktor, Vekstfart, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Tolke startverdi og vekstfaktor i F(x) = 6000 · 0,864^x, tegne grafen, finne halveringstid og momentan vekstfart etter to timer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/oljelekkasje-fra-tank-med-eksponentiell-modell/
### Oppgavetekst
Det går hull på en oljetank, og det begynner å lekke ut olje.
Funksjonen $F$ gitt ved
$$
F(x) = 6000 \cdot 0{,}864^x \quad , \quad x \in [0, 24]
$$
viser hvor mange liter olje $F$ det er igjen i tanken $x$ timer etter at det begynte å lekke ut olje.
a) Hvor mange liter olje var det i tanken før lekkasjen?
Hvor mange prosent av oljen i tanken lekker ut per time?
b) Tegn grafen til $F$.
c) Hvor lang tid tar det før halvparten av oljen som var i tanken før lekkasjen, har lekket ut?
d) Bestem en tilnærmet verdi for den momentane vekstfarten til $F$ etter to timer.
Hva forteller dette svaret om lekkasjen?
---
## H2011 del 2 oppgave 7 — Pendelens svingetid og tyngdeakselerasjonen g
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Formler, Likninger, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Snu formelen T = 2π√(L/g) til L uttrykt ved T, finne snorlengde for T = 1,0 s og bestemme g fra måledata.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pendelens-svingetid-og-tyngdeakselerasjonen-g/
### Oppgavetekst
Ovenfor ser du en pendel. Pendelen er en kule som henger i en snor med lengde $L$ meter.
Tiden $T$ sekunder som det tar for pendelen å bevege seg én gang fram og tilbake, kalles svingetiden. Svingetiden er avhengig av snorens lengde. Sammenhengen er gitt ved formelen
$$
T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}
$$
Her er $g \approx 9{,}81$.
a) Gjør om på formelen ovenfor slik at du får en formel for $L$ uttrykt ved $T$.
b) Bestem lengden av snoren slik at svingetiden blir $1{,}0 \mathrm{~s}$
Verdien til $g$ varierer litt etter hvor på jordkloden du befinner deg. Ved et forsøk der snorlengden var $10{,}00 \mathrm{~m}$, viste det seg at pendelen svingte fram og tilbake $1\,000$ ganger i løpet av $6\,345 \mathrm{~s}$.
c) Bruk dette til å bestemme $g$ på stedet der forsøket ble gjort.
Oppgi svaret med tre desimaler.
---
## H2011 del 2 oppgave 8 — Binomisk sannsynlighet for innbyggere i Sør-Trøndelag
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Binomisk fordeling, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Binomisk modell med p = 0,06 og n = 10 for personer bosatt i Sør-Trøndelag, P(X = 0) og P(X ≥ 3) via komplementet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/binomisk-sannsynlighet-for-innbyggere-i-sor-trondelag/
### Oppgavetekst
I Norge er det nå ca. 5 000 000 innbyggere. Av disse bor ca. 300 000 i Sør-Trøndelag.
Vi velger tilfeldig én person som bor i Norge.
a) Bestem sannsynligheten for at personen bor i Sør-Trøndelag.
Vi velger nå tilfeldig 10 personer som bor i Norge, og registrerer hvor mange av dem som bor i Sør-Trøndelag.
b) Forklar at dette kan ses på som et binomisk forsøk.
c) Bestem sannsynligheten for at ingen av de 10 bor i Sør-Trøndelag.
d) Bestem sannsynligheten for at minst 3 av de 10 bor i Sør-Trøndelag.
---
## H2011 del 2 oppgave 9 — Parametre b og c i andregradsfunksjon på toppunktform
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Andregradsfunksjon, Parametere, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Resonnere med f(x) = a(x − b)² + c for å finne c som gir nøyaktig ett nullpunkt og b som gir ekstremalpunkt i x = 3.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/parametre-b-og-c-i-andregradsfunksjon-pa-toppunktform/
### Oppgavetekst
La andregradsfunksjonen $f$ være gitt ved
$$
f(x) = a \cdot (x - b)^2 + c
$$
der $a$, $b$ og $c$ er reelle tall.
a) Bestem $c$ slik at grafen til $f$ har nøyaktig ett nullpunkt uansett hvilke verdier vi velger for $a$ og $b$.
b) Bestem $b$ slik at grafen til $f$ har et ekstremalpunkt i $x = 3$ uansett hvilke verdier vi velger for $a$ og $c$.
---
## V2010 del 1 oppgave 1 — Lineær funksjon, potenser, lykkehjul og trekant med sin B lik cos B
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 20
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Potenser, Logaritmer, Sannsynlighet, Derivasjon, Trigonometri
- **Kort beskrivelse:** Samleoppgave med lineær graf, andregradslikning, potenser med rasjonale eksponenter, tangentlikning, brøkforkorting, lg-likning, sannsynlighet og trigonometri.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-funksjon-potenser-lykkehjul-og-trekant-med-sin-b-lik-cos-b/
### Oppgavetekst
a) Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = -2x + 3
$$
Tegn grafen til $f$ og finn nullpunktet for $f$.
b) Løs likningen
$$
x^2 + 8x = -15
$$
c) Regn ut
$$
5 - 2^4 \cdot (4 - 3)^3 \cdot 2^{-3}
$$
d) Skriv så enkelt som mulig
$$
\frac{4a^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{1}{2}}}{2a^{-\frac{1}{6}}}
$$
e) Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = -2x^3 + 8x + 4
$$
Finn likningen for tangenten til $f$ i punktet $(1, f(1))$.
f) Faktoriser teller og nevner og forkort brøken
$$
\frac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9}
$$
g) Løs likningen
$$
\lg(2x + 4) = 3 \lg 2
$$
Figuren ovenfor viser et lykkehjul.
h)
1\) Lise snurrer hjulet én gang. Hva er sannsynligheten for at pilen peker på enten blått eller grønt felt når hjulet stopper?
2\) Lotte snurrer hjulet to ganger. Hva er sannsynligheten for at pilen peker én gang på gult felt og én gang på grønt felt?
Du får vite dette om en trekant $ABC$:
- $\angle A = 90\degree$
- $AB = 4 \mathrm{~cm}$
- $\sin B = \cos B$
i) Forklar hvordan denne trekanten må se ut, og lag en figur.
---
## V2010 del 1 oppgave 2 — Fortegnslinjer og funksjonsuttrykk for parabel med nullpunkter i -2 og 2
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Andregradsfunksjon, Fortegnslinje, Graftolkning, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Lese nullpunkter og bunnpunkt av en parabel, tegne fortegnslinjer for $g(x)$ og $g'(x)$ og bestemme funksjonsuttrykket.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fortegnslinjer-og-funksjonsuttrykk-for-parabel-med-nullpunkter-i-2-og-2/
### Oppgavetekst
I koordinatsystemet har vi tegnet grafen til en andregradsfunksjon $g$.
a) Tegn en fortegnslinje for $g(x)$ og en fortegnslinje for $g'(x)$.
b) Finn funksjonsuttrykket for funksjonen $g$.
---
## V2010 del 2 oppgave 3 — Areal av firkant ABCD på to måter – Tommy og Ove
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Cosinussetningen, Arealsetningen, Pytagoras
- **Kort beskrivelse:** Finne diagonalene i en firkant med Pytagoras og cosinussetningen, og regne arealet ved to ulike oppdelinger i trekanter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/areal-av-firkant-abcd-pa-to-mater-tommy-og-ove/
### Oppgavetekst
Gitt firkanten $ABCD$.
a) Regn ut hvor langt er det fra $A$ til $C$.
b) Regn ut hvor langt det er fra $B$ til $D$.
Tommy vil regne ut arealet av firkanten ved å legge sammen arealene av de to trekantene $ABC$ og $ACD$. Ove mener det er enklere å finne arealet av trekant $ABD$ og trekant $BCD$.
c) Finn arealet av firkant $ABCD$
1\) ved å bruke Ove sin framgangsmåte
2\) ved å bruke Tommy sin framgangsmåte
---
## V2010 del 2 oppgave 4 — Sykkeltur med 12 km per time og 18 km per time
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Delt forskrift, Graftolkning, Fart
- **Kort beskrivelse:** Beregne strekning ved to ulike konstante farter og beskrive den som en stykkevis lineær funksjon av tiden i minutter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sykkeltur-med-12-km-per-time-og-18-km-per-time/
### Oppgavetekst
Arne er ute og sykler. Først sykler han en halv time med en jevn fart på $12 \mathrm{~km/t}$. Så sykler han en halv time med en jevn fart på $18 \mathrm{~km/t}$.
a) Hvor langt har Arne syklet etter 45 minutter?
b) Tegn en graf som viser hvor mange km, $y$, Arne har syklet etter $x$ minutter.
For å beskrive den grafiske framstillingen i b) trengs det to funksjonsuttrykk.
c) Finn disse to funksjonsuttrykkene. Husk å oppgi i hvilket tidsintervall hvert av dem gjelder.
---
## V2010 del 2 oppgave 6 — Nullpunkter, bunnpunkt og tangenter til 0,5x i andre minus 2x
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Andregradsfunksjon, Derivasjon, Tangentlikning, Nullpunkter
- **Kort beskrivelse:** Tegne $f(x) = 0{,}5x^2 - 2x$, finne nullpunkter og bunnpunkt ved regning, tangentstigning og tangent med gitt stigningstall.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/nullpunkter-bunnpunkt-og-tangenter-til-0-5x-i-andre-minus-2x/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = 0{,}5x^2 - 2x
$$
a) Tegn grafen til $f$ for $x$-verdier mellom $-3$ og $7$.
b) Finn nullpunktene for $f$ og bunnpunktet for grafen til $f$ ved regning.
c) Finn stigningstallet for tangenten til grafen i punktet $(1, f(1))$.
d) Grafen til $f$ har en tangent med stigningstall 1. Finn en likning for denne tangenten.
---
## V2010 del 2 oppgave 7-I — Antall løsninger av likningssystem med parabel, linje og parameter a
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7-I
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Andregradslikninger, Diskriminant, Parametere
- **Kort beskrivelse:** Løse ikke-lineært likningssystem med parameter $a$ ved regning og grafisk, og bruke diskriminanten til å avgjøre antall løsninger.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/antall-losninger-av-likningssystem-med-parabel-linje-og-parameter-a/
### Oppgavetekst
I denne oppgaven skal du velge **enten** alternativ I **eller** alternativ II. De to alternativene teller like mye ved sensuren.
**Alternativ I**
Gitt likningssystemet
$$
\left[ \begin{aligned} 2y - x^2 + 2x &= a \\ y - 2x &= 3 \end{aligned} \right]
$$
a) Sett $a = 6$ og løs likningssystemet
1\) ved regning
2\) grafisk
b) Hva må $a$ være for at $x = 1$ og $y = 5$ skal være en løsning av likningssystemet?
c) Finn ut for hvilke verdier av $a$ likningssystemet har
- én løsning
- to løsninger
- ingen løsning
---
## V2010 del 2 oppgave 7-II — Areal av L-formet hus med største areal og ulikhet
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7-II
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Areal og omkrets, Andregradsfunksjon, Andregradsulikhet, Optimering
- **Kort beskrivelse:** Sette opp arealuttrykket $30a - 2a^2$ for et L-formet hus, løse andregradslikning og -ulikhet og finne største areal.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/areal-av-l-formet-hus-med-storste-areal-og-ulikhet/
### Oppgavetekst
I denne oppgaven skal du velge **enten** alternativ I **eller** alternativ II. De to alternativene teller like mye ved sensuren.
**Alternativ II**
Et hus har form som figuren ovenfor. Alle mål er gitt i meter.
a) Forklar at arealet av huset er gitt ved uttrykket $30a - 2a^2$.
Regn ut arealet når $a = 5$.
b) For hvilke verdier av $a$ er arealet av huset $112 \mathrm{~m^2}$?
c) Hva er det største arealet huset kan ha?
d) For hvilke verdier av $a$ er arealet av huset større enn $72 \mathrm{~m^2}$?
---
## V2010 del 2 oppgave 8-II — Briller og kontaktlinser – sannsynlighet med overlappende kategorier
- **Fag:** 2P-Y, 1T
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8-II
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Diagram, Statistikk
- **Kort beskrivelse:** Systematisere prosentdata for brillebruk i Venn-diagram eller tabell, og beregne sannsynligheter for personer som ikke bruker briller og betinget sannsynlighet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/briller-og-kontaktlinser-sannsynlighet-med-overlappende-kategorier/
### Oppgavetekst
> **Valgoppgave – Alternativ II**
> I denne oppgaven skal du velge **enten** alternativ I **eller** alternativ II. De to alternativene teller like mye ved sensuren.
Kilde: Utdanningsdirektoratet
En undersøkelse fra Norges Optikerforbund viser at i aldersgruppen 15–29 år er det
- 14,3 % som bare bruker briller
- 7,2 % som bare bruker kontaktlinser
- 9,7 % som bruker både kontaktlinser og briller
a) Lag en systematisk oppstilling (diagram eller tabell) for å illustrere opplysningene i teksten ovenfor.
b) Finn sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person i gruppen ikke bruker briller.
c) En tilfeldig valgt person i gruppen bruker briller. Finn sannsynligheten for at denne personen også bruker kontaktlinser.
---
## H2010 del 1 oppgave 1 — Likningssystem, standardform, brøkuttrykk og twistbiter
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2010 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 18
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Standardform, Rasjonale uttrykk, Andregradsulikhet, Trigonometri, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Samleoppgave med lineært likningssystem, lineær likning grafisk og ved regning, standardform, brøkuttrykk, andregradsulikhet, tangens og sannsynlighet uten tilbakelegging.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/likningssystem-standardform-brokuttrykk-og-twistbiter/
### Oppgavetekst
a) Løs likningssystemet
$$
\left[ \begin{aligned} x + y &= 4 \\ 3x - y &= 8 \end{aligned} \right]
$$
b) Løs likningen
$$
-\frac{1}{4}x + 2 = 2x - \frac{5}{2}
$$
1\) grafisk
2\) ved regning
c) Regn ut og skriv svaret på standardform
$$
5{,}7 \cdot 10^4 + 3{,}0 \cdot 10^3
$$
d) Trekk sammen og skriv så enkelt som mulig
$$
\frac{3}{x + 4} + \frac{24}{x^2 - 16}
$$
e) Løs ulikheten
$$
x^2 + 2x - 8 \geq 0
$$
f) Tegn en rettvinklet trekant $ABC$ der $\tan C = \dfrac{5}{12}$.
g) I en twistpose er det 25 twistbiter. Per liker 16 av disse. Vi trekker tilfeldig to twistbiter fra posen.
1\) Finn sannsynligheten for at Per liker begge twistbitene vi trekker.
2\) Finn sannsynligheten for at Per bare liker én av twistbitene vi trekker.
---
## H2010 del 1 oppgave 2 — Gjennomsnittlig vekstfart fra 0 til 3 og ekstremalpunkter for tredjegradsfunksjon
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2010 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Vekstfart, Gjennomsnittlig vekstfart, Funksjonsdrøfting
- **Kort beskrivelse:** Momentan og gjennomsnittlig vekstfart for $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + 7$, begrunne ekstremalpunkt i intervall og finne topp- og bunnpunkt ved regning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gjennomsnittlig-vekstfart-fra-0-til-3-og-ekstremalpunkter-for-tredjegradsfunksjon/
### Oppgavetekst
En funksjon $f$ er gitt ved
$$
f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + 7
$$
a) Finn den momentane vekstfarten når $x = 1$.
b) Finn den gjennomsnittlige vekstfarten fra $x = 0$ til $x = 3$.
Kan du ut fra dette avgjøre om grafen til $f$ har ekstremalpunkt i intervallet $[0, 3]$? Begrunn svaret.
c) Finn koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$ ved regning.
---
## H2010 del 2 oppgave 3 — C-14-datering av trebrønn fra Vestfold
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Eksponentiallikning, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Tegne eksponentialfunksjonen $T(x) = 100 \cdot 0{,}5^{x/5730}$ for C-14 og finne halveringstid og alder grafisk eller med logaritmer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/c-14-datering-av-trebronn-fra-vestfold/
### Oppgavetekst
Kilde: http://www.kaupang.uio.no/funn/2000.html 2 (25.09.2009)
Funksjonen $T$ gitt ved
$$
T(x) = 100 \cdot 0{,}5^{\frac{x}{5730}}
$$
viser hvor mange prosent av opprinnelig mengde C-14 det er igjen i en plante $x$ år etter at planten er død.
a) Tegn grafen til $T$ for $x \in [0, 12000]$.
b) Hvor lang tid tar det før opprinnelig mengde C-14 i en plante er halvert?
På bildet ser du rester av en gammel trebrønn som ble funnet under utgravinger i Vestfold. Målinger viste at treverket inneholdt 86,5 % av opprinnelig mengde C-14.
c) Omtrent hvor gammel var brønnen da målingene ble gjort?
---
## H2010 del 2 oppgave 4 — Flaggstang, innsjø og trekant av trær med trigonometri
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Sinussetningen, Cosinussetningen, Arealsetningen
- **Kort beskrivelse:** Praktisk trigonometri med tangens i rettvinklet trekant, sinussetningen og areal av trekant med tre kjente sider.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/flaggstang-innsjo-og-trekant-av-traer-med-trigonometri/
### Oppgavetekst
Anders, Hilde og Petter har valgt 1T. De har et prosjekt der de skal bruke trigonometri til å løse praktiske problemstillinger.
Anders vil finne ut hvor høy flaggstanga på skoleplassen er. Han måler avstand og vinkel som vist på figuren ovenfor.
a) Bruk opplysningene på figuren og regn ut hvor høy flaggstanga er.
Hilde er på tur og kommer til en innsjø. Hun står i punkt $A$ og vil finne ut hvor langt det er til punkt $B$ på den andre siden av innsjøen. Hun måler avstanden $AC$, $\angle A$ og $\angle C$.
Se figuren ovenfor.
b) Bruk opplysningene på figuren og regn ut hvor langt det er fra $A$ til $B$.
På skoleplassen står det tre trær. Trærne danner hjørnene i en trekant. Petter måler avstandene mellom trærne til å være henholdsvis 20, 24 og 14 m.
c) Regn ut arealet av trekanten som trærne danner.
---
## H2010 del 2 oppgave 6 — Ballbinge i idrettslag og betinget sannsynlighet
- **Fag:** 2P-Y, 1T, 2P, 1P
- **Eksamen:** Høst 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Statistikk
- **Kort beskrivelse:** Fylle ut en tohensikts-frekvenstabell, beregne sannsynlighet og betinget sannsynlighet, og løse likning for antall nye medlemmer som kreves for å oppnå 75 % andel.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ballbinge-i-idrettslag-og-betinget-sannsynlighet/
### Oppgavetekst
Fotballgruppa i et idrettslag ønsker seg en ny ballbinge. De gjennomfører en spørreundersøkelse for å finne ut hva medlemmene i idrettslaget mener om dette.
- Alle de 240 medlemmene i idrettslaget blir spurt.
- 45 % av medlemmene er kvinner.
- 63 av mennene ønsker ballbinge.
- Til sammen 110 av medlemmene ønsker ikke ballbinge.
| | Mann | Kvinne | Totalt |
|:---:|:---:|:---:|:---:|
| Ønsker ballbinge | | | |
| Ønsker ikke ballbinge | | | |
| Totalt | | | |
a) Tegn av tabellen nedenfor i besvarelsen din. Bruk opplysningene ovenfor og fyll inn tallene som skal stå i de hvite feltene.
b) Finn sannsynligheten for at et tilfeldig valgt medlem i idrettslaget ønsker ballbinge.
Et medlem blir valgt tilfeldig. Det viser seg at dette medlemmet ønsker ballbinge.
c) Finn sannsynligheten for at dette medlemmet er en mann.
Styret i idrettslaget setter som krav at minst 75 % av medlemmene må ønske ballbinge dersom de skal godkjenne planene.
Fotballgruppa prøver å verve nye medlemmer som ønsker ballbinge.
d) Hvor mange slike medlemmer må fotballgruppa verve for at kravet fra styret skal innfris?
---
## H2010 del 2 oppgave 6 — Fast månedspris fra graf og tre telefonabonnement A, B og C
- **Fag:** 1T, 1P
- **Eksamen:** Høst 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Graftolkning, Delt forskrift, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Lese konstantledd og stigningstall av en kostnadsgraf, tegne tre kostnadsfunksjoner (én stykkevis) og finne når hvert abonnement lønner seg.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fast-manedspris-fra-graf-og-tre-telefonabonnement-a-b-og-c/
### Oppgavetekst
Et telefonabonnement har ofte en fast månedspris. I tillegg betaler du for hvert minutt du ringer.
a) Grafen til høyre viser kostnader per måned med et gitt telefonabonnement.
Bruk grafen og finn den faste månedsprisen og prisen for hvert minutt du ringer.
Tabellen nedenfor viser kostnader per måned med tre ulike telefonabonnementer, A, B og C.
| Abonnement | Fast månedspris | Pris per minutt du ringer |
|:---:|---:|:---|
| A | 0 kroner | 1,59 kroner per minutt |
| B | 100 kroner | De første 100 minuttene er gratis, deretter 1,19 kroner per minutt |
| C | 250 kroner | 0,49 kroner per minutt |
b) Tegn grafer som viser de månedlige kostnadene med hvert av de tre telefonabonnementene i ett nytt koordinatsystem. Velg $x$-verdier fra og med 0 minutter til og med 500 minutter.
c) Hvor mye må du ringe for at det skal lønne seg å bruke hvert av de tre abonnementene A, B og C?
---
## H2010 del 2 oppgave 7 — Binomisk sannsynlighet for Facebook-profil blant 25 elever
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Binomisk fordeling
- **Kort beskrivelse:** Binomisk sannsynlighet med $n = 25$ og $p = 0{,}95$ for at alle og for at flere enn 20 har Facebook-profil.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/binomisk-sannsynlighet-for-facebook-profil-blant-25-elever/
### Oppgavetekst
En undersøkelse viser at 95 % av elevene ved de videregående skolene i et fylke har profil på Facebook.
Vi velger tilfeldig 25 elever fra disse skolene.
a) Finn sannsynligheten for at alle 25 elevene har profil på Facebook.
b) Finn sannsynligheten for at flere enn 20 av de 25 elevene har profil på Facebook.
---
## H2010 del 2 oppgave 8-I — Toppunkt for andregradsfunksjon med parameter a i førstegradsleddet
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8-I
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Andregradsfunksjon, Derivasjon, Parametere, Optimering
- **Kort beskrivelse:** Derivere $f(x) = -2x^2 + ax + 4$, finne toppunktet uttrykt ved $a$ og bestemme $a$ ut fra krav til toppunktets koordinater.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/toppunkt-for-andregradsfunksjon-med-parameter-a-i-forstegradsleddet/
### Oppgavetekst
I denne oppgaven skal du velge **enten** alternativ I **eller** alternativ II. De to alternativene teller like mye ved sensuren.
**Alternativ I**
En funksjon $f$ er gitt ved
$$
f(x) = -2x^2 + ax + 4
$$
a) Finn $f'(x)$. Bruk den deriverte til å finne toppunktet til $f$ når $a = 2$.
b) Bestem verdien av $a$ slik at $x$-koordinaten til toppunktet er $-1$.
c) For hvilken verdi av $a$ har $y$-koordinaten til toppunktet lavest verdi?
---
## H2010 del 2 oppgave 8-II — Rettvinklet trekant av 6 meter lang jernstang
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Høst 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8-II
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Pytagoras, Cosinussetningen, Andregradslikninger, Trigonometri
- **Kort beskrivelse:** Sjekke rettvinklethet med Pytagoras og bruke Pytagoras og cosinussetningen med kjent omkrets 6,0 m til å finne ukjente sider.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rettvinklet-trekant-av-6-meter-lang-jernstang/
### Oppgavetekst
I denne oppgaven skal du velge **enten** alternativ I **eller** alternativ II. De to alternativene teller like mye ved sensuren.
**Alternativ II**
a) Sidene i en trekant er 27 cm, 20 cm og 12 cm lange.
Er trekanten rettvinklet?
Rolf har en 6,0 m lang jernstang. Han vil bruke stangen til å lage en rettvinklet trekant. Den ene kateten skal være 2,0 m lang.
b) Regn ut lengden av de to andre sidene i trekanten.
Rolf finner en ny stang som er 6,0 m lang. Av denne stangen vil han lage en trekant der en vinkel er $120\degree$ og en av de tilstøtende sidene er 2,0 m lang.
c) Regn ut lengden av de to andre sidene i denne trekanten.
---
## E2009 del 1 oppgave 1 — Fotballer og hockeykøller, likninger og fortegnsskjema
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 22
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Potenser, Logaritmer, Sannsynlighet, Derivasjon, Trigonometri
- **Kort beskrivelse:** Samleoppgave med likningssystem fra bilde, standardform, likninger, lg-likning, potenser, brøkforkorting, sannsynlighet, tangentstigning, grafskisse fra fortegnsskjema og trigonometri.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fotballer-og-hockeykoller-likninger-og-fortegnsskjema/
### Oppgavetekst
a) Bruk opplysningene nedenfor til å finne ut hva én fotball koster, og hva én hockeykølle koster.
b) Regn ut og skriv svaret på standardform
$$
6{,}2 \cdot 10^4 \cdot 2{,}5 \cdot 10^8
$$
c) Løs likningen
$$
4(x - 1) = 5 + 3x - (x - 1)
$$
d) Løs likningen og skriv svaret som et desimaltall
$$
3 \lg x = -6
$$
e) Regn ut
$$
5 - 4^2 \cdot (4 - 3)^3 \cdot 2^{-3}
$$
f) Skriv så enkelt som mulig
$$
\frac{(x + y)^2 - 4xy}{x - y}
$$
g) Løs likningen
$$
x^2 - 5x + 6 = 0
$$
h) Du kaster to terninger. Hva er sannsynligheten for at du får akkurat én sekser?
i) Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x) = x^3 - 5x^2 + 6x$
Finn stigningstallet til tangenten til grafen til $f$ i punktet $(1, f(1))$.
Gitt en funksjon $g$. Fortegnet til funksjonsuttrykket og den deriverte av funksjonen varierer som vist nedenfor.
j) Skisser i et koordinatsystem hvordan grafen til $g$ kan se ut.
Du får vite følgende om en trekant $ABC$:
- Vinkel $B$ er $90\degree$.
- Tangens til vinkel $A$ er 1.
k) Lag en figur og forklar hvordan denne trekanten kan se ut.
---
## E2009 del 2 oppgave 2 — Rasjonal funksjon 2x over x minus 1 og rett linje gjennom to punkter
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 10
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rasjonale funksjoner, Lineære funksjoner, Likninger, Graftegner
- **Kort beskrivelse:** Tegne rasjonal funksjon, finne definisjons- og verdimengde, linje gjennom to punkter og løse $f(x) = g(x)$ med to metoder.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rasjonal-funksjon-2x-over-x-minus-1-og-rett-linje-gjennom-to-punkter/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = \frac{2x}{x - 1}
$$
a) Tegn grafen til $f$. Bruk $x \in [-10, 10]$.
b) Finn definisjonsmengden og verdimengden til $f$.
Grafen til en lineær funksjon $g$ går gjennom punktene $(-2, 0)$ og $(3, 5)$.
c) Finn funksjonsuttrykket $g(x)$ og tegn grafen til $g$ i det samme koordinatsystemet som grafen til $f$.
Det finnes flere måter å gå fram på for å finne løsningene av likningen $f(x) = g(x)$
d) Bruk to ulike metoder for å finne løsningene.
---
## E2009 del 2 oppgave 3 — Løype rundt firkant ABCD med cosinus- og sinussetningen
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Trigonometri, Cosinussetningen, Sinussetningen, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Bruke cosinussetningen og sinussetningen i to trekanter for å finne diagonal, vinkler og omkrets av en firkantet løype.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/loype-rundt-firkant-abcd-med-cosinus-og-sinussetningen/
### Oppgavetekst
Du skal være med i et mosjonsløp som arrangeres av bygdas lokale idrettslag. På figuren ser du løypa, som følger omkretsen til firkanten $ABCD$. Noen av målene står på figuren.
a) Vis at lengden av diagonalen $AC$ er ca. 641 meter.
b) Finn vinkel $DCA$.
c) Finn vinkel $B$.
d) Du starter i $A$ og løper rundt løypa til du igjen er ved $A$. Hvor langt har du løpt?
---
## E2009 del 2 oppgave 4 — Valg av kjemi og matematikk i klasse 1A med venndiagram
- **Fag:** 1T, 1P
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Venndiagram, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Venndiagram for fagvalg, sannsynlighet uten tilbakelegging for to elever og finne klassestørrelse fra gitt sannsynlighet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/valg-av-kjemi-og-matematikk-i-klasse-1a-med-venndiagram/
### Oppgavetekst
I klasse 1A er det 30 elever. 12 av disse elevene har valgt kjemi, og 21 har valgt matematikk neste skoleår. 7 elever har valgt begge fagene.
a) Illustrer dette med et venndiagram.
Hvor mange elever har verken valgt matematikk eller kjemi?
Vi velger en tilfeldig elev i klassen.
b) Hva er sannsynligheten for at eleven har valgt matematikk, men ikke kjemi?
Vi velger nå to tilfeldige elever i klassen.
c) Hva er sannsynligheten for at begge har valgt matematikk?
I klasse 1B er det 4 elever som har valgt matematikk neste skoleår. Dersom vi velger to tilfeldige elever fra denne klassen, er sannsynligheten for at begge har valgt matematikk 0,05.
d) Hvor mange elever er det i klasse 1B?
---
## E2009 del 2 oppgave 5-I — Sekant gjennom ekstremalpunkter og tangent i midtpunktet for tredjegradsfunksjon
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5-I
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Tredjegradsfunksjon, Derivasjon, Stigningstall, Utforskning
- **Kort beskrivelse:** Sammenligne stigningstallet til linjen gjennom topp- og bunnpunkt med tangentstigningen i midtpunktet, og sette opp hypotese for tredjegradsfunksjoner.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sekant-gjennom-ekstremalpunkter-og-tangent-i-midtpunktet-for-tredjegradsfunksjon/
### Oppgavetekst
I denne oppgaven skal du velge **enten** alternativ I **eller** alternativ II. De to alternativene teller like mye ved sensuren.
**Alternativ I**
*I denne oppgaven kan det være en fordel å bruke dynamisk programvare.*
La funksjonen $f$ være gitt ved
$$
f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1
$$
a) Tegn grafen til $f$. Finn koordinatene til toppunktet og bunnpunktet.
b) Finn stigningstallet til linjen $l$ gjennom toppunktet og bunnpunktet.
La $m$ være gjennomsnittet av $x$-koordinatene til toppunktet og bunnpunktet.
c) Finn stigningstallet til tangenten til grafen til $f$ i punktet $(m, f(m))$.
Vis at forholdet mellom stigningstallene til linjene $l$ og $t$ er $\dfrac{2}{3}$.
d) Finn to andre tredjegradsfunksjoner som har både toppunkt og bunnpunkt. Løs oppgavene a), b) og c) for hver av disse funksjonene.
Sett opp en hypotese om forholdet mellom stigningstallene til linjen $l$ og tangenten $t$.
---
## E2009 del 2 oppgave 5-II — Likningssystem med sirkel, andregradsulikhet og lg-likning med to metoder
- **Fag:** 1T
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5-II
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Andregradsulikhet, Logaritmelikning, Diskriminant
- **Kort beskrivelse:** Løse likningssystem, andregradsulikhet, logaritmelikning og finne parameter for én løsning, med minst to ulike metoder (regning, grafisk, CAS).
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/likningssystem-med-sirkel-andregradsulikhet-og-lg-likning-med-to-metoder/
### Oppgavetekst
I denne oppgaven skal du velge **enten** alternativ I **eller** alternativ II. De to alternativene teller like mye ved sensuren.
**Alternativ II**
Nedenfor har vi gitt fire oppgaver. Alle kan løses ved hjelp av ulike metoder:
- ved regning (løsning trinn for trinn)
- grafisk
- ved å benytte kommandoer på lommeregneren eller PC-en din
Du skal løse alle oppgavene bare én gang, men du må benytte deg av minst to av de tre metodene som er nevnt ovenfor.
a) Løs likningssystemet
$$
\left[ \begin{aligned} x^2 + y^2 &= 25 \\ 7y - x &= 25 \end{aligned} \right]
$$
b) Løs ulikheten
$$
6x^2 - 11x + 3 \geq 0
$$
c) Løs likningen
$$
\lg(x - 3) = 3 + \lg 2
$$
d) Finn en verdi av $a$ slik at likningen
$$
a \cdot x^2 + 3x + 1 = x - 2
$$
bare har én løsning.
---
## Areal av sirkel og kvadrat som skjærer hverandre
- **Fag:** 1T, R1, R2
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Temaer:** Trigonometri, Utforskning, Geometri
- **Kilde:** https://www.youtube.com/watch?v=s5TuVu3Qg2E
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/areal-av-sirkel-og-kvadrat-som-skjaerer-hverandre/
### Oppgavetekst
Et kvadrat har sidekant 1 m. En sirkel er tegnet på innsiden av kvadratet slik at sirkelen toucher to sidekanter og et hjørne. Se figuren under.
Hva er størrelsen av det fargede området?
